典型例题分析及解答Word格式文档下载.docx
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,试完成ΔABC的水平投影,见图2-4-1。
求平面与投影面夹角的方法是先求出平面的最大斜度线,最大斜度线与投影面的夹角即为平面与投影面的夹角。
根据以上思路,先作一水平线c’d’,水平线CD的水平投影与平面的最大斜度线垂直,即可求出平面的投影。
作图:
(1)作CD水平线的正面投影c’d’,得出平面对H面的最大斜度线BE的Z坐标差。
(2)以b为圆心,以BE的Z坐标差为半径画弧。
因为α=45°
,所以水平投影长与正面高差相等。
过c作线与弧相切得切点E并与dd’相交于d(因为水平投影要反映垂直)。
(3)过b经d画出ab。
CD为水平线;
BE为最大斜度线,Δabc即为所求,见图2-4-2。
图2-4-1图2-4-2
例2已知平面图形的正面投影及部分平面的水平投影,完成平面图形的水平投影,见图2-4-3(a)。
平面图形的水平投影已有三点,平面已确定,利用在平面内求点、求线的方法即可得解。
(1)过b作bg∥ah,得c、f、g,图2-4-3(b)
(2)过c、f作cd∥fe∥ab,得d、e。
(3)依次连接各点,见图2-4-3(c)。
(a)(b)(c)
图2-4-3
2-5直线与平面、平面与平面之间的相对位置
例1.过点M作一正平线平行于ΔDEF平面,如图2-5-1(a)所示。
过平面外一点可以作出无数条直线平行于该平面,但本题要求作的直线是正平线,那么,在平面上与其平行的必定是平面上的正平线。
作图如图2-5-1(b)所示
1)在平面ΔDEF上任作一正平线DG。
2)过点M作直线MN平行于DG(m’n’∥d’g’、mn∥dg),则MN为所求直线。
(a)(b)
2-5-1
例2.过已知点K作平面平行于已知平面ΔDEF,图2-5-2(a)。
据两平面互相平行的条件,可过点K作相交的两直线分别平行于ΔDEF的两条边,则作相交两直线决定的平面必平行于ΔDEF。
作图[图2-5-2(b)]:
1)过点K作直线KM∥DF边,即作k’m’∥d’f’、km∥df。
2)过点K作直线KN∥DE边,即作k’n’∥d’e’、kn∥de。
由直线KM和KN所决定的平面必平行于平面ΔDEF。
2-5-2
例3.已知直线MN与正垂面相交,求其交点并判别它们的投影的可见性(图5-3)。
由于交点K是直线与正垂面的共有点,所以它的正面投影k’一定是直线MN与正垂面ΔABC正面投影的交点。
根据点线的从属关系,可由k’求得交点K的水平投影k,结果见图5-3(b)。
例4.平面ΔABC与平面ΔDEF相交,求交线MN[图5-4(a)]
根据两面相交交线的共有性,从水平投影中可以看出,平面ΔABC中只有mn一条线与平面ΔDEF重合,故交线的水平投影为已知。
再根据直线MN属于平面ΔABC,用面上找线的方法可以求得m’n’。
判别可见性:
交线MN把ΔABC分成两部分。
从水平投影可以看出CMN在平面ΔDEF之前,所以正面投影中c’m’n’为可见。
而a’m’n’与Δd’e’f’的重影部分为不可见,见图5-4(b)
例5.求直线MN与平面ΔBCD的交点,并判别其可见性[图5-5(a)]
一般位置平面与一般位置直线相交,求交点可包含直线作一平面P,P与平面ΔBCD的交线与MN的交点即为所求交点。
为简化作图,P平面一般为垂直面。
1)过直线MN作辅助面P(在图中可以不标出),这里取P为正垂面。
2)求出交点K,如图5-5(b)所示。
3)判别可见性,如图5-5(c)所示。
例6.求M点到平面ΔABC的距离[图5-6(a)]
为了过点M向平面ΔABC作垂线,根据垂线的投影特性,应首先在ΔABC上作正平线和水平线,用以确定垂线方向。
即过M点的正面投影m’作线垂直于a’d’,过M点的水平投影m作线垂直于bc。
其次,求垂线与平面ΔABC的交点N。
最后用直角三角形求出MN的实长,该实长即为点M到平面ΔABC的实际距离。
作图过程见图5-6(b)、(c)。
例7.过已知点K作平面垂直于平面ΔEFH,见图5-7(a)
若过点K作一直线垂直于平面ΔEFH,则包含该直线的任一平面均垂直于ΔEFH平面,故本题有无穷多个解。
见图5-7(b)
1)在平面内作水平线HI(h’1’、h1)和正平线EII(e’2’、e2)
2)作KM垂直于平面ΔEFH(即作km⊥h1、k’m’⊥e’2’)
3)过点K任作一直线KN。
KN、KM所决定的平面,即为所求平面的一个解。
3—5投影变换
例1、已知一直线L与点A,作一直角边BC=40mm,且位于直线L上的直角ΔABC,图6-1(a)所示。
欲作∠B为直角,即AB⊥L,用换面法将L变为投影面平行线,则∠ABC在该面上的投影反映直角,在反映实长的l1’上截取b1’c1’=40mm,得c1’,返回原体系,连接ΔABC的即为所求。
(1)作轴x1∥l,在V1面上作出l’1、a’1。
(2)过a’1作a’1b’1⊥l’1得垂足b’1
(3)过b’1沿l’1量取40mm得c’1。
(4)c’1、b’1返回原体系,连成ΔABC。
例2、作一平面,使其与平面ΔABC的距离为20mm,如图6-2(a)所示。
如图6-2(b)所示,所求平面P必过距离ΔABC平面为20mm的一点,使ΔABC在新投影体系中变为投影面垂直面,则与它平行且相距为20mm的平面P可直接作出,将P平面返回原投影体系即可。
(1)将ΔABC平面变投影为垂直面,在V1面上作出a’1b’1c’1。
(2)过a’1作d’1a’1⊥Δa’1b’1c’1,且a’1d’1=20mm,过d’1作
Pv1∥直线a’1b’1c’1。
(3)将Pv1返回原体系,作ad∥x1轴求出d和d’,过d作de∥ab、df∥ac,过d’作d’e’∥a’b、d’f’∥a’c’,则平面DEF(P)满足要求。
讨论:
与ΔABC距离为20mm的平面应有两个,该题有两个解。
例3、已知两平行直线AB与CD相距15mm,求AB的正面投影,如图6-3(a)所示。
所求的直线AB必在以CD为轴、半径为15mm的圆柱面上,当CD变为某投影面的垂直线时,圆柱面在该投影面上的投影积聚成一个圆,与CD平行的AB也必积聚在该圆上。
(1)先把CD换成投影面平行线,作轴X1∥cd得c’1d’1。
(2)再把c’1d’1换成投影面垂直线,作轴X2⊥c’1d’1,(c2)d2积聚成一点。
(3)以(c2)d2为圆心,以15mm长为半径画圆,则a2d2必在该圆周上。
(4)按换面规律,a2d2到x2轴的距离等于ab到x1轴的距离,作出a2d2。
(5)将a2d2返回原体系,即得到a’b’。
AB应在直线与圆的两个交点上,该题有两个解。
例4、求直线EF与平面ΔABC所成的角度,如图6-4(a)所示。
如图6-4(b)过直线上任一点F向平面作垂线,然后求出该垂线与直线的夹角β,其余角α即为所示。
(1)过F点作ΔABC的垂线FD(f’d’、fd)。
(2)通过两次变换求得ΔEFD的实形Δe2f2d2。
(3)∠d2f2e2的余角α即为所求。
第四章立体的投影
例1、已知圆锥面上线段ABC的正投影,试作出此线段的水平投影和侧面投影,见图7-1。
线段ABC的正面投影a’b’c’虽为一直线,但因其在锥表面上,所以是一平面曲线,由锥面性质可知,ABC应为一椭圆曲线。
要求此椭圆曲线的水平投影和侧面投影,只要求出椭圆曲线上一系列点的水平投影和侧面投影,再顺次连接即可。
(1)因为A、B是圆锥表面上的特殊点(指其位于圆锥的转向轮廓线上),因此,由a’可直接求得a、a”;
由b’可直接求得b,再求得b”,见图7-1(b)。
(2)c点是锥面上一般的点,要求c的另外两投影,就要用辅助线法。
过c作过锥顶的素线SI,先求出SI的三投影,再求得c和c”,见图7-1(c).
(3)为使曲线光滑连接,应在ABC上取若干个点,以所取D点为例。
D为锥面上一般的点,仍需用辅助线法求其另外的两投影。
可利用过D的纬圆,先求出纬圆的侧面投影,求得d”,再求d,见图7-1(d)。
(4)判断各段的可见性,并光滑连接各点。
BC在锥的下半部,b是水平投影中可见性的分界点,所以bc画成虚线。
AB在锥面的上半部,故ab为实线,侧面投影均可见,将a”b”c”d”连成实线,完成作图,见图7-1(d)。
平面与立体相交
例1、已知一切割体的正面及水平投影,见图8-1(a)。
试判断图8-1(b)、(c)、(d)中哪个图形是与已知投影对应的侧面投影。
(1)由已知条件首先可看出此切割体的基本体(没被切割之前的立体)是圆柱而不是圆锥,圆柱被两个正垂面所截。
(2)因为圆柱是被倾斜于轴线的平面所截,其截交线应为椭圆。
(3)故图8-1(d)是与已知条件对应的侧面投影。
例2、已知三棱锥被截切,见图8-2。
完成其水平及侧面投影。
(1)三棱锥被二个平面所截,其一为正垂面P,其二为水平面Q;
P面与三棱锥相交的截交线由三段直线段组成:
P面与SAB棱面的交线III,P面与SBC棱面的交线IIIII及P面与SAC棱面的交线IⅥ。
Q面与三棱锥相交的截交线也由三段直线段组成:
Q面与SAB棱面的交线ⅣV,Q面与SBC棱面的交线ⅢⅣ,Q面与SAC棱面的交线VⅥ。
P面与Q面相交于直线ⅢⅥ。
(2)缺口三棱锥的正面投影为已知,故P、Q平面截切口三棱锥所得截交线的正面投影也为已知。
要求截交线的水平、侧面投影,可利用已知平面上的直线和点的一个投影,求作其余两投影的方法作图。
见图8—3
(1)点I、V在棱线SA上,其水平投影1、5及侧面投影1”、5”可在sa及s”a”上直接求得,见图8-3(a)
(2)点Ⅱ、Ⅳ在棱线SB上,可先利用SB的侧面投影s”b”求得2”、4”,再根据点的投影规律,求出水平投影2、4,见图8-3(b)。
(3)点Ⅲ、Ⅵ分别在SBC及SAC面上,利用面上求点的方法(辅助线法)求出Ⅲ及Ⅵ点的水平投影3、6及侧面投影3”、6”,见图8-3(c)
(4)连线。
由于是切口体,各点水平及侧面投影均可见。
连接:
水平投影:
1—2—3—4—5—6—1;
侧面投影:
1”—2”—3”—4”—5”(6”)—1”,见图8-3(d)。
例3、已知穿三棱柱孔的圆柱的正面投影,试求其水平及侧面投影,见图8-4。
(1)穿三棱柱孔的圆柱的正面投影为已知,穿孔部分的三棱柱孔由水平棱面、正垂棱面及侧平棱面与圆柱的截交线所组成。
(2)三棱孔的水平棱面与圆柱的截交线为两段圆弧,正垂棱面与圆柱的截交线为两段椭圆弧,侧平棱面与圆柱的截交线为两直线段。
(3)由于三棱柱孔各棱面垂直于正面,其截交线的正面投影重影于三棱柱孔正面投影的三角形上。
(4)截交线的水平及侧面投影可利用辅助截平面法求得。
见图8-5
(1)求特殊点的投影。
点I为截交线直线的端点,也是直线与部分椭圆弧的分界点,过点I作水平辅助截平面P,其截交线与圆柱的水平投影重合,因此可直接求得I点的水平投影1及后面对应点的水平投影。
再由1’、1求出1”及对应点的侧面投影,见图8-5(a)。
(2)点Ⅳ、V是截交线圆弧的两个端点,也分别是椭圆弧、直线的分界点。
过点Ⅳ、V作辅助截平面Q,其截交线的水平投影与圆柱面的水平投影重合,由正面向水平面作连系线,得4、5及其后面对应点的水平投影。
再由4’、5’及4、5求出4”、5”及其后面对应点的侧面投影,见图8-5(b)。
(3)过Ⅱ、Ⅲ作辅助截平面R、S,同理求出2、3及2”、3”,见图8-5(C)。
(4)Ⅱ点是圆柱面上向侧面投影转向轮廓线上的点,因此,2’是侧面投影可见性的分界点。
(5)连线1”—2”—3”—4”—5”;
(1”)-(5”)。
例4、完成截切圆锥的水平及侧面投影,见图8-6(a)
圆锥被三个平面所截:
侧平面P,其平行于轴线,故截交线为双曲线;
正垂面Q,其倾斜于轴线,截交线为椭圆的一部分;
正垂面R,其平行于一条母线,截交线为抛物线。
(1)求Rv平面截切圆锥的截交线,见图8-6(b).
I、II点分别于锥面向正面及侧面投影的转向轮廓线上,其水平及侧面投影可直接求得,III点为锥面上的一般点,可利用纬圆法求出其水平投影,再根据投影规律求3”。
(2)求Qv平面截切圆锥的截交线,见图8-6(c)。
Ⅳ、V点为锥面上的特殊点,其水平及侧面投影可直接求得。
因截交线为椭圆曲线,所以要确定椭圆的长轴端点(Qv截锥正面投影的中点即为椭圆长轴端点)。
取ⅣII点,利用纬圆法求其水平及侧面投影。
(3)求Pv平面截切圆锥的截交线,见图8-6(d)
Ⅵ点位于圆锥的底圆上,水平投影直接作连系线求得,再求侧面投影。
为使曲线连接光滑,取中间点Ⅷ,利用纬圆法求其水平及侧面投影。
(4)光滑连接各点,注意II、Ⅳ之间侧面投影轮廓被切掉了,见图8-6(e)(放大图)。
图8-6
两立体相交
例1、求三棱锥S-ABC和三棱锥P-DEF的相贯线,见图9-1(a)。
在求平面立体相贯线时,首先要大致判断一下哪些棱线可能参与相贯。
一般情况下,在某一个投影面上,一条棱在另一个立体轮廓的外面时,此棱不可能参与相贯。
由已知投影可判断出,SA、SC棱不参与相贯。
求出各棱线对另一立体表面的贯穿点,连接各点即可得相贯线。
(1)过PD(p’d’)棱作辅助面(辅助正垂面),求出PD棱对表面SAB和SBC的贯穿点I(1’,1)和II(2,2’),见图9-1(b)。
同理可分别求出PF棱对SAB面和SBC面的贯穿点III(3,3’)、Ⅳ(4,4’)及SB对PDE和PEF的贯穿点V(5,5’)和Ⅵ(6,6’),见图9-1(c)、(d)。
(2)判断各段可见性,连接各点,完成作图,见图9-1(e)。
例2、求正圆锥与三棱柱的相贯线,见图9-2(a)
由已知图可看出,三棱柱在水平面上的投影有积聚性,因此,相贯线的水平投影已知,只需求相贯线的正面投影即可。
由于三棱柱的三个棱面均垂直于水平面,故它们与圆锥的相贯线应由三段双曲线组成。
三段曲线间的连接点应为参与相贯的棱线与锥面的交点。
由于棱线为铅垂线,水平投影有积聚性,所以可按锥面上取点的方法求出。
又因为双曲线上的最高点应是离锥顶最近的点,在水平投影中,由锥顶向棱面作垂线,其交点即为最高点的水平投影。
相贯线上的其它点,可用辅助平面求得。
(1)在已知投影上取点、编号,见图9-2(a)
(2)由已知图知,三棱柱中有一棱线未参与相贯,利用纬圆法求出另二棱线与圆锥的交点II(2,2’)、V(5,5’)和双曲线上最高点Ⅳ(4,4’)、Ⅵ(6,6’),见图9-2(b)
(3)利用圆锥的投影特性,直接求得锥面上的点I(1,1’)、Ⅷ(8,8’)、III(3,3’)和Ⅶ(7,7’),见图9-2(c)
(4)可利用辅助水平面求出相贯线上的一般点。
(5)判断可见性,从水平投影可看出,4’、5’、6’、7’、8’均为不可见。
光滑连接各点,完成作图。
例3、求圆柱穿孔后的相贯线,见图9-3(c)
由已知投影看出其基本体是一个圆柱,其上半部开一个U形槽,下半部被两个等直径正交的圆柱孔相贯穿。
由于圆柱的投影特性,相贯线的正面、水平面投影均积聚在圆柱面的积聚投影上,故可视为已知,则要求的只是相贯线的侧面投影。
(1)求U形槽及正垂圆柱对外圆柱面的相贯线,即外表面交线,见图9-3(b)。
(2)求U形槽及正垂圆柱对内圆柱表面的交线,即内表面相贯线,见图9-3(c)。
(3)判断各点可见性,并光滑连接,完成作图,见图9-3(d)
第五章组合体
画出图14-3(a)所示三视图中所缺的线
运用形体分析法:
(1)由三面投影图可先把物体想成完整的长方体。
(2)由侧面投影想出物体被侧垂面切割,见图14-3(b)。
(3)由水平投影想象物体前部开槽形状,见图14-3(c)。
(4)由正面投影想象物体两侧被切,见图14-3(d)。
(5)综合起来,想出物体形状,见图14-3(e)。
(6)补出各图所缺的线,完成作图,见图14-3(f)。
(b)(c)
(d)(e)
例2、绘斗拱的侧面投影。
已知其正面投影及水平投影,见图14-4(a)。
分析:
由已知两视图可以看出,该形体由三部分组成,下部是倒放的正四棱台,中间部分为正四棱柱,上部沿X、Y轴方向开十字形槽。
此物体前后、左右均对称,所以侧面投影与正面投影相同。
补出侧面投影,见图14-4(b)。
例3、补绘建筑形体的左侧立面图。
已知其正立面图及平面图。
这是一个建筑形体,由已知投影图可看出,它是由三部分组成的:
底板、长方体、五棱柱。
长方体及五棱柱均位于底板上,长方体与五棱柱是左右放置的,底板的左后角及左前角均切掉一块。
(1)画出底板的侧立面图
(2)画出长方体及五棱柱的侧面投影。
(3)加深图线,完成作图,见图14-5。
补出组合体的正面投影,并标注尺寸,见图14-6(a)。
由已知投影图可见,组合体由以下三部分组成:
(1)底板,上有两个小圆孔,左下角及右下角分别被切掉一长方块。
(2)沿X轴方向的立板,位于底板上底面,左、右角分别被正垂面所切。
(3)沿Y轴方向的立板,前角被侧垂面所切。
画出正面投影,并标注尺寸,见图14-6(b)。
第六章轴测图
根据所给物体的正面投影和水平投影,求作物体的正等轴测图,见图11-3(a)。
此组合体由台阶、平台、拱门组成,为作图方便,取平台上底面与拱门前面交线的对称中心处为坐标原点。
(1)取坐标原点,画出轴测轴,根据正投影图画出台阶、平台及拱门长方体的正等测投影,见图11-3(b)。
(2)由O1Z1向上最取,求得拱门半圆的圆心,画出此处的X1、Y1轴,用四心法求得半圆的轴测投影椭圆,然后将所求圆心向后沿Y1轴方向移动一个长度(等于拱门的厚度),画出拱门背面的投影椭圆,见图11-3(c)。
(3)加深可见图线,完成作图,见图11-3(d)。
第七章曲线与曲面
例一.已知圆柱螺旋楼梯的内外直径和层高h,梯板厚度为半个踏步高,试绘制该螺旋梯的 投影。
(见图10-1)
图10-1
分析螺旋楼梯相当于一个踏步沿着两条圆柱螺旋线上生形成的,画出两条螺旋线,去掉被遮挡部分;
此外还应加上梯板厚度,即将可见的螺旋线向下降半个高度。
(螺旋楼梯动画)
作图步骤:
1、根据导圆柱直径d和D及高度h,作出同轴两导圆柱的两面投影,见图10-2(a);
2、将内、外圆柱在H面上投影(分别积聚为两个圆)12等分,得12个扇形踏面的水平投影;
3、分别在内、外导圆柱的V面投影上,作出外螺旋线的正投影o'
d1'
d2'
d3'
…及内螺旋线的正投影o1'
c1'
c2'
c3'
…;
4、见图10-2(b),过OO1作正平面,过D1C1作水平面,交得第一踏步,其踢面的正投影o1'
a1'
b1'
o1'
反映实形,踏面正投影积聚为水平线段a1'
,弧形内侧面的正投影为o1'
5、过点D1、C1作铅垂面,过D2、C2作水平面,交得第二踏步,其踢面正投影为d1'
a2'
b2'
,踏面正投影积聚为水平线段a2'
,以后踏步作图类同。
当画到第4~第9级踏步时,由于本身的遮挡,踏步的V面投影大部分不可见,而可见的是底面的螺旋面;
6、将可见螺旋线段铅垂下移一个梯板厚度,描深踏步及楼梯的外轮廓,即完成作图,见图10-2(c)。
图
10-2
第八章房屋建筑图
作剖面图和断面图
例1、画出指定位置的剖面图和断面图,见图14-10。
这是求作楼盖的1-1剖面图与2-2断面图。
⑴1-1剖面图剖视方向是自左向右,剖切到楼板、次梁,在剖面图中尚应把可见的主梁投影作出来,剖面图是含截面图形的部分形体的投影,如图示。
⑵2-2断面图剖视方向是自右向左,也剖切到楼板、次梁,但主梁投影不要画出来,断面图仅仅是一个截面图形的投影,如图示。
建筑施工图
建筑施工图识读一
例1、设有一单层房屋见图15-1。
已给出该房屋的平面图及南立面图,以及门窗表。
要求完成:
(1)补全平面图中的尺寸数字和轴线编号。
(2)补全南立面图中的标高数字和外开平开窗的开启方向符号。
(3)画出北立面图(窗高及窗的形式要统一)。
⑴利用平面图中各细部尺寸,轴线间的距离及总尺寸的关系,结合门窗表,补出平面图中的尺寸数字;
根据轴线编号的规定:
水平方向编号用阿拉伯数字从左向右编号,竖直方向编号用大写拉丁字母从下向上编注,再结合南立面图的轴线编号,完成平面图的轴线编号。
⑵根据平面图中的已知标高值,可得到南立面图中室外地坪标高为-0.200m,台阶面标高为-0