振动图像与波的图像及多解问题专题.doc

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振动图像与波的图像及多解问题

一、振动图象和波的图象

振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．

简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：

振动图象

波动图象

研究对象

一振动质点

沿波传播方向所有质点

研究内容

一质点的位移随时间的变化规律

某时刻所有质点的空间分布规律

图线

物理意义

表示一质点在各时刻的位移

表示某时刻各质点的位移

图线变化

随时间推移图延续，但已有形状不变

随时间推移，图象沿传播方向平移

一完整曲线占横坐标距离

表示一个周期

表示一个波长

例题精选：

例题1：

如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象

（1）说出两图中AA/的意义？

（2）说出甲图中OA/B图线的意义？

（3）求该波速v=？

（4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图

（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移

解析：

（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．

（2）甲图中OA/B段图线表示O到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．

（3）甲图得波长λ＝4m，乙图得周期T＝1s所以波速v=λ/T=4m/s

（4）用平移法：

Δx＝v·Δt＝14m＝（3十½）λ

所以只需将波形向x轴负向平移½λ=2m即可，如图6——28所示

（5）求路程：

因为n==7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。

8m

求位移：

由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．

例题2：

如图所示，

（1）为某一波在t＝0时刻的波形图，

（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是

A．该列波的波速度为4m／s；

B．若P点的坐标为xp＝2m，则该列波沿x轴正方向传播

C．该列波的频率可能为2Hz；

D．若P点的坐标为xp＝4m，则该列波沿x轴负方向传播；

解析：

由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T＝4m／s．

由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：

若P点的坐标为xp＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为xp＝4m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．

点评：

当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向

二、波动图象的多解

波动图象的多解涉及：

（1）波的空间的周期性；

（2）波的时间的周期性；（3）波的双向性；（4）介质中两质点间距离与波长关系未定；（5）介质中质点的振动方向未定．

1．波的空间的周期性

沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x），如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt=x/v=xT0/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．

空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．

2．波的时间的周期性

在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度等）相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．

波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．

①传播距离：

②传播时间：

③传播速度：

④质点振动路程：

3．波的双向性

双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．

4．介质中两质点间的距离与波长关系未定

在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．

5．介质中质点的振动方向未定

在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解．

说明：

波的对称性：

波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．5．已知波速v和波形，画出再经时间波形图的方法

⑴平移法：

先算出经时间波传播的距离，再把波形沿波的传播方向平移即可。

因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变。

当时，可采取去整留零的方法，只需移x即可。

⑵特殊点法：

在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看。

由于经nT波形不变，所以也是去整留零，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。

6．已知振幅A和周期T，求振动质点在时间内的路程和位移

求振动物体在时间内的路程和位移，由于涉及质点的初始状态，需用正弦函数较复杂。

特殊情况下如T/2或T时，则比较容易求。

当质点的初始位移为x0时，经T/2的奇数倍时x=-x0，经T/2的偶数倍时，x=x0。

振动质点无论从哪个位置开始计时，在一个周期内通过的路程为4A，半个周期内通过的路程为2A，但不能说四分之一周期内通过的路程为A。

这与振子的计时位置有关。

例题3：

一列在x轴上传播的简谐波，在xl=10cm和x2=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为s，这列简谐波的波长为cm．

【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为4s．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：

（1）波沿x轴的正方向传播．在t＝0时，x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x2一x1＝（n十1/4）λ，λ=400/（1十4n）cm

（2）波沿x轴负方向传播．在t＝0时．x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性……，x2一x1＝（n十3/4）λ，λ=400／（3＋4n）cm

点评：

由于波在媒质中传播具有周期性的特点，其波形图每经过一个周期将重复出现以前的波形图，所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有两个前提：

一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围）．

例题4：

如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。

求：

4

x/m

y

0

①波传播的可能距离②可能的周期（频率）

③可能的波速④若波速是35m/s，求波的传播方向

⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。

解析：

①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：

向左传播或向右传播。

向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m（n=0、1、2…）

向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m（n=0、1、2…）

②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：

T=4t/（4n+3）=0.8/（4n+3）（n=0、1、2…）

向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：

T=4t/（4n+1）=0.8/（4n+1）（n=0、1、2…）

③计算波速，有两种方法。

v=x/t或v=λ/T

向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s.或v=λ/T=4（4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2…）

向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s.或v=λ/T=4（4n+1）/0.8=（20n+5）m/s.（n=0、1、2…）

④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。

⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。

则：

向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：

周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：

周期T=0.8s；波速v=5m/s.

点评：

做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。

例题5：

如图所示，一列简谐横波在t1时刻的波形，如图甲所示，质点P在该时刻的振动速度为v，t2时刻质点P的振动速度与t1时刻的速度大小相等，方向相同；t3时刻质点P的速度与t1时刻的速度大小相等，方向相反．若t2－t1＝t3—t2＝0．2秒，求这列波的传播速度．

解析：

从振动模型分析，若质点P从t1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有：

t2—t1＝（n＋1／4）Tn＝0，1，2……

周期为：

T=（t2一t1）／（n十1/4）n＝0，1，2……

由公式：

v＝λ／T得出速度v的通解为：

v＝20（n＋l／4）n=0，1，2……方向向左．

若质点P从t1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：

t2—t1＝（n＋3／4）Tn＝0，1，2……

周期为：

T=（t2一t1）／（n十3/4）n＝0，1，2……

由公式：

v＝λ／T得出速度v的通解为：

v＝20（n＋3／4）n=0，1，2……方向向右．

答案：

v＝20（n＋l／4）（n＝0，1，2……）方向向左．

或v＝20（n＋3／4）（n＝0，1，2，……）方向向右

123456789

QR

P

x/cm

s/m

O

例题6：

已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。

t2-t1=0.02s来求：

⑴该波可能的传播速度。

⑵若已知T

⑶若0.01s

解：

⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了，所以波速=100（3n+1）m/s（n=0,1,2,…）；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100（3n+2）m/s（n=0,1,2,…）

⑵P质点速度向上，说明波向左传播，T

v=500m/s

⑶“Q比