真题押真题数学第九期.docx
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真题押真题数学第九期
命题点1全等三角形的相关证明
1.（2019宜宾18题）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：
∠C＝∠E.
【参考答案】
证明：
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
AB＝AD，
∠BAC＝∠DAE，
AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠C＝∠E.
第1题图
【推荐区域：
陕西】
命题点2统计
2．（2019宁波21题）今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了
解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生
中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表.
100名学生知识测试成绩的频数表
成绩a（分）
频数（人）
50≤a<60
10
60≤a<70
15
70≤a<80
m
80≤a<90
40
90≤a≤100
15
100名学生知识测试成绩的频数直方图
第2题图
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）m＝，并补全频数直方图；
（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？
请简要说明理由；
（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．
【推荐区域：
陕西】
【参考答案】
解：
（1）20，补全频数直方图如解图；
【解法提示】m＝100－10－15－40－15＝20.
第2题解图
（2）不一定是，理由如下：
将100名学生知识测试成绩按从小到大排列，第50名与第51名学生的知识测试成绩都在分数段80≤a＜90中，但它们的中位数不一定是85分．
40＋15
（3）
100
×1200＝660（人）．
答：
全校1200名学生中，成绩优秀的约有660人．
命题点3锐角三角函数的实际应用
3．（2019贺州22题）如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离．（3≈1.73，2≈1.41，结果保留一位小数）．
第3题图
【参考答案】
解：
如解图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，
∴∠CAB＝90°－60°＝30°.
∵在C处沿东南方向驶往港口B，
∴∠BCD＝45°.
∴△CDB是等腰直角三角形，且DC＝BD.
∵在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B，
∴BC＝20×3＝60（海里）．
【推荐区域：
陕西】
∴CD＝BD＝
2BC＝30
2
（海里）．
在Rt△ADC中，CD＝30海里，∠CAB＝30°，
∴tan30°=CD=
AD
3,即
3AD
=3．
3
∴AD=30（海里）,
∴AB＝AD＋DB＝30
＋30
=30
（+1）≈115.5（海里）．
答：
A,B间的距离约为115.5海里.
第3题解图
命题点4相似三角形的实际应用4．（2019荆门22题）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上）．测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE.
【参考答案】
第4题图
【推荐区域：
陕西】
解：
设E关于点O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC，FA相交于M，连接GF并延长交
OE于H，易得四边形DBFG，四边形BFHO为矩形.
第4题解图
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，△MAO∽△MFH，
∴AC＝AMMO
FGMFMH
＝，
即AC＝OE＝OEOE
BDMHMO＋OHOE＋BF
OE2
∴＝，
OE＋1.62.1
∴OE＝32.
答：
楼的高度OE为32米．
命题点5函数的实际应用
5．（2019龙东地区25题）小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘
记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明.小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇，两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示。
（1）求函数图象中a的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【参考答案】
第5题图
【推荐区域：
陕西】
解：
（1）a
300
＋5）＝900；
＝5×（10
（2）小明的速度为300÷5＝60（米/分钟）；
小强的速度是（900－60×2）÷12＝65（米/分钟）；
（3）由题意得B（12，780），
设AB所在直线的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．把A（10，900）、B（12，780）代入得，
10k＋b＝900，
12k＋b＝780，
k＝－60，
∴
b＝1500.
∴线段AB的解析式为y＝－60x＋1500（10≤x≤12）
6．（2019连云港23题）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x吨，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得A原料至多为1000吨，其他原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨，能获得最大利润．
【推荐区域：
陕西】
【参考答案】
解：
（1）y＝0.3x＋0.4×（2500－x）＝－0.1x＋100.
（2）由题意得：
0.25x＋0.5×（2500－x）≤1000，解得x≥1000.
又∵x≤2500，∴1000≤x≤2500.
∵y＝－0.1x＋100，－0.1＜0，
∴y的值随着x的增加而减小．
∴当x＝1000时，y取最大值，
此时生产乙种产品2500－1000＝1500（吨）．
答：
工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润．
命题点6概率
7．（2019江西16题）
为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：
《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在
3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八
（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八
（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八
（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八
（1）班和八
（2）班抽中不同歌曲的概率．
【推荐区域：
陕西】
【参考答案】
1
（1）；
3
（2）画树状图如解图；
第16题解图
由树状图得，共有9种等可能的结果，八
（1）班和八
（2）班抽中不同歌曲的结果有6种，
.
∴P（两个班抽中不同歌曲）＝6＝2
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命题点7圆切线的证明及计算
8．（2019天水24题）
如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
第8题图
【推荐区域：
陕西】
【参考答案】
（1）证明：
如解图，连接OC，
∵OA＝OC，OD⊥AC，
∴OD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
PA＝PC，在△PAO和△PCO中，AO＝CO，
PO＝PO
∴△PAO≌△PCO中（SSS），
∴∠PAO＝∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线．
第8题解图
（2）解：
∵PC是⊙O的切线，
∴∠FCO＝∠PCO＝90°，
∵∠ABC＝60°，OB＝OC，
∴△OCB是等边三角形，又∵AB＝10，∴OB＝OC＝5.
在Rt△FCO中tan60°＝CF＝3.
CO
∴GF＝53.
9．（2019贵阳23题）
如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O
上．
（1）求证：
OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D，如果∠D＝90°，DP＝1.求⊙O的直径．
【参考答案】
（1）证明：
∵点A关于OP的对称点是点C，
∴∠AOP＝∠COP，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB，
∴2∠AOP＝2∠B，
∴∠AOP＝∠B，
∴OP//BC.
（2）解：
如解图，连接PC，
第9题图
【推荐区域：
陕西】
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∵∠D=90°
∴AD∥OC，
∴∠A+2∠AOP=180°，
由
（1）知，∠AOP=∠B，
∴∠A+2∠B=180°①，在△AOP中，OA=OP，
第9题解图
∴∠A+∠OPA+∠AOP=2∠A+∠B=180°②，
由①②得∠A=∠B=60°，
∴△AOP，△COB都是等边三角形，
∴∠POC=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴OC=PC，∠DCP=∠DCO－∠PCO=30°，
在Rt△PCD中，PC=2PD=2，
∴⊙O的直径为2OC=2PC=4.
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