傅里叶级数及其应用毕业.docx

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傅里叶级数及其应用毕业

傅里叶级数及其应用

专业：

数学与应用数学

班级：

姓名：

摘要

为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性．

关键词：

元函数；微分中值定理；几何意义；复数域

Abstract

Inordertounderstandandmakebetteruseofthedifferentialmeanvaluetheoremwhichcanplayalargestroleinapplication,weexplorethegeneralizationandtheapplicationofthedifferentialmeanvaluetheoreminn-variablefunctionsandcomplexfieldbasedonthecomprehensionandmasteryofthedifferentialmeanvaluetheoremintextbook.Atfirst,accordingtothedifferentialmeanvaluetheoremofone-variablefunction,wegivetheuniformofRolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaluetheorem.Thenwecomplementthedifferentialmeanvaluetheoremoftwo-variablefunctionintextbookfollowingone-variablefunction,givetheexpressionsofRolletheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaluetheoremoftwo-variablefunction,constituteauxiliaryfunctionandgivetheproofprocedure,discussthegeometricsignificanceoftheRolletheoremandLagrangetheoremoftwo-variablefunction.Later,wegivetheexpressionsoftheRolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheorem,Taylormeanvaluetheoremofn-variablefunctionbycomparingthedifferentialmeanvaluetheoremofone-variablefunctionandtwo-variablefunction.Similarly,byconstitutingauxiliaryfunction,wechangen-variablefunctionintoone-variablefunctionandgivetheproofoffourtheorems.Checktheavailabilityofthedifferentialmeanvaluetheorembysometypicalexamples.Atlast,proceedfromthedifferentialmeanvaluetheoremoftwo-variablefunction,wegivetheexpressionsofRolletheorem,Lagrangetheorem,Cauchymeanvaluetheoremincomplexfieldandchecktheavailabilityofthedifferentialmeanvaluetheorembysometypicalexamplesatthesametime.

Keywords:

n-variablefunction;differentialmeanvaluetheorem;geometricsignificance;complexfield

引言

微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具．

在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的内容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系．在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在元微分学即维空间以及复数域上得以使用．

本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理．其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义．第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立

，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义．第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述．接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明．

1傅立叶级数

自然界中周期现象的数学描述就是周期函数．最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数或余弦函数表示．但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示．因此，傅里叶级数就应运而生．傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法．其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题．傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着．

1.1一元函数中值定理及其几何意义

从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上．

考虑一个简单的二维平面的例子.如下图所示，给定两个向量和，从的末端出发作到所在直线的垂线，得到一个跟同向的新向量．这个过程就称作到所在直线的投影，得到的新向量就是沿方向的分量。

图中的系数是跟的比例，也就是在轴上的“坐标”．可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：

如果给定的向量和都是代数形式的，怎么用代数的方法求？

图片1：

向量到所在直线的投影

知道这个向量是“正交”于的，用数学语言表达就是．

马上就可以得到c的表达式如下：

如下图所示，现在引进一组正交基，那么可以展开成以下形式

图片2：

向量在正交基上的展开

   从图上来看，式其实说的是可以把“投影”到和这两个坐标轴上，和就是的新“坐标”.问题是：

怎么求和呢？

利用之前关于投影的讨论，可以直接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表达式：

； ；

如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把式中的换成新坐标轴就好了.这些东西跟傅里叶级数有什么关系？

给定一个周期是的周期函数，它的傅里叶级数为：

其中系数表达式如下：

；

从几何角度来看，可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，

从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了.还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.

1.2傅里叶级数的敛散性问题

定义１若函数在区间除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数在逐段连续．若函数与它的导函数都逐段连续，则称函数在逐段光滑．

显然，逐段光滑的函数是可积的．

1.2.1相关定理

定理１　若是元函数在凸区域上以为周期的在逐段光滑的函数，则函数的傅里叶级数在收敛，其和函数式，即，有．

，使得

．

特别地，当时，变为

．

因为，所以，．即

，．

这就是一元函数的罗尔定理的公式．

元函数罗尔定理的几何意义：

在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与面平行，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切平面平行于面．

定理2（元函数拉格朗日定理）设元函数在凸区域上连续，在的所有内点都可微，对内任意两点，，

，，使得

．　　（2-1）

证明令，．

它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在

内可微，于是根据一元函数微分中值定理，，使得

．

由复合函数的求导法则

　　　　　　　　．

，．

而=．所以，

．

特别地，当，则由（2-1）式有

，．

这就是一元函数的拉格朗日中值公式．

元函数拉格朗日定理的几何意义：

在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面所切得面，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切曲面平行于面．

定理3（元函数柯西中值定理）设元函数和在凸开域上连续，在内关于各个变元具有连续的偏导数，对内任意两点，，，则有

　，．

证明首先证明，用反证法．假设．即

．

根据元函数的罗尔定理，，使得

，

与已知条件矛盾．

其次作辅助函数

，

其中．由定理中的条件知在上