1990考研数一真题及解析1Word格式文档下载.docx
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【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式.
根据f（x）的定义知，当|x|≤1时，有f（x）=1.代入f[f（x）]，又f
（1）=1.于是当|x|≤1时，复合函数f[f（x）]≡1；
当|x|>
1时，有f（x）=0.代入f[f（x）]，又f（0）=1,即当|x|>
1时，也有f[f（x）]≡1.
因此，对任意的x∈（-∞,+∞），有f[f（x）]≡1.
（4）积分⎰2dx⎰2e-y2dy的值等于。
【答案】1（1-e-4）.
2
【解析】这是一个二重积分的累次积分，因e-y2的原函数不是初等函数，先对y积分积不出来，所以应该改换积分次序，先表成：
原式=⎰⎰e-y2dxdy.由累次积分的内外层积分限确定积分区域D：
D
0≤x≤2,x≤y≤2,如图所示，然后交换积分次序.
y
Dy=x
⎰⎰⎰
原式=2dyye-y2dx=2ye-y2dy
000
=-1e-y22=1（1-e-4）.
202
（5）已知向量组α1=（1,2,3,4）,α2=（2,3,4,5）,α3=（3,4,5,6）,α4=（4,5,6,7），则该向量的秩是。
【答案】2.
【解析】经过初等变换后向量组的秩不变.
α
⎡α1⎤⎡1234⎤
所以有
⎢
A=⎢
⎥⎢2345⎥
2⎥=⎢⎥
⎢α3⎥⎢3456⎥
⎢α⎥⎢4567⎥
⎣4⎦⎣⎦
第一行r1分别乘以（-2）、（-3）、（-4）加到第二行、第三行、第四行上，得到
⎡1
3
4⎤
⎢0
-1
-2
-3⎥
⎥
-3
-4
-6
-6⎥
-9⎥
⎦
A→
⎣
继续作初等变换第二行r2分别乘以（-2）、（-3）加到第三行、第四行上，再自乘（-1）有
⎡1234⎤
⎢0123⎥
A→⎢⎥
⎢0000⎥
⎣⎦
因为最后得出的矩阵有二阶子式≠0，而三阶子式=0，由矩阵秩的定义，有
r（α1,α2,α3,α4）=r（A）=2.
所以此题应填2.
二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
（1）设f（x）是连续函数，且f'
（x）=[f（x）]2，则等于
（A）
-e-xf（e-x）-f（x）
（B）
-e-xf（e-x）+f（x）
（C）
e-xf（e-x）+f（x）
（D）
e-xf（e-x）-f（x）
【答案】A.
【解析】对积分上限的函数的求导公式：
β（t）
若F（t）=⎰α（t）f（x）dx，α（t），β（t）均一阶可导，
则F'
（t）=β'
（t）⋅f[β（t）]-α'
（t）⋅f[α（t）].
复合函数求导法则，
如果u=g（x）在点x可导，而y=
f（x）在点u=g（x）可导，则复合函数
y=f[g（x）]在点x可导，且其导数为
dy=
dx
f'
（u）⋅g'
（x）
dydydu
=⋅
或
dxdudx
所以两边求导数,
F'
（x）=
f（e-x）（e-x）'
-f（x）（x）'
=-e-xf（e-x）-f（x）.
故本题选A.
（2）已知函数f（x）具有任意阶导数，且f'
（x）=[f（x）]2，则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数fn（x）是
n!
[f（x）]n+1
n[f（x）]n+1
[f（x）]2n
【解析】本题考查高阶导数的求法.
为方便记y=f（x）.由y'
=y2，逐次求导得
y'
'
=2yy'
=2y3,y'
=3!
y2y'
y4,，
由第一归纳法，可归纳证明y（n）=n!
yn+1
假设n=k成立，即y（k）=k!
yk+1，
则y（k+1）=⎡⎣y（k）⎤⎦'
=⎡⎣k!
yk+1⎤⎦'
=（k+1）!
yk⋅y'
=（k+1）!
y（k+1）+1
所以n=k+1亦成立，原假设成立.
∞
（3）设α为常数，则级数∑
n=1
（sinnα-1）n2
（A）
n
绝对收敛（B）条件收敛
（C）发散（D）收敛性与α的取值有关
【答案】C.
【解析】本题可利用分解法判别级数的敛散性（收敛级数与发散级数之和为发散级数）.
∞1∞1
∑发散.因为此为p级数：
∑np当p>
1时收敛；
当p≤1时发散.
∞sinnα
sinnα
n2
1∞1
∑2
收敛.因为由三角函数的有界性
≤2，而p级数：
∑2收敛，
nn
根据正项级数的比较判别法：
∞∞vn
设∑un和∑vn都是正项级数，且lim
=A,则
n→∞un
∞∞
（1）当0<
A<
+∞时，∑un和∑vn同时收敛或同时发散；
n=1n=1
∞∞∞∞
（2）当A=0时，若∑un收敛，则∑vn收敛；
若∑vn发散，则∑un发散；
（3）当A=+∞时，若∑vn收敛，则∑un收敛；
若∑un发散，则∑vn发散.
所以∑
sinnαn2
收敛，所以级数∑
n2绝对收敛.
由收敛级数与发散级数之和为发散级数，可得
级数∑（
sinnα-
1
）发散.
故选（C）.
（4）已知f（x）在x=0的某个领域内连续，且f（0）=0，lim
f（x）
=2，则在点x=0处
x→01-cosx
（A）不可导（B）可导，且f'
（0）=0
（C）取得极大值（D）取得极小值
【答案】D.
【解析】利用极限的保号性可以判断的正负号：
设limf（x）=A.若A>
0⇒∃δ>
0,当0<
x→x0
x-x0
<
δ时，f（x）>
0.
若∃δ>
δ时有f（x）≥0，则A≥0.
所以，有
lim
=2>
0⇒
>
0（在x=0的某空心领域）
由1-cosx>
0，有f（x）>
0=
1-cosx
f（0），即f（x）在x=0取极小值，应选（D）
本题还可特殊选取满足题中条件的f（x）=2（1-cosx）.显然，它在x=0取得极小值，其余的都不正确，这样本题仍选
（5）已知β1、β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1、α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，
k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解（一般解）必是
kα+k（α
+α）+β1-β2
-α）+β1+β2
112122112122
（C）kα+k（β+β）+β1-β2
kα+k（β-β）+β1+β2
112122
【答案】B
【解析】本题考查解的性质和解的结构.从α1、α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，知Ax=b的通解形
式为k1η1+k2η2+ξ,其中η1,η2是Ax=0的基础解系，ξ是
Ax=b的一个特解.
由解的性质：
如果η1,η2是Ax=0的两个解，则其线性组合k1η1+k2η2仍是Ax=0的解；
如果ξ是Ax=b的一个解，
η是Ax=0的一个解，则ξ+η仍是Ax=b的解.
所以有：
α，α+α，β1-β2，α
-α，β-β
都是Ax=0的解，
1122
1212
β1+β2是Ax=b的一个特解.
那么看各个选项，（A）中没有特解ξ,（C）中既没有特解ξ,且β1+β2也不是Ax=0的解.
（D）中虽有特解，但α1，β1-β2的线性相关性不能判定，故（A）、（C）、（D）均是不正确的.
再看（B），β1+β2是Ax=b的一个特解，α，α-α是Ax=0的线性无关的解，是基础解系，故本题选（B）.
2112
三、（本题满分15分，每小题5分。
1ln（1+x）
（1）求
⎰0（2-x）2dx
（2）设z=
∂2z
f（2x-y,ysinx），其中f（u,v）具有连续的二阶偏导数，求∂x∂y。
（3）求微分方程y'
+4y'
+4y=e-2x的通解（一般解）
（1）【答案】1ln2..
【解析】分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来。
在做题的时候应该好好总结，积累经验。
假定u=u（x）与v=v（x）均具有连续的导函数，则
⎰uv'
dx=uv-⎰u'
vdx,
或者⎰udv=uv-⎰vdu.
由1dx=-（2-x）-2d（2-x）=d
（1）有
（2-x）22-x
ln（1+x）2-x
11111dx
原式=⎰0ln（1+x）d（2-x）分部法
0-⎰02-
x+x
11
因为，由分项法
=1（1
+1）
2-x1+x
32-x
1+x
所以，原式=ln2-1⎰1（1+1）dx
302-x1+x
=ln2-1[-ln（2-x）1+ln（1+x）1]=1ln2.
（2）【答案】-2f
00
+（2sinx-ycosx）f
+ysinxcosxf
+cosxf'
.
1112222
【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的.
∂z∂∂z
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求∂x，再求∂y（∂x），如方法1;
也可以先求∂y，再求∂x（∂y），如方法2.
由复合函数求偏导的链式法则：
如果函数u=ϕ（x,y）,v=ψ（x,y）都在点（x,y）具有对x及对y的偏导数，函数
z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数
z=f（ϕ（x,y）,ψ（x,y））在点（x,y）的两个偏导数存在，且有
∂z=∂z∂u+∂z∂v=f'
∂u+f'
∂v；
∂x∂u∂x∂v∂x1∂x2∂x
∂v.
∂y
∂z
方法1：
先求，
∂x
∂u∂y
∂v∂y
1∂y
2∂y
∂z=f'
∂（2x-y）+f'
∂（ysinx）=2f'
+ycosxf'
。
∂x1∂x
2∂x12
∂2z=∂'
'
∂x∂y
∂y（2f1+ycosxf2）
=2（f
∂
（2x-y）+f
（ysinx））+cosxf'
+（f
（ysinx））ycosx
11∂y
12∂y
221∂y
22∂y
=2（-f'
+sinxf'
）+cosxf'
+（-f'
+sinxf
）ycosx
111222122
=-2f'
+（2sinx-ycosx）f'
+ysinxcosxf'
方法2：
∂（2x-y）+f'
∂（ysinx）=-f'
∂y1∂y
2∂y12
∂2z=∂'
∂x（-f1+sinxf2）
=-（f
（ysinx））⋅sinx
11∂x
12∂x
221∂x
22∂x
=-（2f'
+（2f'
+ycosxf
）⋅sinx
=-2f'
+（2sinx-ycosx）f'
+ysinxcosxf'
（3）【答案】所求通解为
y=（C+Cx）e-2x+1x2e-2x其中C,C为常数.
12212
【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程.
设y*（x）是二阶线性非齐次方程y'
+P（x）y'
+Q（x）y=
f（x）的一个特解.Y（x）是与之对应的齐次方程
+Q（x）y=0的通解，则y=Y（x）+y*（x）是非齐次方程的通解；
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y（x），可用特征方程法求解：
即y'
+Q（x）y=0中的P（x）、Q（x）均是常数，方程变为y'
+py'
+qy=0.
12
其特征方程写为r2+pr+q=0，在复数域内解出两个特征根r,r；
分三种情况：
（1）两个不相等的实数根r,r，则通解为y=Cerx1+Cer2x;
1212
（2）两个相等的实数根r=r，则通解为y=（C+Cx）erx1;
（3）一对共轭复根r1,2
=α±
iβ，则通解为y=eαx（Ccosβx+C
sinβx）.
其中C1,C2为常数.
对于求解二阶线性非齐次方程y'
f（x）的一个特解y*（x）,可用待定系数法，有结论如下：
m
如果f（x）=P（x）eλx,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
y*（x）=xkQ（x）eλx
的特解，其中Qm（x）是与Pm（x）相同次数的多项式，而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程
的重根依次取0、1或2.
本题中对应的齐次方程的特征方程r2+4r+4=（r+2）2=0有二重根r=r
=-2，而非齐次项eαx,α=-2为重特
征根，因而非齐次方程有如下形式的特解
Y=x2⋅ae-2x，
代入方程可得a=1，故所求通解为
四、（本题满分6分。
求幂级数∑（2n+1）xn的收敛域，并求其和函数。
n=0
【答案】收敛域（-1,1），和函数为
1+x（1-x）2
（|x|<
1）.
【解析】先用公式求出收敛半径及收敛区间，再考察端点处的敛散性可得到收敛域；
将幂级数∑（2n+1）xn转化为
基本情形∑nxn-1，可求得和函数
∑nx
n-1
=（∑xn）'
=（x）'
1-x
=1
（1-x）2
（-1<
x<
1）,
按通常求收敛半径的办法,
liman+1∞
若果ρ=x→∞，其中a,a是幂级数∑axn的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
lima
nn+1n
⎧1
⎪ρ
R⎪
ρ≠0,
=⎨+∞,ρ=0,
⎪
⎪0,
⎪⎩
ρ=+∞.
an+1an
本题用幂级数收敛半径的计算公式得ρ=lim
=lim2（n+1）+1=1，
n→+∞
2n+1
⇒收敛半径R=ρ=1⇒收敛区间为（-1,1），
当x=1时，级数∑（2n+1）发散；
当x=-1时，级数∑（2n+1）（-1）n也发散，
n=0n=0
所以当x=±
1时原幂级数均发散⇒原幂级数的收敛域（-1,1）.
下面求和函数，先分解为
∞∞∞
S（x）=∑（2n+1）xn=∑2nxn+∑xn
∞n1
几何级数
∑x
=（|x|<
1），又1-x
∑2nxn
=2x∑nx
=2x∑（xn）'
=2x
（1）'
1-x
=2x（1-x）
1），
2x11+x
因此S（x）=+=（|x|<
1）
（1-x）21-x（1-x）2
直接考察
2n+1
=x（|x|<
1）（1-x）2
（几何级数求和），逐项求导得
∑（2n+1）x2n=（
x1+x2
=
（|x|<
22
（1-x）
将x2换成x得
（2n+1）xn=1+x（|x|<
（1-x）2
由方法1的讨论，有收敛域（-1,1）
五、（本题满分8分）
求曲面积分I=⎰⎰yzdzdx+2dxdy,
S
其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z≥0的部分
∂P∂Q∂R∂（yz）
【解析】记I=∂x+∂y+∂z=0+∂y
+
0=z，可以考虑用高斯公式计算，但不是封闭的，所以要添加辅助面，
如方法1；
xy
本题还可直接套用公式计算也不复杂，为D:
{（x,y）|x2+y2≤4},可用矢量点积法将积分都投影在平面xOy上较方便，再化为Dxy上的二重积分，如方法2.
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数P（x,y,z）、Q（x,y,z）、R（x,y,z）在Ω上具有一
阶连续偏导数，则有
⎛∂P+∂Q+∂R⎫=
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,
⎰⎰⎰ç
∂x∂y
∂z⎪dv
⎰⎰
Ω⎝⎭∑
⎛∂P∂Q∂R⎫
或⎰⎰⎰ç
∂x+∂y+∂z⎪dv=⎰⎰（Pcosα
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