汕头一模理数含答案.docx
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汕头一模理数含答案
2018汕头一模理数（含答案）
5．上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？
某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是
A．B．C．D．
（图1）（图2）
6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
7．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为
A．2B．C.0D．
8．函数在区间内是增函数，则
A．B．的周期为
C．的最大值为4D．
9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥
体积的最大值为2，则球的表面积为
A．B．C．D．
10．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双
曲线交于、两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的
距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A．B．
C．D．
11．如图3，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形
的边长为1，则该几何体的体积为
A．15B．16
C.D．
12．已知、都是定义域为的连续函数．已知：
满足：
①当时，恒成立；②都有．
满足：
①都有；②当时，．
若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分。
13．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为__________．
14．已知椭圆的左右焦点是、，设是椭圆上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为__________．
15．若平面区域夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．
16．在中，且，边上的中线长为，则的面积是__________．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且，．
（1）求证：
数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图4，多面体中，面为正方形，，，，二面角的余弦值为，且．
（1）证明：
平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
质量y（g）
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益（单位：
千元）与的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？
（精确到0.1）
附：
对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，，.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，直线交于两点．
（1）若直线过焦点，过点作轴的垂线，交直线于点，求证：
点的轨迹为的准线；
（2）若直线的斜率为，是否存在抛物线，使得且的面积为，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
（2）证明：
存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．
请考生在第22，23题中任选一题作答．作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）。
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点（异于原点），定点，求的面积.
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围．
绝密★启用前试卷类型：
A
2018年汕头市普通高考第一次模拟考试
理科数学
参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
B
D
A
C
D
B
C
D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分。
题号
13
14
15
16
答案
或
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
（1）∵，
∴----------------------------2分
又
∴数列是首项为2，公差为1的等差数列----------------------------3分
∴，即：
-------------------------4分
当时，
当时，
∴，----------------------------6分
（2）解：
由（Ⅰ）得：
设数列的前项和分别为，则--------------------------7分
记，数列的前项和为
当时，，则
当时，
∴----------------------------11分
∴----------------------------12分
18．（本小题满分12分）
（1）证明：
∵，，，由勾股定理得：
----------------1分
又正方形中，且
∴面----------------------------3分
∵面，∴平面平面----------------------------4分
（2）解：
由（Ⅰ）知是二面角的平面角----------------------------5分
作于，则，
且由平面平面，平面平面，面得：
面---------------------------6分
取中点，连结，则---------------------------7分
如图，建立空间直角坐标系，
则、、、
∴，的一个方向向量---8分
设面的一个法向量，
则，
取，得：
----------------------------9分
又面一个法向量为：
----------------------------10分
∴----------------------------11分
设面与面所成二面角为，由为锐角得：
----12分
19．（本小题满分12分）
（1）解：
由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品----------------------1分
现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数
，，
，----------------------------3分
的分布列为
----------------------------5分
（2）解：
对（）两边取自然对数得，
令，得，且，----------------------------6分
（ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，
----------------------------7分
，得，故----------------------8分
所求y关于x的回归方程为----------------------------9分
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，则
由优等品质量与尺寸的比，即----10分
令，
当时，取最大值----------------------------12分
即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大.
20．（本小题满分12分）
（1）证明：
依题意得，直线的斜率存在，过焦点，故设其方程为：
，
设点，
由得：
，则---------------------------2分
直线，直线
由得：
，且----------------------------4分
故：
点的轨迹方程为的准线.----------------------------5分
（2）解：
由已知，设，设、，则，
由，得----------------------------6分
由得：
，则，，------------7分
∴
由得：
----------------------------8分
∴---------------------------9分
又点到直线的距离为----------------------------10分
∴由得：
----------------------------11分
故：
存在抛物线满足条件.----------------------------12分
21．（本小题满分12分）
（1）解：
由已知，函数的定义域为，------1分
所以----------------------------2分
当时，，单调递减----------------------------3分
当时，，单调递增----------------------------4分
（2）证明：
由，解得---------------------5分
令
则
于是，存在，使得----------------------------7分
令
由（Ⅰ）知：
，即------------------9分
当时，有
由（Ⅰ）知，在区间上单调递增
故：
当时，，
当时，，
又当时，．
所以，当时，.----------------------------11分
综上述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解--12分
2
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