高中数学 第二章 函数教案7.docx

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高中数学第二章函数教案7

2019-2020年高中数学第二章函数教案7

教学目的：

1.理解分数指数幂的概念.

2.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化.

4．培养学生用联系观点看问题.

教学重点：

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教学难点：

对分数指数幂概念的理解.

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

教材分析：

教材分析：

本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a＞0，p是一个无理数，则表示一个确定的实数”为高中三年级限定选修课学习导数时做准备

在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

教学过程：

一、复习引入：

1．整数指数幂的运算性质：

2．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，（）=a.

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：

，（a0）

用语言叙述上面三个公式：

⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式（算术根）的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

3．引例：

当a＞0时

①

②

③

④

上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质

（2）.因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.

二、讲解新课：

1.正数的正分数指数幂的意义

（a＞0,m,n∈N*,且n＞1）

要注意两点：

一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

2.规定：

（1）（a＞0，m,n∈N*,且n＞1）

（2）0的正分数指数幂等于0.

（3）0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

3.有理指数幂的运算性质:

说明：

若a＞0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

三、讲解例题：

例1求值：

.

解：

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

（式中a＞0）

解：

例3计算下列各式（式中字母都是正数）

分析：

（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号

（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤

解

例4计算下列各式：

分析：

（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算

（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算

解：

四、练习：

课本P14练习

1.用根式的形式表示下列各式（ａ＞０）

解：

2.用分数指数幂表示下列各式：

（1）（２）（ａ＋ｂ＞０）

（３）（４）（ｍ＞ｎ）

（5）（ｐ＞０）（6）

解：

（1）

（2）

（3）

（4）＝（ｍ－ｎ）２

（5）

（6）

五、小结本节课学习了以下内容：

分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.

六、课后作业：

1.课本P75习题2.5

2.用计算器求值（保留4位有效数字）

（1）（２）（３）

（４）（5）（６）２５·

解：

（１）＝１.７１０

（2）＝４６.８８

（３）＝０.１１７０（4）＝２８.９０

（５）＝２.８８１（６）２５·＝０.０８７３５

七、板书设计（略）

八、课后记：

2019-2020年高中数学第二章函数教案8

教学目的：

巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算

教学重点：

根式和分数指数幂的概念和性质

教学难点：

准确应用计算.

授课类型：

巩固课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，（）=a.

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：

，（a0）.

2．分数指数幂的运算性质：

二、讲解范例：

例1.用分数指数幂表示下列分式（其中各式字母均为正数）

（1）（２）（３）

（４）（５）（6）

解：

（１）

（2）

（3）

（４）

（５）

（６）

例2（课本第77页例4）计算下列各式（式中字母都是正数）：

⑴；⑵.

解：

⑴原式=[2×（-6）÷（-3）]；

⑵原式=

说明：

该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号.同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.

例3（课本第77页例5）计算下列各式：

⑴；⑵（a>0）.

解：

⑴原式=

=；

⑵原式=.

说明：

本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数

例4化简：

解：

评述：

此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决

例5已知x+x-1=3,求下列各式的值：

分析：

（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；

（2）题若立方则可出现

（1）题形式与已知条件，需将已知条件与

（1）题结论综合；或者，可仿照

（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开

解：

评述：

（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意

（2）题解法一注意了

（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外，

（2）题也体现了一题多解

三、练习：

1．练习：

课本第78页练习：

4；习题：

*6⑴，*7⑴.

答案：

7⑴∵，

∴=，又由已知得x>0，于是>0，

∴=.

2.练习求下列各式的值：

（1）（２）（３）

（4）（5）（6）

解：

（1）

（2）

（３）

（4）

（5）

（6）

五、小结本节课学习了以下内容：

熟练进行有关分数指数幂是计算，熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质

六、课后作业：

1．求下列各式的值：

（1）

（2）（３）（4）

解：

（１）

（２）

（3）

（4）

2．课本第75页习题2.5：

6⑵，7⑵⑶⑷.

解：

6.⑵=；

7.⑵∵，

而（由⑴知），，，

∴；

⑶∵，∴；

⑷.

3．已知：

，求证：

.

证明：

由已知得

，

⑴÷⑵，得，

∴，即

4．已知：

，，求的值.

解：

由，

又1

∴原式==

=.

5．求值：

.

解：

设，由公式得

（1+）+（1-）+3x=x3，即x3+x-2=0，

分解因式得：

，

∵，∴，即x=1，∴原式=1.

6．设mn>0，x=，化简：

A=.

解：

∵x-4=（）-4=（），

∴A==，

又∵mn>0，∴m，n同号.

⑴设m>0，且n>0，则A=.

①若mn，则A=；②若m

⑵设m<0，且n<0，则A=.

①若nm，则A=；②若n

综上所述得：

A=.

七、板书设计（略）

八、课后记：