判定平行四边形地五种方法Word文档格式.docx
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四边形AECF是平行四边形.
理由:
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD//BC/DAB/BCD
11
所以AF//EC又因为/1=-/DAB/2=丄/BCD
22
所以/仁/2.因为AD//BC所以/2=/3,所以/仁/3,所以AE//CF所以四边形AECF是平行四边形•
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有:
(1)证两组对边分别平行;
(2)证两组对边分别相等;
(3)证一组对边平行且相等;
(4)证对
角线互相平分;
(5)证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
A
DC
F
图1
一、两组对边分别平行
如图1,已知△ABC是等边三角形,DE分别在边BC
AC上,且CD=CE连结DE并延长至点F,使EF=AE连结AFBE和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
⑵判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。
(1)选证△BDE^AFEC
证明:
•••△ABC是等边三角形,
•••BCAC/ACD60°
•••CD=CE•-BDAE△EDC是等边三角形
•••DE=EC/CDEZDEC60。
•••/BDEZFEC=120°
又•••EF=AE•-BD=FE,BDE^AFEC
(2)四边形ABDFi平行四边形
由
(1)知,△ABC△EDCAAEF都是等边三角形
•••ZCDEZABCZEFA=60°
•AB//DF,BD//AF
••四边形ABDF是平行四边形。
点评:
当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时,可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知:
如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,
延长BC到E,使CE=CG连结BG并延长交DE于F
(1)求证:
△BCQADCE
(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90。
得到△DAE,判断四边形E'
BGD是什么特殊四边形?
并说明理由。
(2)由于ABCD是正方形,所以有AB//DC又通过旋转CE=AE已知CE=CG所以E'
A=CG这样就有BE=GD可证E'
BGD是平行四边形。
(1)tABCD!
正方形,
•ZBCDZDCE90°
又•CGCE△DCE
(2)•△DCE绕D顺时针
旋转90°
得到△DAE,
•CE=AE,•/CE=CG•-CGAE'
••四边形ABC毘正方形
•BE//DGAB=CD
•ABAE=CDCG即BE=DG
•四边形DEBG是平行四边形
当四边形一组对边平行时,再证这组对边相
等,即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示,在△ABC中,分别以ABACBC为边在BC的同侧作等边△ABD等边△ACE等边△BCF
求证:
四边形DAEF是平行四边形;
利用证三角形全等可得四边形DAEF勺两组对
边分别相等,从而四边形DAEF是平行四边形。
•••△ABD^D^FBC都是等边三角形
•••/DBF+/FBA=ZAB(+/FBA=60°
•••/DBF=ZABC
又•••BD=BABF=BCABC^^DBF
•AC=DF=AE同理△ABC^AEFC
•AB=EF=AD
•四边形ADFE是平行四边形
题设中存在较多线段相等关系时,可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知:
如图4,平行四边形ABCD勺对角线AC和BD相交于OAELBD于E,BF丄AC于F,CGLBD于GDH丄AC于H,求证:
四边形EFGH是平行四边形。
因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线,这些条件与四边形EFGH的对角线有关,若能证出OE=OGOF=OH则问题可获得解决。
•••AELBDCGLBD
:
丄AEO/CGQ
•••/AQE/CQGQAQC
△CQG
同理△BQF^ADQH
•••Qf=QH
•••四边形EFGH!
平行四边形
当已知条件与四边形两对角线有关时,可证两对角线互相平分,从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5将两块全等的含30°
角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗?
理由。
(1)如图2,将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△BiCD的位置,四边形ABCD是平行四边形吗?
说出你的结论和理由:
。
因为题设与四边形内角有关,故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
(1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:
/ABC/ABD/DBC30°
+90°
=120°
/ADC/ADB/CDB90°
+30°
又/A=60°
,/C=60°
•/ABC/ADC/A=/C
(2)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:
将RtABCD沿射线方向平移到Rt△BCD的位置时,
有RtACBBBRt△ADD
•/CBB=/ADD,/BCB=/DAD
•有/GBA=/ABD/CBB=/CDB+/ADB=/ADG,/BCD=
/BCB+/BQD=/DAD+/DAB=/DAB
所以四边形ABCD是平行四边形
(2)也可这样证明:
由
(1)知ABCD是平行
四边形,•••AB//CD将
Rt△BC[沿射线BD方向平移到RtABGD的位置时,始终有AB//GD,故ABGD是平行四边形。
判断平行四边形的策略
在学习了“平行四边形”这部分内容后,对于平行四边形的判定问题,可从以下几个方面去考虑:
一、考虑“对边”关系
思路1:
证明两组对边分别相等
例1如图1所示,在△ABC中,/ACB=90°
BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE
四边形ACEF是平行四边形证明:
•••DE是BC的垂直平分线,
•••DFLBCDB=DC
(图1)
•••/FDB=/ACB=90°
.
1
•••DF//AC.•CE=AE=AB
2
•••/1=/2.
又•••EF//ACAF=CE=AE,
•••/2=/1=/3=/F.
•△ACE^AEFA
•AC=EF.
•四边形ACEF是平行四边形.思路2:
证明两组对边分别平行
如图2,在△ABC中,AB=ACE是AB的中
点,D在BC上,延长ED到F,使ED=DF=EB连结FC
C
四边形AEFC是平行四边形•证明:
•••AB=AC•••/B=/ACB
•/ED=EB•••/B=/EDB
•••/ACB=/EDB•EF//AC
•/E是AB的中点,•BD=CD•••/EDB=/FDCED=DF
•••△EDB2AFDC•••/DEB=/F.
•AB//CF
•四边形AEFC是平行四边形•思路3:
证明一组对边平行且相等
例3如图3,已知平行四边形ABCD^,E、F分别是ABCD上的点,AE=CF,MN分别是DEBF的中点.
四边形ENFMI平行四边形.证明:
•••四边形ABCD1平行四边形,
•AD=BC/A=/C.
又•••AE=CF,ADE^CBF
•••/1=/2,DE=BF.
•••MN分别是DEBF的中点,
•EM=FN.
•/DC/AB3=/2.
•••/1=/3.•EM//FN.
•四边形ENFM!
平行四边形.
1E
二、考虑“对角”关系
思路:
证明两组对角分别相等
例4如图4,在正方形ABCC中,点E、
F分别是ADBC的中点.
(1)△ABE^ACDF
(2)四边形BFDE是平行四边形•
(1)在正方形ABCD中,AB=CDAD=BC/A=/C=
90°
tAE=ADCF=BC
•AE=CFABE^ACDF
(2)由
(1)△ABE^ACDF知,/1=/2,/3=/4.
•••/BED=/DFB
•••在正方形ABCD中,/ABC=/ADC
•••四边形BFDE是平行四边形
三、考虑“对角线”的关系
证明两条对角线相互平分
例5如图5,在平行四边形ABCDKPi、F2是对角线BD的三等分点•
四边形AFCF是平行四边形
(图5)
D
连结AC交BD于Q
•••四边形ABCD1平行四边形,
•OA=OCOB=OD
BF=DP,•OF=OF.
•四边形ARCP是平行四边形.
平行四边形的识别浅析
平行四边形是初中数学中的基本图形,正确识别平行四边形,是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。
识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点,而且只需要两个条件,为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形,我们把这些条件总结如下。
1利用定义或定理直接识别平行四边形
1.1两组对边分别平行,如图1,AB//CDAD//BC
1.2两组对边分别相等,如图1,AB=CDAC=BC
1.3两组对角分别相等,
如图1,/AB(=ZADC/BAD/BCD
1.4一组对边平行且相等,如图1,AB//CDAB=CD
1.5两条对角线互相平分,如图1,OAOCOB=OD
2利用定义和定理间接识别平行四边形
2.1一组对边平行且一组对角相等,如图1,AB//CD/AB(=
/ADC
•••AB//CD•••/AB(+ZBCD180°
又ABC/ADC•••/ADO/BCD=180°
•AD//BC•四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行)
2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线,如
图1,AB//CDOafOC
•••AB//CD•/BAC/DCA在"
AOB和"
COD中,
/BA(=/DCAOAOC/AOB/CODAO/"
CODASA
AB=CD•••四边形ABC[是平行四边形(一组对边平行且相等)
2.3两组邻角互补,而且两组邻角要有一个公共角,
如图1,/DABYAB(=180°
/AB(+ZBCD180°
。
•••/DAB/AB(=180°
•AD//BC又―AB(+/
BCD180°
•AB//CD•四边形ABCDi平行四边形(两组对边平行)
3不能识别为平行四边形
3.1两组不同的邻角互补,
如图2,/A+/B=180°
/C+/D=180°
可以画出梯形。
3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角,涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。
两组邻边相等,如图3,ABADC酔CD不一定是平行四边
形。
两对邻角相等,如图4,/A=/D,/B=/C可以画出等腰
梯形。
3.3一组对边平行且另一组对边相等,
如图4,AD//BCAB=CD也可以画出等腰梯形。
3.4一组对边相等,一组对角相等,不一定是平行四边
反例作图方法,如图5:
①作/ABC在边BA上确定点A,
在边BC上确定点C②过点AB、C作O01,③以点C为圆心,以线段AB长为半径作OC,④以AC为弦作O01的等圆OC2,交OC于DE两点,则四边形ABCD为平行四边形,
而四边形ABCEP为符合条件的非平行四边形,即AB=CE/
ABC/AEC
3.5一组对边相等,对角线交点平分一条对角线,不一定是平行四边形。
反例作图方法,如图6:
①作线段AB②过线段AB的中点0作直线CD③过点B作BELCD垂足为E④以点E为圆心,小于线段0E的长为半径作OE交CD于F、G两点,⑤以点A为圆心,BF长为半径作OA交直线CD于HI两点,则四边形AGB兩四边形AFBI为平行
E/G
O1
02
四边形,而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行
四边形,如在四边形AGBI中,AI=BG0/=0B
说明一个四边形是平行四边形的思
路
山东于秀坤
平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形•如何说明一个四边形是平行四边形呢?
要说明一个四边形是平行四边形,一般可以根据题目中所给的条件,分别通过下列的思路进行说明.
一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时,考虑采用
“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”•
例1如图1,在厶ABC中,AD是角的平分线,DE//AC交AB于点E,EF/BC交AC于点F,试说明AE=CF.
由AD是角的平分线,可知/仁/2,由DE/AC,可知/2=73,所以/仁/3,即可得AE=ED要说明AE=CF,可转化为说明EOEC因此,只需说明四边形EDCF1平行四边形就可以了.
因为/1=72,72=73,所以71=73,所以AE=ED又因为DE/ACEF/BC所以四边形EDCF1平行四边形(两
组对边分别平行的四边形是平行四边形)•
所以ED=CF所以AE=CF.
二、当已知条件出现在四边形是对角上时,考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”•
例2如图2,AECF分别是皿BCD的内角/DAB/BCD
的平分线,试说明四边形AECF1平行四边形.
/DAB/2=—/BCD
所以,/仁/2,
因为AB/CD所以/3=71,74=/2,
所以/3=74,所以75=76,所以四边形AECF是平行四边形.
三、当已知条件出现在四边形的对角线上时,考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”
例3如图3,在口ABCDKACBD相交于0,EF过0分别交ADBC于E、F,GH过0分别ABCD交于GH.试说明四边形EGFH1平行四边形.
图3解:
在口ABCD^,因为AB/CD所以71=72,因为0/=0C73=74,所以△A0®
ACOH所以0G0H同理0匡0F
所以四边形EGFH1平行四边形.
构造平行四边形解题
山东邹殿敏
平行四边形是一种特殊的四边形,它的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助线,构造平行四边形加以解决.
一、求线段的长
例1如图1在正△ABC中,P为边AB上一点,Q为边AC上一点,且AF=CQ今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm,则P点到C点的距离等于cm_.
AD
EBC
图2
作QE/AB交BC于点D连接PDMD由厶ABC为正三角形,易知BP^BDA忙DQ所以四边形APDC为平行四边形•所以AMD是平行四边形APDQ勺对角线•所以A[=2AM=2X19=38(cm).由厶ABD^ACBF可得PC=AD所以PC=38cm.
、证明线段相等问题D
例2如图2,在梯形ABCD图%D/BCAB=CD延长CB到E,使EB=AD连接AE求证:
AE=AC
连接BD由AD与BE平行且相等,易知四边形AEBD是平行四边形,所以BD=AE因为AC=BD所以AE=AC
三、证明线段和差问题
例3如图3,△ABC中,D,F是AB边上两点,且At=BF,作DEEBCFG/BC分别交AC于点E,G求证:
DE+FGfBC
作GH/AB交BC于点H.则四边形BHGF1平行四边形.所以GHFBF=ADFGFBH因为DE/BCGH/AB所以/仁/C,/A=Z2.所以△ADE^AGHC所以DE=HC因为BH-CH=BC所以DE+FGfBC
四、证明线段倍分问题
例4如图4,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC连接AE,分别交BCBD于点F,G连接AC交BD于0,连接0F试说明:
AB=2OF
连接BE易知四边形ABEC为平行四边形.由“平
行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF=CF,AO=OC所
以0F为△CAB的中位线,从而得出AB=20F
五、证明两直线平行问题
例5如图5,△ABC中,E,F分别是ABBC边的中点,M
N是AC的三等分点,EMFN的延长线交于点D.求证:
AB/CD分析:
连接BD交AC于点0连接BMBN
由AE=BE,AMFMN可得ED/BN由BF=CF,MNNC可得
BM/FD.所以四边形BMD是平行四边形.所以OB=ODOMON所
例6如图6,分别以△ABC的边ABAC为
以OafOC由此可得出四边形ABCD是平行四边形.所以AB/CD
作正方形ABEF和ACGHM为FH的中点.求证:
设MA勺延长线交BC于点D,延长AM至点N,使MNAM
连接FNHN则四边形AHNF为平行四边形•所以FN=AH=AC,
/AFN+ZFAH=180°
.因为/BAG/FAH180°
,所以/AFN=/
BAC因为AF=AB所以△AFN^ABAC所以/1=/2.
因为/1+/3=90°
所以/2+/3=90。
,所以/
ADB90。
.从而得出MALBC