数学培优Word格式.docx
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a、b、c是整数，如果a能被b整除，b能够被c整除，那么a也能被c整除
【解读】包含关系，可以理解为，a里面包含着n个b，b里面包含着n个c
那么a里面肯定也包含着n个c
2.a，b，c是整数，并且a＞b，如果a和b都能被c整除，那么a与b的和a+b及差a-b也能被c整除
【解读】a/c+b/c=（a+b）/ca/c是整数，b/c也是整数。
整数+整数=整数
3.a，b，c是整数，（b不等于0）如果a能被b整除，那么a和c的乘积也能够被b整除
【解读】a里面包含b，c个a中，肯定也包含着b。
4.a，b，c，d是整数（b不等于0.，d不等于0）如果a能被b整除，c能被d整除，那么a与c才积一定能够被b与d的乘积整除。
【解读】ab，cdacbd
5,a，b，c是整数，并且b与c为互质数，如果a能被b整除，也能被c整除，那么a一定能被数b和数c的乘积整除。
例题分析：
例1，
（1）试判断123453与2376能否被11整除，由此判断125829能否被11整除
【解】123453奇数位和是3+4+2=9，数位和,5+3+1=9，他们的差为0，能够被11整除
2376奇数位和是6+3=9偶数位和是7+2=9他们的差能够被11整除
123453+2376=125829
a，b，c是整数，并且a＞b，如果a和b都能被c整除，那么a与b的和a+b及差a-b也能被c整除
123453能够被11整除，2376也能够被11整除，125829=123453+2376.肯定也可以被11整除。
2试判断78012与1342能否被11整除，由此判断76670能否被11整除
【解】78012奇数位和是2+0+7=9偶数位的和是8+1=9，他们的差为0，能够被11整除
1342奇数位和是2+3=5偶数位和是4+1=9他们的差能够被11整除
78012—1342=766670
78012能够被11整除，1342也能够被11整除，766670=78012—1342.肯定也可以被11整除。
3试判断336能否被56整除，而56能否被7整除，由此判断336能否被7整除
【解】336除56=336除（12*4）=336除（8*7）
a，b，c是整数，（b不等于0）如果a能被b整除，那么a和c的乘积也能够被b整除
336除（4*12）中，336为a，4为b，12为c
336能够被4整除，所以，336也能够被56整除
336除（8*7），所以，336也能被7整除
4试判断105能否被3和5整除，由此判断，105能否被15整除
【解】1+5=6105可以被3和5整除
105除15=105除（3*5）
所以，105可以被15整除
5填空16789=6*1000+7*100+8*10+9*1
26789=67*100+89*1
3ABCD=A*1000+B*100+C*10+D*1
4ABCD=AB*100+CD*1
例2小红买了5只铅笔，3只圆珠笔，4本笔记本，8块橡皮，铅笔4元一只，圆珠笔8元一只，售货员一算，说应付146元，小红很肯定地说售货员算错了，你知道为什么吗？
按照售货员的算法应该是
146=5*4+3*8+4*a+8*b
（5*4+3*8+4*a+8*b）应该可以被4整除
然而146不能够被4整除
所以小红认为，售货员算错了
例3某学校有13个兴趣小组，各人数如下
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
人数
14
17
21
24
一天下午，已知有12个小组的同学们参加讨论军事和娱乐，其中讨论军事的是讨论娱乐的人数的六倍，还剩下一个小组在室外玩游戏，玩游戏的是第几组？
【分析】总人数是2+3+5+7+9+10+11+14+13+17+21+24+24=160（人）
讨论军事是的讨论娱乐的六倍
假设讨论娱乐的人数为一份，那么讨论军事的就为6份，
讨论军事的+讨论娱乐=7份
用总人数除以7得到的余数和小组的人数做比较，如果余数正好是小组的人数，那么余数就是该小组的人数，如果余数和任何小组人数都不相符合，那么就用余数+7的倍数，只到和小组人数相吻合为止，得到的和就是在外面玩的小组的人数。
160除7=22余6
没有一个小组的人数是6人
6+7=13正好第9组是13人
所以，在外面玩的小组的第九组，人数是13人
例4一个四位数减去他各位数字之和得到47.2,你知道.里填入数字几吗？
请填入四位数是多少？
◆【分析】设此四位数为ABCD
●ABCD—（A+B+C+D）=47.2
●1000A+100B+10C+D-A-B-C-D=47.2
简化算式：
999A+99B+9C=47.2
◆然后进行估算：
47.2中千位数是四，A如果填写3最大值不会超出3000
A如果填写5肯定超出了得数4700
所以A只能够填写4那么999*A=3996
◆47.2中百位数是7，如果B填写6，99*6=594
594+3996=3564百位数小于7填写6肯定不合适
如果B填写8，99*8=792
792+3996=4788各位数是8和条件中的个位数是2不相符，8肯定不成立
所以B只能够填写7那么99*7=6933996+693=4689
◆4689+9C=47.2因为个位数是2,
4689的个位数是9，9只有加3，个位数才能够等于2
与9相乘的数，只有7个位数才是3
C只能够填写79*7=634689+63=4752与条件相符合
⏹方框内应该填写数字5
✧从简化了算式中：
我们可以看出，算式已经没有了D，那么整个算式和D是没有任何关系的了
换句话说，D是可以等于0----9的任意一个数
✧所以这个四位数是47704771477247734774
47754776477747784779
例5一个四位数，把他的千位数移到右端，构成一个新的四位数，已知这两个四位数的和是以下五个数中的一个，98859866986798689869这两个四位数之和是多少？
设这个四位数是ABDC
ABCD+BCDA
==1000A+100B+10C+D+1000B+100C+10D+A
==1001A+101B+110C+11D
从而得出这个数能够被11整除
98855+8=139+8=1717-13=2不能够被11整除
98666+8=146+9=1515-14=1不能够被11整除
98677+8=156+9=1515-15=0可以被11整除
所以，这个数是9867
例6已知ABCD+ABC+AB+A=1370，求ABCD
ABCD
ABC
AB
A
----------------------------
1370
A=1B=2C=3D=4
第三讲整除特征
（2）
【例题分析】
⏹例
（1）试判断20592，25092能否被99整除
分析：
99=11*9
✧205922+0+5+9+2=18能被9整除
205922+5+2=99+0=9能够被11整除
所以20592能被99整除
✧250922+0+2=49+5=14不能够被11整除
所以25092不能被99整除
⏹
（2）试判断2385,3825能否被45整除
分析45=9*5
23852+3+8+5=18能被9整除
2385能被5整除也能被9整除所以能被45整除
3825能被5整除也能被9整除所以能被45整除
⏹（3）试判断，12345678,12356784能否被44整除
分析44=11*4
123456788+6+4+2=201+3+5+7=16不能被11整除
123567844+7+5+2=181+3+6+8=18能够被11整除
84能够被4整除
所以，12356784能够被44整除
总结：
●例2
（1）在..内填入适当的数字，使..3..28能被72整除
分析72=8*9
..28可以填13579能被8整除
分别把13579代入方框
只有7+3+7+2+8能够被9整除
所以方框内填7
（2）已知五位数7？
3？
5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，方框内的数字有几种填法？
例3在方框内填入适当的数字，使？
2008？
，2？
008？
，这两个六位数能被44整除
例4在358后面补上三个数，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除，这样的六位数中，最大的与最小的各是几？
例5一个六位数，只含有数码0和7，并且是15的倍数，问，这个数最大是多少？
例6学校买来36张课座椅，不料发票给墨水弄脏了，单价上只剩下一个数字，？
？
元，甚至总价也不完全，只剩下1？
24.5？
元，请你帮助会计吧单价和总价算出来。
例7在五位数中，能被11整除且各位数之和为43的数有哪些？
例8从6789这死个数码可以组成多少个没有重复的四位数，其中能被11整除的有哪些？
第四讲整除特征
657657=657*（11）*（7）*（13）
一个数分成分成两个数；
末三位为一个数，如果这两个数之差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除
（如果这两个数之差是0，7,11,13的倍数，那么这个数，就能够被7.11.13整除）
657657=657*1001
1001能够被11整除，能够被7整除，能够被13整除
777777=777*（11）*（7）*（13）
777777=777*1001
797979=79*（3）*（13）*（7）*（37）
797979=79*10101
1+1+1=310101能够被3整除
101-10=9191除7=13所以10101能够被7和13整除
10101除3=33673367除7=481481除13=37,
11111=（）*（）11111*1除外
分析思路：
尾数不是0，2所以11111不能够被2，5整除
1+1+1+1+1=5所以11111不能够被3,9整除同时也不能够被6整除
末两位和末三位分别是，11和111所以不能够被4，8整除
111-11=100所以11111不能够被71113整除
所以只能够考虑两位数乘三位数
11111=...*.....
尾数是1所以这个两位数尾数只能够填1，
11被排除，还剩下2131415161718191
21=3*7所以不能够被11111整除
81=9*991=13*7
例题分析
例1345345.。
。
（1995个345）。
345345除以7的余数是多少
先看1个345能否被7整除
345除7=49.。
2
再看两个345能否被7整除
345-345=0所以345345能够被7整除
345345里面有2个345，那么1995里面有多少个345
1995除2=997。
1（代表1995里面有997个345，还余一个345）
所以余数是2
例2343434...（100个34）...3434除13的商的个位数字是多少？
不完全商的各个数位上的和是多少？
因为一共有100个34
，343434中有3个34100除3=33。
1
（代表共有33个343434.
余1代表，剩余的1个34）
前面的33个34可以被13整除，只有1个34不能够被13整除
那么：
34除13=2.。
所以个位上的商为2
例32009个三位数2ab连在一起所组成的数2ab2ab。
2009个2ab。
2ab
恰好为91的倍数，求ab
2ab除n=91
n=1,2,4都不可以，只能等于3
b=3，a=7
例4若523523.。
2010个523.。
5235232ab能被91整除，求ab的值。
一个523不能够被91整除
两个523为523523除91=5753能够被91整除
2010个523里面有多少个523523呢
2010除2=1005个523
那么2010个523都可以被91整除，只剩下一个2ab了
2ab也能够被91整除
例5如666.。
66？
888.。
888（其中6与8各写50次）中的？
应该填什么数字才能使得所得的数被7整除？
666…..50个6….6?
888.....50个8….888
因为是末三位和前面的数之差能被7整除，那么这个数就能被7整除
（666…..50个6….6?
888.....47个8….888）-888
=666…..50个6….6?
888.....44个8….888000
000肯定是不可以被7整除的，所以我们只需呀考虑
888.....44个8….888能否被7整除
由此可得
把三个8分为一组，组成末三位，50个8里面有多少个三个8.
50除3=16.。
2（2代表还有两个8）
所以，只需判别666…..50个6….6?
88能否被7整除
666…..50个……666
---？
88
666…..47个6….？
78能否被7整除
666…..47个……666
78
88能否被7整除
三个6为一组，50个6里，有多少个三个6
2（2代表还有两个6）
？
----66
22能否被7整除一到久逐个代入得？
=3
例6试除法555…..555个5…..55除73余几
3个5除73=7.。
444个5除73=76.。
7
5个5除73=761.。
26个5除73=7610.。
20
7个5除73=76103.。
68个5除73=761035
555个5里有多少个8个5
555除8=69.。
3（3代表还剩下三个五）
所以余数是44
第五讲因数和倍数
要求会背诵11----25的平方
111213141516171819202122232425
121144169196225256289324361400441484524576625
0和1不是质数也不是合数
除1和本身不能被任何数整除
质数是整数中的最小单元。
特性是不可以再分
质数与合数的判断：
对于一个不很大的自然数N（N大于1），可用下面方法判断它是质数还是合数：
1）找出一个大于N的最小的完全平方数。
“k的平方”：
2）写出k以内的所有质数，若这些数都不能整除N，则N是质数，弱有些质数能整除N，则N为合数。
质数表：
（100以内的质数工有25个）
23571113171923293137414347535961
67717379838997
特征：
2是唯一的一个偶数质数，其余的全部是奇数。
尾数为5的只有一个。
判断100以内的质数，只需判断能否被3和7整除。
例1试求出下列各数的因数：
134567138797
111111111
3252713397
4329
687
例2，利用成对出现原则，找出72的因数
72362418129
123468
例3判断377是质数还是合数，11111211111是质数还是合数。
20*20=400
20以内的质数为：
235711131917
13*30=390390-13=377377除13=29
377是合数
11111211111各位数之和=1212能够被3整除
所以11111211111是合数
例2判断127是合数还是质数
例3用2345中的三个数字能组成哪些三位质数？
234
235
245
345
例题4请给出5个质数，把他们按从小到大的顺序排列起来，使每相邻两数的差都是6.
例5如图，四个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果这些圆圈中分别填上一个质数，他们的和是20，且每个小三角形顶点之和相等，问这6个质数的积是多少？
例6将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？
例7将90拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能打，那么其实最大的质数是多少？
例8如果四个两位质数ABCD都不相同，并且满足等式A+B=C+D,那么A+B的最大值是多少？
例9ABC为三个不同的质数，3A+2B+C=20，求ABC各代表什么质数。
练习，
用12458中的三位码，能组成哪些质数？
其中最大的三位数质数是多少？
124-----124142241214421412
125------125152251215512521
128-------128182281218821812
245-----245254452425524542
248-----248284428482824842
458-----458485584548854845
abc为三个不同的质数，且都小于20，且a+b+c=30c大于b大于a
求这三个质数
20以内的质数有191713117532
C如果等于19a+b=11不成立
C如果等于17a+b=13b=11c=2成立
在右图的留给圆圈内分别填上一个质数，使得每个大圆上四个数的和相等，且都等于30，问这六个质数的积是多少？
30以内的质数有2923191713117532
19+13+5+3==30
19*13*5*3*19*13===19*13*5*3*5*3=
下面有三张卡片，3.2.1从中抽出一张，两张，三张，按任意次序排起来，得到不一样的一位数，两位数，三位数，把所得的质数写出来。
123121321233132
质数有23132331
在1.。
100这100个自然数中，任取其中的n个，要使这n个数中至少有一个是合数，则n至少是多少？
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