Word版解析北京市昌平区届高三上学期期末考试 数学文试题.docx

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Word版解析北京市昌平区届高三上学期期末考试数学文试题

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷（文科）

（满分150分，考试时间120分钟）2013.1

考生须知：

1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I卷（选择题）必须用2B铅笔作答，第II卷（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）复数的虚部是

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】，所以虚部为1，选B.

（2）“”是“直线垂直”的

A.充分不必要条件B必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若直线垂直，则有，即，所以。

所以“”是“直线垂直”的充分不必要条件，选A.

（3）在数列中，则的值为

A．7B．8C．9D．16

【答案】B

【解析】因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选B.

（4）如图，在

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】因为，所以。

因为，选C.

（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为

A.B．C.D.

【答案】A

【解析】

根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥

其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。

且底面梯形的面积为，所以.选A.

（6）函数的零点个数为

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由得。

令，在同一坐标系下分别作出函数的图象，由图象可知两个函数的交点个数为2个，所以函数的零点个数为2个，选C.

（7）设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。

各点的坐标为,所以

根据几何概型可知所求概率为,选D.

（8）设定义域为的函数满足以下条件；①对任意；

②对任意.则以下不等式一定成立的是

①②

③④

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】B

【解析】由①知，所以函数为奇函数。

由②知函数在上单调递增。

因为，所以，即②成立。

排除AC.因为，所以，又，所以，因为函数在在上单调递增，所以在上也单调递增，所以有成立，即④也成立，所以选B.

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）在中，若,，，则=

【答案】

【解析】由余弦定理可得，即，整理得，解得。

（10）已知是等差数列的前项和，其中则

【答案】6；9

【解析】由得。

所以。

。

（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．

【答案】3

【解析】第一次循环有；第二次循环有；第三次循环有；此时满足条件，输出。

（12）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是_______.

【答案】

【解析】双曲线的渐近线为，不妨取，即。

双曲线的右焦点为，圆心到直线的距离为，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为。

（13）已知函数则________;

若，则实数的取值范围是_______________.

【答案】-5;

【解析】，所以。

由图象可知函数在定义域上单调递减，所以由得，，即，解得，即实数的取值范围是。

（14）过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，设的斜率分别为，若点关于原点对称，且则此椭圆的离心率为___________.

【答案】

【解析】设,则，所以，又，两式相减得，即，所以，即，整理得，即，所以离心率。

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（15）（本小题满分13分）已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最值.

（16）（本小题满分14分）

在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求证：

；

（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

（17）（本小题满分13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组乙组

6X87

419003

（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；

（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：

方差其中）

（18）（本小题满分13分）已知函数.

（Ⅰ）若求函数上的最大值；

（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围.

19.（本小题满分13分）

已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上.直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求面积的最大值.

20.（本小题满分14分）

已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，

（Ⅰ）设数列，

①求；②求的值；

（Ⅱ）若中最大的项为50，比较的大小.

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷参考答案（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

B

A

B

C

A

C

D

B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

（9）（10）6；9

（11）3（12）

（13）-5;（14）

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（15）（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）因为

.………………………………5分

所以的最小正周期．…………………7分

（II）由…………..9分

当，…………….11分

当.……………….13分

（16）（本小题满分14分）

解：

（I）连接.

由是正方形可知,点为中点.

又为的中点，

所以∥………………….2分

又

所以∥平面………….4分

（II）证明：

由

所以

由是正方形可知,

又

所以………………………………..8分

又

所以…………………………………………..9分

（III）在线段上存在点，使.理由如下：

如图，取中点，连接.

在四棱锥中，，

所以.…………………………………………………………………..11分

由（II）可知，而

所以，

因为

所以………………………………………………………….13分

故在线段上存在点，使.

由为中点，得……………………………………………14分

（17）（本小题满分13分）

解：

（I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，

所以…………………………………2分

甲组同学数学成绩的方差为……………6分

（II）设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为：

共16个基本事件.

设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，

………………………………………………………………………….13分

（18）（本小题满分13分）

解：

（I）当时，，.............1分

令..................................2分

列表：

-

+

↘

↗

∴当时，最大值为.………………………7分

（Ⅱ）令

1若单调递减.

单调递增.

所以，在时取得最小值，

因为.

…………………..9分

②若，

所以当……………………………………..10分

③若单调递减.

单调递增.

所以，在取得最小值，

令

综上，的取值范围是.………………………………13分

（19）（本小题满分13分）

解:

（Ⅰ）由题意知，所以.

故所求椭圆方程为………………………………….5分

（Ⅱ）设直线的的方程为,则.设

代入椭圆方程并化简得,…………6分

由,可得.（）

由（），得,

故…..9分

又点到的距离为,…………………10分

故

当且仅当,即时取等号满足（）式.

所以面积的最大值为.……………………13分

（20）（本小题满分13分）

解:

（I）①因为数列，

所以，

所以.………8分

②……….10分

（II）一方面，，

根据的含义知，

故，即，

当且仅当时取等号.

因为中最大的项为50，所以当时必有，

所以

即当时，有；当时，有.14分