平行四边形的判定典型例题及练习.docx
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平行四边形的判定典型例题及练习
平行四边形之樊仲川亿创作
一、
时间：
二O二一年七月二十九日
二、知识点温习
1、平行四边形的判定
平行四边形的判定办法
①两组对边辨别平行的四边形是平行四边形.
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
③两组对边辨别相等的四边形是平行四边形.
④对角线相互平分的四边形是平行四边形.
2、平行线等分线段和三角形中位线定理
（1）平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等.
（2）平行线等分线段定理的推论:
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
（3）三角形的中位线:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（4）三角形中位线定理：
三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
3、三角形的重心
（1）重心的定义：
三角形的三条中线交于一点,这点就是三角形的重心.
（2）重心的性质：
三角形的三条中线相交于一点,这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一.
二、典型例题讲解
模块1：
平行四边形的判定
题型1：
平行四边形的判定
例题1：
如图所示,在平行四边形中,辨别是,的平分线,求证：
四边形是平行四边形.
例题2：
如图,在等边三角形中,是的中点,以为边向左侧作等边三角形.
（1）求的度数.
（2）取的中点,连接、.试证明四边形是平行四边形.
例题3：
如图,在平行四边形中,为对角线,是上的点,且.
求证：
四边形是平行四边形.
变式练习：
1.如图,在中,中线,相交于点,、辨别是、的中点,连接,求证：
四边形是平行四边形.
2.如图,已知,,,求证：
四边形是平行四边形.
3.如图,四边形中,,作交于.的周长是,四边形的周长是,那么.
题型2：
添加条件证明平行四边形
例题4：
如图,在四边形中,,要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件不克不及是（）
A、B、C、D、
例题5：
、、、在同一平面内,从①；②；③；④这四个条件中任选两个,能使四边形是平行四边形的选法有种.
变式练习
1.（如图,四边形的对角线交于点,下列哪组条件不克不及判断四边形是平行四边形（）
A、B、
C、D、
2.已知在四边形中,,添加下列一个条件后,一定能判定四边形是平行四边形的是（）
A、B、C、D、
3.如图所示,平行四边形中,、是对角线上两点,连接,,
,添加条件,可以判定四边形是平行四边形.（填一个合适要求的条件即可）
中,,要使四边形成为平行四边形还需满足的条件是（横线上只需填一个你认为合适的条件即可）
题型3：
平行四边形的判定与性质的综合应用
例题6：
已知：
如图,平行四边形的两条对角线相交于点,是的中点,过点作的平行线,交的延长线于点,连接.
（1）求证：
；
（2）求证：
四边形是平行四边形.
例题7：
如图所示,为等边内任意一点,,,,并且、、辨别在、、上,求证：
．
例题8:
如图所示,是的角平分线,点,辨别在边,上,且.
（1）求证：
；
（2）若,求四边形的面积.
变式练习
1.如图,是等边三角形外一点,且,,,若的周长是36,则=.
2.如图,在平行四边形中,交于点,,,垂足辨别为,求证：
四边形为平行四边形.
3.如图所示,在平行四边形中,,辨别是的中点,.
（1）求证四边形是平行四边形；
（2）求证.
题型4：
平行四边形中的动点问题
例题18：
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD＞BC,BC=6cm,点P、Q辨别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动．试探究：
几秒后四边形ABQP是平行四边形？
例题19：
如图,在四边形中,,,,是的中点.点以每秒1个单位长度的速度从点出发,沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发,沿向点运动.点停止运动时,点也随之停止运动.当运动时间为多少秒时,以
为顶点的四边形是平行四边形.
变式练习
1.如图：
在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD＞BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q辨别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,______秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形．
2.如图,在四边形中,,,,
,点从点出发,以的速度向点运动；点从点同时出发,以的速度向点运动.规定,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,从运动开始,使和,辨别需经过多少时间？
为什么？
模块2：
三角形的中位线
题型1:
直接利用三角形的中位线性质
例题1：
如图,在中,,,,点,,辨别是三边的中点,则的周长为（）
A、9B、10C、11D、12
例题2：
如图,周长为1,连接三边中点组成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点组成第三个三角形,以此类推,第2018个三角形的周长为（）
A、B、C、D、
变式练习
1.已知三角形的3条中位线辨别为、、,则这个三角形的周长是（）
A、B、C、D、
2.如图所示,是的中位线,平分,交于,若,则.
题型2：
利用三角形的中位线解决图形的面积问题
例题3：
如图,是的中位线,是的中点,的延长线交于点,若的面积为,则的值为（）
A、B、C、D、
例题4：
如图,的面积是12,点、、、辨别是、、、的中点,则的面积是（）
A、B、C、D、
变式练习
1.如图,在中,,辨别是的中点,为上的点,连接,.若,,,则图中阴影部分面积为（）.
A、25B、35C、30D、42
第1题第2题
2.如图,在中,,,点辨别是,的中点,交的延长线于,则四边形的面积为.
题型3：
与三角形中位线有关的动点问题
例题4：
如图,四边形中,,,,点辨别为线段,上的动点（含端点,但点不与点重合）,点辨别为的中点,则长度的最大值为（）
A、8B、6C、4D、5
变式练习
1.如图,已知四边形中,辨别是,边上的点,辨别是的中点,当点在上从向移动而点不动时,下列结论成立的是（）
A、的周长不变B、线段的长与点的位置无关
C、点到的距离不变D、的大小不变
2.如图,已知四边形中,,点是边上的动点,连接,辨别是,的中点,当点在上从点向点移动过程中,下列结论成立的是（）
A、线段的长先减小后增大B、线段的长不变
C、线段的长逐渐增大D、线段的长逐渐减小
题型4：
三角形中位线性质的综合应用
例题5：
如图,在中,点是边的中点,点在内,平分,,点在边上,.
（1）求证：
四边形是平行四边形；
（2）线段、、的数量之间具有怎样的关系？
证明你所得到的结论.
变式练习
1.如图所示,已知是中的平分线,的延长线于点是的中点.求证：
.
课后作业
一、选择题.
1.下列不克不及判定一个四边形是平行四边形的是（）
2.能判定四边形为平行四边形的条件是（）
A、B、
C、D、
3.小敏失慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是（）
A、①,②B、①,④C、③,④D、②,③
第3题第4题第5题
4.如图,中,、辨别是、的中点,平分,交于点,若,则的长是（）
A、B、C、D、
5.如图,是的边的中点,平分,
于点,且,,则的长是（）
A、12B、14C、16D、18
6.如图,在中,辨别是的中点,点在上,且,与相交于点,若,,那么的度数是（）
A、B、C、D、
第6题第7题第8题
7.如图,在四边形中,,,,,点从点出发以3个单位/s的速度沿向终点运动,同时点从点出发,以1个单位/s的速度沿向终点运动.当四边形为平行四边形时,运动时间为（）
A、B、C、D、
8.如图,平行四边形中,,,点在边上以每秒的速度从点向点运动,点在边上,以每秒的速度从点出发,在间往返运动,两个点同时出发,当点到达点时停止（同时点也停止）,在运动以后,以四点组成平行四边形的次数有（）
A、1次B、2次C、3次D、4次
二、填空题.
9.如图,在中,辨别是边的中点,,先将沿折叠,点落在三角形所在平面内的点为,则的度数为.
10.如图,用9个全等的等边三角形,按图拼成一个几何图案,从该图案中可以找出平行四边形.
11.如图,已知为等腰三角形纸片的底边,,,将此三角形纸片沿剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平行四边形,则能拼出平行四边形个.
12.已知直角坐标系内有四个点,,,,若以为顶点的四边形是平行四边形,则=.
13.如图,在等边三角形ABCD中,,射线,点从点出发沿射线以的速度运动,点从点出发沿射线以的速度运动.如果点同时出发,设运动时间为,当=时,以为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题
14.如图,四边形中,,,,是边的中点,连接并延长,与的延长线相交于点.
求证：
四边形是平行四边形.
15.如图,在平行四边形中,,,连接,,,.求证：
四边形是平行四边形.
和平行四边形中,,,,辨别是对角线、的中点,求的长.
17.如图,平行四边形是对角线、交于点,,,连接.
（1）求证：
；
（2）求证：
四边形是平行四边形.
18.如图所示,在四边形中,,是对角线的中点,是的中点,是的中点.请判断的形状,并说明理由.
时间：
二O二一年七月二十九日
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