高考数学专题平面解析几何Word下载.docx

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C．－D．2或－

解析：

选D　当2m2＋m－3≠0时，即m≠1或m≠－时，在x轴上截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，

故m＝2或m＝－.

2．过点M（－2，m），N（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为________．

∵kMN＝＝1，∴m＝1.

答案：

1

3．过点M（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．

①若直线过原点，则k＝－，

所以y＝－x，即4x＋3y＝0.

②若直线不过原点．

设＋＝1，即x＋y＝a.

则a＝3＋（－4）＝－1，

所以直线的方程为x＋y＋1＝0.

4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

1．求斜率可用k＝tanα（α≠90°

），其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：

“斜率变化分两段，90°

是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．

2．求直线方程的一般方法

（1）直接法：

根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．

（2）待定系数法，具体步骤为：

①设所求直线方程的某种形式；

②由条件建立所求参数的方程（组）；

③解这个方程（组）求出参数；

④把参数的值代入所设直线方程．

[练一练]

1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A．[0，π）B.∪

C.D.∪

选B　设倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα其中sinα∈[－1,1]．又θ∈[0，π），∴0≤θ≤或≤θ＜π.

2．过点（5,10）且到原点的距离是5的直线的方程为________．

当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k（x－5），

即kx－y＋（10－5k）＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，

解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

x－5＝0或3x－4y＋25＝0

考点一

直线的倾斜角与斜率

1．（2013·

秦皇岛模拟）直线x＋y＋1＝0的倾斜角是（　　）

A.　　　　　　　　　　　B.

C.D.

选D　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π），所以α＝.

2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪则k的取值范围是________．

当α∈时，k＝tanα∈；

当α∈时，k＝tanα∈.

综上k∈∪.

∪

[类题通法]

1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：

（1）求出斜率k＝tanα的取值范围；

（2）利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.

考点二

直线方程

[典例]　根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点（－4,0），倾斜角的正弦值为；

（2）直线过点（－3,4），且在两坐标轴上的截距之和为12.

[解]　

（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sinα＝（0＜α＜π），

从而cosα＝±

，则k＝tanα＝±

.

故所求直线方程为y＝±

（x＋4）．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

（2）由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，

又因为直线过点（－3,4），

所以＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

[类题通法]

1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．

2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．

[针对训练]

经过点P（－5，－4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（　　）

A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0

B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0

C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0

D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0

选D　由题意设所求方程为y＋4＝k（x＋5），即kx－y＋5k－4＝0.由·

|5k－4|·

|－5|＝5得，k＝或k＝.

考点三

直线方程的综合应用

直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结合，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有：

（1）与基本不等式相结合求最值问题；

（2）直线方程与平面向量的综合应用.

角度一　与基本不等式相结合求最值问题

1．已知直线l过点M（1,1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：

（1）当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；

（2）当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．

解：

（1）设A（a,0），B（0，b）（a＞0，b＞0）．

设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

（2）设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k（x－1），

则A，B（0,1－k）,所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋（1－1＋k）2＝2＋k2＋≥2＋2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

角度二　直线方程与平面向量的综合

2．已知直线l过点M（2,1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当

·

取得最小值时，直线l的方程．

设A（a,0），B（0，b）则a＞0，b＞0，直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.故

＝－

＝－（a－2，－1）·

（－2，b－1）＝2（a－2）＋b－1＝2a＋b－5＝（2a＋b）－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.

1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．

2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

第二节

两直线的位置关系

1．两直线的位置关系

方程

y＝k1x＋b1

y＝k2x＋b2

A1x＋B1y＋C1＝0（A＋B≠0）

A2x＋B2y＋C2＝0（A＋B≠0）

相交

k1≠k2

A1B2－A2B1≠0

垂

直

k1＝－或

k1k2＝－1

A1A2＋B1B2＝0

平

行

k1＝k2

且b1≠b2

或

2．两直线的交点

设两条直线的方程是l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；

反之，亦成立．

3．几种距离

（1）两点间的距离：

平面上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式

d（A，B）＝|AB|＝.

（2）点到直线的距离：

点P（x1，y1）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

（3）两条平行线间的距离：

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.

1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．

2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．

长春调研）已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

C．8D．2

选D　∵＝≠，

∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.

2．已知p：

直线l1：

x－y－1＝0与直线l2：

x＋ay－2＝0平行，q：

a＝－1，则p是q的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

选A　由于直线l1：

x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×

a－（－1）×

1＝0，即a＝－1.

1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法

与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直和平行的直线方程可设为：

（1）垂直：

Bx－Ay＋m＝0；

（2）平行：

Ax＋By＋n＝0.

2．转化思想在对称问题中的应用

对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．

1．点（2,3）关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．

设对称点为（a，b），则解得

（－4，－3）

2．（2014·

张家口质检）已知直线l过点（－1,2）且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．

由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即3x＋2y－1＝0.

3x＋2y－1＝0

两直线平行与垂直

1．已知过点A（－2，m）和点B（m,4）的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为（　　）

A．－10　　　　　　　　　B．－2

C．0D．8

选A　∵l1∥l2，

∴kAB＝＝－2.

解得m＝－8.

又∵l2⊥l3，

∴－×

（－2）＝－1，解得n＝－2，

∴m＋n＝－10.

2．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

选C　当a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行；

当直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行时，－＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件，故选C.

3．经过两直线l1：

x－2y＋4＝0和l2：

x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：

3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．

法一　由方程组得即P（0,2）．

∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－，

∴直线l的方程为y－2＝－x，

即4x＋3y－6＝0.

法二　∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，

即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.

∵l与l3垂直，

∴3（1＋λ）＋（－4）（λ－2）＝0，

∴λ＝11，

∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.

4x＋3y－6＝0

充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·

k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

距离问题

[典例]　已知A（4，－3），B（2，－1）和直线l：

4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.

设点P的坐标为（a，b）．

∵A（4，－3），B（2，－1），

∴线段AB的中点M的坐标为（3，－2）．

而AB的斜率kAB＝＝－1，

∴线段AB的垂直平分线方程为

y＋2＝x－3，

即x－y－5＝0.

∵点P（a，b）在直线x－y－5＝0上，

∴a－b－5＝0.①

又点P（a，b）到直线l：

4x＋3y－2＝0的距离为2，

∴＝2，

即4a＋3b－2＝±

10，②

由①②联立可得或

∴所求点P的坐标为（1，－4）或.

1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．

2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．

与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．

设所求直线方程为7x＋24y＋m＝0，

由3＝，

∴m＝70或－80.

7x＋4y－80＝0或7x＋24y＋70＝0

对称问题

对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：

（1）点关于点对称；

（2）点关于线对称；

（3）线关于线对称；

（4）对称问题的应用.

角度一　点关于点的对称

1．过点P（0,1）作直线l使它被直线l1：

2x＋y－8＝0和l2：

x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

设l1与l的交点为A（a,8－2a），

则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a,2a－6）在l2上，

代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，

解得a＝4，即点A（4,0）在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

角度二　点关于线对称

2．已知直线l：

2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），求点A关于直线l的对称点A′的坐标．

设A′（x，y），

再由已知得

解得

故A′.

角度三　线关于线对称

3．在[角度二]的条件下，求直线m：

3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

在直线m上取一点，如M（2,0），则M（2,0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设对称点M′（a，b），则

得M′.

设直线m与直线l的交点为N，则

由

得N（4,3）．

又∵m′经过点N（4,3），

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

角度四　对称问题的应用

4．光线从A（－4，－2）点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（－1,6），求BC所在的直线方程．

作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′（－2，－4），D′（1,6）．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.

故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.

解决对称问题的方法

（1）中心对称

①点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

（2）轴对称

①点A（a，b）关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点A′（m，n），则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

第三节

圆的方程

1．圆的定义及方程

定义

平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）

标准

（x－a）2＋（y－b）2＝r2

（r>

0）

圆心：

（a，b），半径：

r

一般

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

（D2＋E2－4F>

，

半径：

2．点与圆的位置关系

点M（x0，y0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系：

（1）若M（x0，y0）在圆外，则（x0－a）2＋（y0－b）2>

r2.

（2）若M（x0，y0）在圆上，则（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2.

（3）若M（x0，y0）在圆内，则（x0－a）2＋（y0－b）2<

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．

方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是（　　）

A.＜m＜1　　　　　　　　　B．m＜或m＞1

C．m＜D．m＞1

选B　由（4m）2＋4－4×

5m＞0知m＜或m＞1.

1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：

是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．

2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

（2）圆心在任一弦的中垂线上．

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

1．圆心在y轴上且通过点（3,1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（　　）

A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0

选B　设圆心为（0，b），半径为r，则r＝|b|，

∴圆的方程为x2＋（y－b）2＝b2.

∵点（3,1）在圆上，

∴9＋（1－b）2＝b2，解得：

b＝5.

∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.

2．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________．

法一：

直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A（－4,0），B（0,3），

所以线段AB的中点为C，|AB|＝5.

故所求圆的方程为（x＋2）2＋2＝2.

法二：

易得圆的直径的两端点为A（－4,0），B（0,3），

设P（x，y）为圆上任一点，则PA⊥PB.

∴kPA·

kPB＝－1得·

＝－1（x≠－4，x≠0），

即x（x＋4）＋y（y－3）＝0.

化简得（x＋2）2＋2＝2.

（x＋2）2＋2＝

1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为（　　）

A．x2＋（y－2）2＝1　　　　B．x2＋（y＋2）2＝1

C．（x－1）2＋（y－3）2＝1D．x2＋（y－3）2＝1

选A　设圆心坐标为（0，b），则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋（y－2）2＝1.

2．经过点（1,0），且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为（　　）

A．（x－1）2＋y2＝1B．（x－1）2＋（y－1）2＝1

C．x2＋（y－1）2＝1D．（x－1）2＋（y－1）2＝2

选B　由得

即所求圆的圆心坐标为（1,1），又由该圆过点（1,0），得其半径为1，故圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1.

3.过直线2x＋y＋4＝0和圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为（　　）

A．x2＋y2＋x－y＋＝0

B．x2＋y2＋x－y－＝0

C．x2＋y2－x－y＋＝0

D．x2＋y2－x－y－＝0

选A　设所求圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2－4＋k（2x＋y＋4）＝0，即x2＋y2＋2（k＋1）x＋（k－4）y＋1＋4k＝0，化为圆的标准方程得[x＋（k＋1）]2＋2＝（k＋1）2＋（k－4）2－（4k＋1），由（k＋1）2＋（k－4）2－（1＋4k）＞0，得5k2－16k＋16＞0，此时，所求圆的半径r＝＝

.

显然，当k＝－，即k＝时，5k2－16k＋16有最小值，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x2＋y2＋x－y＋＝0.

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．

2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：

（1）斜率型最值问题；

（2）截距型最值问题；

（3）距离型最值问题；

（4）利用对称性求最值.

角度一　斜率型最值问题

1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求的最大值和最小值．

原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆．

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±

.（如图）

所以的最大值为，最小值为－.

角度二　截距型最值问题

2.在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．

y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

角度三　距离型最值问题

3．在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．

x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．（如图）

又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，x2＋y2的最小值是2＝7－4.

角度四　利用对称性求最值

4．（2013·

重庆高考）已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A．5－4B.－1

C．6－2D.

选A　两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C（2，－3），则（|PC1|＋|PC2|）min＝|CC2|＝5，所以（|PM|＋|PN|）min＝5－（1＋3）＝5－4.

数形结合法求解与圆有关的最值问题

（1）形