一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷求环心处的.docx

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一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷求环心处的

--一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷--求环心处的

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大学物理1期末复习题

（力学部分）

第一章重点：

质点运动求导法和积分法，圆周运动角量和线量。

第二章重点：

牛顿第二运动定律的应用（变形积分）

第三章重点：

动量守恒定律和机械能守恒定律

第四章重点：

刚体定轴转动定律和角动量守恒定律

1．一质点沿半径为m的圆周作逆时针方向的圆周运动，质点在0～这段时间内所经过的路程为，式中以m计，以s计，则在时刻质点的角速度为rad/s，角加速度为。

（求导法）

2．质点沿x轴作直线运动，其加速度m/s2，在时刻，，m，则该质点的运动方程为。

（积分法）

3．一质点从静止出发绕半径R的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为β，则该质点走完半周所经历的时间为___________。

（积分法）

4．伽利略相对性原理表明对于不同的惯性系牛顿力学的规律都具有相同的形式。

5．一质量为的质点在力作用下由静止开始运动，若此力作用在质点上的时间为，则该力在这内冲量的大小10NS；质点在第末的速度大小为5m/s。

（动量定理和变力做功）

6．一质点在平面内运动,其，；、为大于零的常数，则该质点作匀加速圆周运动。

7．一质点受力的作用，式中以m计，以N计，则质点从m沿X轴运动到x=2.0m时，该力对质点所作的功。

（变力做功）

8．一滑冰者开始自转时其动能为，当她将手臂收回,其转动惯量减少为，则她此时自转的角速度。

（角动量守恒定律）

9．一质量为半径为的滑轮，如图所示，用细绳绕在其边缘，绳的另一端系一个质量也为的物体。

设绳的长度不变，绳与滑轮间无相对滑动，且不计滑轮与轴间的摩擦力矩，则滑轮的角加速度；若用力拉绳的一端，则滑轮的角加速度为。

（转动定律）

10.一刚体绕定轴转动，初角速度rad/s，现在大小为（N·m）的恒力矩作用下，刚体转动的角速度在2秒时间内均匀减速到rad/s，则刚体在此恒力矩的作用下的角加速度___________，刚体对此轴的转动惯量4kg•m2。

（转动定律）

11．一质点在平面内运动，其运动方程为，式中、以m计，以秒s计，求：

（1）以为变量，写出质点位置矢量的表达式；

（2）轨迹方程；

（3）计算在1～2s这段时间内质点的位移、平均速度；

（4）时刻的速度表达式；

（5）计算在1～2s这段时间内质点的平均加速度；在s时刻的瞬时加速度。

解：

（1）；

（2）；

（3）；；

（4）；

（5）；（求导法）

12．摩托快艇以速率行驶，它受到的摩擦阻力与速度平方成正比，设比例系数为常数k，即可表示为。

设快艇的质量为，当快艇发动机关闭后，

（1）求速度随时间的变化规律；

（2）求路程随时间的变化规律。

解：

（1）

（2）（牛二定律变形积分）

13．如图所示，两个带理想弹簧缓冲器的小车和，质量分别为和，不动，以速度与碰撞，如已知两车的缓冲弹簧的倔强系数分别为和，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多大?

（弹簧质量忽略而不计）。

解：

系统动量守恒：

系统机械能守恒：

两车相对静止时弹力相等：

F=（动量守恒和机械能守恒定律）

14．有一质量为长为的均匀细棒，静止平放在光滑的水平桌面上，它可绕通过其中点且与桌面垂直的固定光滑轴转动。

另有一水平运动的质量为的子弹以速度v射入杆端，其方向与杆及轴正交，求碰撞后棒端所获得的角速度。

解：

系统角动量守恒：

（角动量守恒定律）

电磁学部分

第五章重点：

点电荷系（矢量和）、均匀带电体（积分法）、对称性电场（高斯定理，分段积分）的电场强度E和电势V的计算。

第七章重点：

简单形状载流导线（矢量和）、对称性磁场（安培环路定理）的磁感应强度B的计算，安培力F的计算。

第八章重点：

感生电动势（法拉第电磁感应定律）和动生电动势的计算，磁通量的计算。

1.一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷，求环心处的电场强度.

[分析]在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷.现将其抽象为带电半圆弧线。

在弧线上取线，其电荷，此电荷元可视为点电荷，它在点O的电场强度，因圆环上的电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有，点的合电场强度，统一积分变量可求得.

解：

（1）建立坐标系；

（2）取电荷元

（3）写

（4）分解到对称轴方向

（5）积分：

由几何关系，统一积分变量后，有

，方向沿y轴负方向.

（积分法五步走）

2.两条无限长平行直导线相距为,均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为

（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为）;

（2）求每一根导线

上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.

[分析]在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加.

解:

设点在导线构成的平面上，、分别表示正、负带电导线在点的电场强度，则有

（矢量和）

3.设均强电场的电场强度与半径为的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.

[分析]方法1：

由电场强度通量的定义，对半球面求积分，即.

方法2：

作半径为的平面与半球面一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面的电场强度通量在数值上等于穿出半球面的电场强度通量.因而

解:

由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元的方向，

（高斯定理和电通量定义式）

4.在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心指向球形空腔球心的矢量用表示（图8-17）.试证明球形空腔中任一点的电场强度为

[分析]本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.

挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为的均匀带电球和一个电荷体密度为、球心在的带电小球体（半径等于空腔球体的半径）.大小球体在空腔内点产生的电场强度分别为、，则点的电场强度为两者矢量和。

.

证:

带电球体内部一点的电场强度为

所以；

根据几何关系，上式可改写为（等效法和高斯定理）

5.一无限长、半径为的圆柱体上电荷均匀分布.圆柱体单位长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距离为处的电场强度.

[分析]无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向.取同轴柱面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交.在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，，对电场强度通量的贡献为零.整个高斯面的电场强度通量为由于圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度，出于高斯面内的总电荷由高斯定理可解得电场强度的分布.

解:

取同轴柱面为高斯面，由上述分析得

（高斯定理）

6.两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为和，单位长度上的电荷为.求离轴线为处的电场强度：

（1），

（2），（3）

[分析]电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定程轴对称分布，沿径向方向.去同轴圆柱为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且求出不同半径高斯面内的电荷.利用高斯定理可解得各区域电场的分布.

解:

作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理

，

，

，

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变

（高斯定理）

7.如图所示，有三个点电荷沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且.求在固定、的情况下，将从点移到无穷远处外力所作的功.

[分析]由库仑力的定义，根据、所受合力为零可求得.

外力作功应等于电场力作功的负值，即.求电场力作功可根据功电场力作的功与电势能差的关系，有

其中是点电荷、在点产生的电势（取无穷远处为零电势）.

在任一点电荷所受合力均为零时，并由电势的叠加、在的电势

将从点推到无穷远处的过程中，外力作功

（受力平衡、点电荷系电势、电场力做功）

8.已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为

为电荷线密度.

（1）在求在和两点间的电势差；

（2）在点电荷的电场中，我们曾取处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？

试说明.

由于电场力作功与路径无关，若取径矢为积分路径，则有

（电势差定义式）

（2）不能.严格地讲，电场强度只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，处的电势应与直线上的电势相等.

9.两个同心球面的半径分别为和，各自带有电荷和.求：

（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；

（2）两球面间的电势差为多少？

[分析]由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由可求得电势分布.

:

由高斯定理可求得电场分布

由电势可求得区域的电势分布.当时，有

当时，有

当时，有

（先用高斯定理求场强E,再用分段积分求电势V）

10.两个很长的共轴圆柱面，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450.求：

（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？

（2）两圆柱面之间的电场强度.

由8的结果，两圆柱面之间的电场

根据电势差的定义有

解得

两柱面间电场强度的大小与成反比.（电势差定义式）

11.在面上倒扣着半径为的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷密度为.点的坐标为，点的坐标为,求电势差.

[分析]电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在改点的电势的一半.据此，可先求出一个完整球面在间的电势差，再求出半球面时的电势差.由于带电球面内等电势，球面内点的电势，故其中是带电球表面的电势，是带电球面在点的电势.

假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度的一个完整球面，此时在两点的电势分别为

则半球面在两点的电势差

（点电荷电势式和电势差定义式）

12.在半径为的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为，相对电容率为.设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为.试求介质层内的和.

[分析]将长直导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面.在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴对称分布.

取同轴柱面为高斯面，由介中的高斯定理可得电位移矢量的分布.在介质中，，可进一步求得电场强度和电极化强度矢量的分布.

由介质中的高斯定理，有

得

在均匀各向同性介质中

（有电介质时的高斯定理）

13.设有两个薄导体同心球壳与，它们的半径分别为与，并分别带有电荷.球壳间有两层介质，内层介质的，其分界面的半径为球壳外为空气.求：

（1）两球间的电势差；

（2）离球心的电场强度；（3）2球的电势.

[分析]自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上，电场呈球对称分布.取同心球面为高斯面，根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布.

由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势

（1）由介质中的高斯定理，有

得

两球壳间的电势差

（2）同理由高斯定理可得