高中数学第二章参数方程第4节渐开线与摆线教学案新人教A版选修4.docx

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高中数学第二章参数方程第4节渐开线与摆线教学案新人教A版选修4

第4节渐开线与摆线

[核心必知]

1．渐开线的概念及产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．

2．摆线的概念及产生过程

圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

（1）圆的渐开线方程：

（φ为参数）．

（2）摆线的参数方程：

（φ为参数）．

[问题思考]

1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？

提示：

字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．

2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？

提示：

字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．

　　　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[精讲详析]　本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．

以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M（x，y），绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ（以弧度为单位），则|AM|＝＝4θ

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得＝（4cosθ，4sinθ），

由几何知识知∠MAB＝θ，＝（4θsinθ，－4θcosθ），

得

＝（4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ）

＝（4（cosθ＋θsinθ），4（sinθ－θcosθ））．

又＝（x，y），因此有

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．

用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：

（1）建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M（x，y）．

（2）取定运动中产生的某一角度为参数．

（3）用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．

（4）用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．

1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．

解：

取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．

∵直径为10，∴半径r＝5.

代入圆的渐开线的参数方程得：

这就是所求的圆的渐开线的参数方程．

　　求半径为2的圆的摆线的参数方程．（如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，（以弧度为单位）为参数）

[精讲详析]　本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．

当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.

由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为（2α，2）．

向量＝（2α，2），

向量＝（2sinα，2cosα），＝（－2sinα，－2cosα），

＝（2α－2sinα，2－2cosα）

＝（2（α－sinα），2（1－cosα））．

动点M的坐标为（x，y），向量＝（x，y）．

所以

这就是所求摆线的参数方程．

2．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．

解：

xM＝r·θ－r·cos[（φ＋θ）－]＝r[θ－sin（φ＋θ）]，

yM＝r＋r·sin（φ＋θ－）

＝r[1－cos（φ＋θ）]．

∴点M的参数方程为

（θ为参数）

　　设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．

[精讲详析]　本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．

轨迹曲线的参数方程为（0≤t≤2π）

即t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16.

曲线的对称轴为x＝8π.

摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．

3．当φ＝、π时，求出渐开线上对应的点A、B，并求出A、B间的距离．

解：

将φ＝代入

得x＝cos＋·sin＝0＋＝，

y＝sin－·cos＝1.

∴A（，1）．

将φ＝π，代入

得x＝cosπ＋π·sinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π.

∴B（－1，π）．

∴|AB|＝

＝.

本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几年的高考题中还未出现过．本考题以填空题的形式对圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题．

[考题印证]

摆线（0≤t≤2π）与直线y＝1的交点的直角坐标为________．

[命题立意]　本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义．

[解析]　由题设得1＝1－cost，解得t1＝，t2＝π.

对应交点的坐标为

交点为（－1，1），（π＋1，1）．

答案：

（－1，1），（π＋1，1）

一、选择题

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（　　）

A．只有圆才有渐开线

B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形

C．正方形也可以有渐开线

D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同

解析：

选C　本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．

2.（φ为参数）表示的是（　　）

A．半径为5的圆的渐开线的参数方程

B．半径为5的圆的摆线的参数方程

C．直径为5的圆的渐开线的参数方程

D．直径为5的圆的摆线的参数方程

解析：

选B　根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．

3．已知一个圆的参数方程为（φ为参数），那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为（　　）

A.－1　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选C　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为（φ为参数），

把φ＝代入参数方程中可得

即A（3（－1），3）．

∴|AB|＝＝.

4．已知一个圆的摆线过点（1，0），则摆线的参数方程为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选A　圆的摆线的参数方程为

令r（1－cosφ）＝0，得：

φ＝2kπ，代入x＝r（φ－sinφ），

得：

x＝r（2kπ－sin2kπ），又过（1，0），

∴r（2kπ－sin2kπ）＝1，∴r＝，

又r＞0，∴k∈N＋.

二、填空题

5．已知圆的渐开线的参数方程是（φ为参数），则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．

解析：

圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为（＋，－）．

答案：

2　（＋，－）

6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线（φ为参数）关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．

解析：

关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．

答案：

（φ为参数）

7．渐开线（φ为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的曲线的焦点坐标为________．

解析：

根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的方程为（x）2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为（6，0）和（－6，0）．

答案：

（6，0）和（－6，0）

8．圆的渐开线上与t＝对应的点的直角坐标为________．

解析：

对应点的直角坐标为

∴t＝对应的点的直角坐标为（1＋，1－）．

答案：

（1＋，1－）

三、解答题

9．半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过π和π时，求点M的坐标．

解：

由摆线方程可知：

φ＝π时，xM＝r，yM＝r；

φ＝π时，xM＝r（7π＋2），yM＝r.

∴点M的坐标分别是（，r）、（r（7π＋2），r）．

10.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH的长．

解：

根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.

11．已知圆C的参数方程是（α为参数），直线l的普通方程是x－y－6＝0.

（1）如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？

（2）写出平移后圆的摆线方程．

（3）求摆线和x轴的交点．

解：

（1）圆C平移后圆心为O（0，0），它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．

（2）由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是

（φ为参数）．

（3）令y＝0，得6－6cosφ＝0⇒cosφ＝1，所以φ＝2kπ（k∈Z）．代入x＝6φ－6sinφ，得x＝12kπ（k∈Z），即圆的摆线和x轴的交点为（12kπ，0）（k∈Z）．