用相关点法求轨迹方程.docx
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用相关点法求轨迹方程
例1.
轨迹方程。
分析：
题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）
则由M为线段AB中点，可得
即点B坐标可表为（2x－2a，2y）
【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系
【变式1】如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
【解析】：
设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2）
又|AR|=|PR|=
所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2）,即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
【备选题】
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
由条件知，，设，．
解法一：
（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
解法二：
（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以．
．
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，．
以上同解法一的（II）．
【误区警示】
1.错误诊断
【例题5】中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。
【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为，则由定义可知，则，得轨迹方程为
【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。
【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。
轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为
2.误区警示
1：
在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。
2：
求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。
3：
求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。
【课外作业】
【基础训练】
1:
已知两点给出下列曲线方程：
①；②；③；④，在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（）
A①③ B②④ C①②③D②③④
【答案】:
D
【解答】:
要使得曲线上存在点P满足,即要使得曲线与MN的中垂线有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D
2.两条直线与的交点的轨迹方程是.
【解答】:
直接消去参数即得（交轨法）:
3:
已知圆的方程为（x-1）2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是.
【解答】:
令M点的坐标为（,则A的坐标为（2,代入圆的方程里面得:
4:
当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为___________。
【分析】：
把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
【解答】：
抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
5:
点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为____________。
【分析】：
点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。
由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
【解答】：
依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。
则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。
故所求轨迹方程为。
6:
求与两定点距离的比为1：
2的点的轨迹方程为_________
【分析】:
设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。
【解答】：
设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
7抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。
【分析】：
抛物线的焦点为。
设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。
其中
【解答】：
因点是重心，则由分点坐标公式得：
即
由点在抛物线上，得：
将代入并化简，得：
（
【能力训练】
8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。
【解答】：
设双曲线方程为。
将y=x－1代入方程整理得。
由韦达定理得。
又有，联立方程组，解得。
∴此双曲线的方程为。
9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
【解答】：
设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。
（1）当x≤3时，方程变为，化简得。
（2）当x>3时，方程变为，化简得。
故所求的点P的轨迹方程是或
10.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【解答】：
由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。
把它代入抛物线方程，得。
因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。
设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。
由消去k得。
又，所以。
∴点M的轨迹方程为。
【创新应用】
11.一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是（）
A:
椭圆B:
双曲线C:
抛物线D:
圆
【答案】：
A
【解答】：
由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R为圆的半径），则P的轨迹是椭圆，选A。
（2012山东理21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值．
（2012山东理科21）解：
（Ⅰ）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，
又到抛物线准线的距离为，所以.
所以为所求.
（Ⅱ）假设存在点，，又，，设，.变形为
因为直线为抛物线的切线，故，解得，
即，.
又取中点，，由垂径定理知，
所以，，，所以存在，.
（Ⅲ）依题，，圆心，，圆的半径，
圆心到直线的距离为，
所以，.
又联立，
设，，，，则有，.
所以，.
于是，
记，
，所以在，上单增，
所以当，取得最小值，
所以当时，取得最小值.
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