八年级几何辅助线专题训练Word文件下载.docx
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F
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
BDEC
-2-
（09崇文）以的两边
、
AC为腰分别向外作等腰Rt
ABC
和等腰Rt
ACE
，
AB
BAD
CAE90,
，、
的中点．探究：
AM与DE
连接DEMN分别是BC
DE
的关系．
（1）如图①
当
ABC为直角三角形时，
AM与DE的位置关系
是
，线段AM与DE的数量关系是
；
（2）将图①中的等腰Rt
ABD绕点A沿逆时针方向旋转
（0<
<
90）后，如图
②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
三、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°
，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求
证：
OE=OD
O
BC
D
-3-
2、如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在
AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：
∠1和∠2有何关系？
（2012年北京）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，
解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°
，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；
若不成立，
B
请说明理由。
M
P
C
图①
N
图③
图②
-4-
四,垂直平分线联结线段两端
1.（2014?
广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°
，AB的垂直平分线MN交AC于点D，
则∠A的度数是．
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC
于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
G
（2014年广东汕尾，第19题7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°
，分别以点A、C为圆
心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、
E，连接AE．
（1）求∠ADE；
（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．
补充：
尺规作图
过直线外一点做已知直线的垂线
-5-
五、截长补短
1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
AD
2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，
CD过点E，求证;
AB＝AD+BC。
3、如图，已知在△ABC内，
BAC60
C40
，，
分别在
上，
PQ
BCCA
并且AP，BQ分别是
BAC，
ABC的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
Q
4、如图，
在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分
ABC，
AC1800
5.如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，
AF平分∠DAE．求证：
AE－BE＝DF．
-6-
6.如图，△ABC中，∠ABC=60°
，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，判断AC的长与AE+CD的大小关系并证明.
7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，判断CF与GB的大小关系并证明。
六、综合
-7-
1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF
AD的度数.
BEC
2、如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。
求AQN的度数。
3、已知四边形ABCD中，AB
AD，BC
CD，
BC，∠ABC120，
∠MBN60
，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交
AD，DC（或它们的延长
线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE
CF时（如图1），易证AECFEF．
CF时，在图2和图3
这两种情况下，上述结
论是否成立？
若成立，请给予证明；
若不成立，线段
AE，CF，EF又有怎样的
数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
EM
FC
（图1）
（图2）
（图3）
4、D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交
ABC,CA于点E,F。
-8-
（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。
5、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC
外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、
AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．
图1图2图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN
之间的数量关系是；
此时Q；
L
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=x，则Q=（用x、L表示）．
抚顺第25题（12分））
-9-
已知：
Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°
，∠A′BC′=∠ABC=60°
，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，
（1）中的结论是否成立？
若成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°
≤α≤）120，当°
A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
参考答案与提示
-10-
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
解：
延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知
AB-BE<
2AD<
AB+BE故AD的取值范围是1<
AD<
4
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较
BE+CF与EF的
大小.
（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法
）延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,
显然BG＝FC，
在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知
EG＝EF
在△BEG中，由三角形性质知
EG<
BG+BE
故：
EF<
BE+FC
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,
显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD
由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC
在△ADB与△ADG中，
BD＝AC=DG，AD＝AD，
-11-
∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG
故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE
应用：
1、（09崇文二模）以的两边
AB、AC为腰分别向外作等腰
ABCRtABD和等腰
RtACE，BAD
CAE
90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：
AM与
DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当
ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
线段AM与DE的数量关系是
（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（0<
<
90）后，如图②所示，
（1）
问中得到的两个结论是否发生改变？
（1）ED
2AM，AM
ED；
证明：
延长AM到G，使MG
AM，连BG，则ABGC是平行四边形
∴AC
BG，ABG
BAC
180
DAE
又∵
ABG
H
∴
再证：
∴DE
2AM，
BAG
EDA
延长MN交DE于H
∵
DAH
90
HDA
∴AM
ED
（2）结论仍然成立．
如图，延长
CA至F，使AC
FA，FA交DE于点P，并连接BF
∵DA
BA，EA
AF
BAF90
DAF
EAD
∵在
FAB和EAD中
-12-
FAAE
BAFEAD
BADA
FAB
EAD（SAS）
∴BFDE，F
AEN
FPD
APEAEN90
∴FBDE
又∵CAAF，CMMB
∴AM//FB，且AM1FB
2
∴AMDE，AM1DE
二、截长补短
CD⊥AC解：
（截长法）在AB上取中点F，连FD
△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°
△ADF≌△ADC（SAS）
∠ACD＝∠AFD＝90°
即：
2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;
AB＝AD+BC
（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE
△ADE≌△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，
∠ADE+∠BCE＝180°
∠AFE+∠BFE＝180°
故∠ECB＝∠EFB
△FBE≌△CBE（AAS）
-13-
故有BF＝BC
从而;
AB＝AD+BC
3、如图，已知在△ABC内，BAC
C400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，
60，
BQ分别是
BAC，ABC的角平分线。
BQ+AQ=AB+BP
（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP
在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°
从而∠BDP＝40°
＝∠ACP
△ADP≌△ACP（ASA）
故AD＝AC
又∠QBC＝40°
＝∠QCB故BQ＝QC
BD＝BP
从而BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分
（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD
△BDF≌△BDC（SAS）
故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC
又AD＝CD
故在等腰△BFD中
∠DFB＝∠DAF
故有∠BAD+∠BCD＝180°
-14-
5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;
AB-AC＞PB-PC
1
（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD
△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF
由三角形性质知
PB－PC＝PF－PC<
CF＝AF－AC＝AB－AC
分析：
此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。
有BCAD
AE
连接AC，过E作EF//BC并AC于F点
则可证
AEF为等边三角形
即AE
EF，
AEFAFE60
∴CFE120
-15-
又∵AD//BC，B60
∴BAD120
又∵DEC60
∴AEDFEC
在ADE与FCE中
EADCFE，AEEF，AEDFEC
∴ADEFCE
∴ADFC
∴BCADAE
点评：
此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。
三、
四、借助角平分线造全等
，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：
OE=OD，
DC+AE=AC
证明（角平分线在三种添辅助线,计算数值法）∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;
AD,CE均为角平分线,
则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;
∠AOC=120度.
在AC上截取线段AF=AE,连接OF.
又AO=AO;
∠OAE=∠OAF
.则⊿OAE≌ΔOAF（SAS）,
OE=OF;
AE=AF;
∠AOF=∠AOE=60度.
则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;
又CO=CO;
∠OCD=∠OCF.
故⊿OCD≌ΔOCF（SAS）,
OD=OF;
CD=CF.
OE=OD
DC+AE=CF+AF=AC.
BCD
-16-
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
（垂直平分线联结线段两端
）连接BD，DC
DG垂直平分BC，故BD＝DC
由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有
ED＝DF
故RT△DBE≌RT△DFC（HL）
故有BE＝CF。
AB+AC＝2AE
AE＝（a+b）/2
BE=（a-b）/2
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以
OP所在直线为对称轴的全
等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°
，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA
的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出
FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，
你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若不成立，请说明理由。
FD
（第23题图）
（1）FE与FD之间的数量关系为
FEFD
（2）答：
（1）中的结论FEFD仍然成立。
证法一：
如图1，在AC上截取AG
AE，连结FG
-17-
∵12，AF为公共边，
∴AEFAGF
AFE
AFG，FE
FG
B60，AD、CE分别是
BAC、
BCA的平分线
360
CFDAFG
60
∴CFG60
∵34及FC为公共边
∴CFGCFD
∴FGFD
∴FEFD
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