学年安徽省铜陵市高一上学期期末数学试题及答案解析.docx
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学年安徽省铜陵市高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年安徽省铜陵市高一上学期期末数学试题及答案解析
一、单选题
1．设全集，集合，，则集合（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先计算，再计算得到答案.
【详解】
，，故
故选：
D
【点睛】
本题考查了交集和补集的计算，属于简单题型.
2．若集合,，且，则（）
A．2,或,或0B．2,或,或0,或1
C．2D．
【答案】A
【解析】由题得x2=x或x2=4，且x≠1，解不等式即得解.
【详解】
解：
∵集合A={1，x，4}，B={1，x2}，且B⊆A，
∴x2=x或x2=4，且x≠1，
解得x=0，±2．
故选：
A．
【点睛】
本题主要考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3．（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
故选：
C
【点睛】
本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.
4．已知集合，则下列关系中表示正确的有（）
①；②；③；④
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】求出A集合即可判断
【详解】
因为
所以①③④正确，②错误
故选：
B
【点睛】
本题考查的是元素与集合，集合与集合的关系，较简单.
5．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在的区间和等二次应计算的函数值分别为（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】根据，，可得零点所在区间，根据二分法的要求，得到第二次计算的函数值，从而得到答案.
【详解】
函数，且，，
所以其中一个零点所在的区间为，
第二次应计算的函数值为和的中点，即时，
所以应计算.
故选.
【点睛】
本题考查利用二分法求函数零点的方法，属于简单题.
6．已知，则的值为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】试题分析：
由题意得，因为，与，联立方程得，，，故选C.
【考点】1.二倍角公式的应用；2.三角函数中诱导公式的应用.
7．已知函数，则函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】求出的解析式即可判断出答案
【详解】
因为
所以
其图象为：
故选：
D
【点睛】
本题考查的是函数图象有关的问题，较简单
8．已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分别求出的范围即可
【详解】
因为，
所以
故选：
A
【点睛】
本题考查的是指对数大小比较，较简单.
9．已知函数（，且）的图象经过定点且在幂函数的图象上，则的表达式为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的性质求出定点，再用待定系数法求出幂函数的解析式．
【详解】
解：
函数中，
令，解得，
此时，
所以函数的图象过定点．
设幂函数，则，
解得，．
故选D．
【点睛】
本题考查指数函数的图像性质与幂函数的求法，此类问题基础题．
10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若当时，的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据二倍角和辅助角公式化简可得，根据平移变换原则可得；当时，；利用正弦函数的图象可知若的图象与直线恰有两个公共点可得，解不等式求得结果.
【详解】
由题意得：
由图象平移可知：
当时，
，，，
，又的图象与直线恰有两个公共点
，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据交点个数求解角的范围的问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、三角函数图象平移变换原则的应用等知识；关键是能够利用正弦函数的图象，采用数形结合的方式确定角所处的范围.
11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：
弧田面积（弦×矢矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，弦长为米的弧田，则按上述经验公式计算所得弧田的面积约是__________平方米（）（注：
）
A．6B．9C．10D．12
【答案】B
【解析】先求出半径和圆心到弦的距离，然后根据公式计算即可
【详解】
如图，由题意知：
，
所以在中，，
所以，
所以矢为
所以弧田面积（弦×矢矢×矢）
平方米
故选：
B
【点睛】
本题考查的是扇形有关的计算，较简单.
12．函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题：
①“囧函数”的定义域为；
②“囧函数”的图象关于直线对称；
③当时，；
④函数有3个零点.
其中正确命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】的定义域是，故①错，是偶函数，故②错，当时，，其最大值为，故③正确，的零点个数为与的交点个数，画出图象即可.
【详解】
的定义域是，故①错
因为，
关于轴对称，故②错
当时，
所以在上单调递减
，故③正确
的零点个数为与的交点个数，
与的图象如下：
故④正确
综上：
③④正确
故选：
B
【点睛】
本题考查的是函数的基本性质及函数的零点问题，一个复杂函数的零点的个数问题要善于转化为两个常见函数的交点个数问题.
二、填空题
13．计算：
___________.
【答案】3
【解析】运用指数的知识运算即可
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查的是指数的运算，较简单.
14．已知，则_.
【答案】
【解析】试题分析：
.
【考点】1余弦的二倍角公式;2诱导公式.
15．已知函数（为正整数）在区间上单调，则的最大值为____________.
【答案】3
【解析】由正弦函数的单调性建立不等式即可
【详解】
因为（为正整数）在区间上单调
所以由正弦函数的单调性可得：
解得：
且为正整数
所以的最大值为3
故答案为：
【点睛】
在处理正弦型函数的有关问题时，一般是把当成整体.
16．已知函数，若对于任意的实数，均存在以为三边边长的三角形，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】题目条件可转化为，然后分四种情况讨论，分别求出的最值，即可解出的范围
【详解】
因为对于任意的实数，均存在以
为三边边长的三角形，
所以对于任意的实数，都有
所以有
当时在上单调递减，在上单调
递增，易得
当且时
当且时
①当且即时
，满足
②当且即时
所以，得
所以
③当且即时
，满足
④当且即时
所以，得
所以
综上：
的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题考查的是函数的恒成立问题，把题目条件等价转化是解题的关键.
三、解答题
17．已知全集，函数的定义域为A，集合，求：
（1）集合A．
（2）.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）解出不等式即可
（2）A集合中只有当时与集合B有公共部分，求出即可
【详解】
（1）要使有意义
则有
所以
即
（2）因为
所以A集合中只有当时与集合B有公共部分
即
所以
【点睛】
三角不等式常用解法：
1.利用三角函数图像，2.利用三角函数线
18．已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.
【答案】
（1）最小正周期为，单调递增区间为；
（2）函数在区间上的最大值为，此时；最小值为，此时.
【解析】
（1）由余弦型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期，解不等式，可得出函数的单调递增区间；
（2）由，计算出的取值范围，然后利用余弦函数的性质可得出函数的最大值和最小值，并可求出对应的的值.
【详解】
（1），所以，该函数的最小正周期为.
解不等式，得.
因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；
（2），.
当时，即当时，函数取得最大值，即；
当时，即当时，函数取得最小值，即.
【点睛】
本题考查余弦型函数周期、单调区间以及最值的计算，解题时要充分利用余弦函数的图象与性质进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
19．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：
若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：
营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.
（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：
元）与夏令营人数之间的函数关系式；
（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？
最大收入是多少？
【答案】
（1）
（2）当人数为45人时，最大收入为20250元
【解析】
（1）根据题意直接写出即可
（2）旅行社收入是一个分段函数，分别求出每段的最大值，然后作比较即可
【详解】
（1）由题意可知每人需交费关于人数的函数：
（2）旅行社收入为，则，
即，
当时，为增函数，
所以，
当时，为开口向下的二次函数，
对称轴，所以在对称轴处取得最大值，.
综上所述：
当人数为45人时，最大收入为20250元.
【点睛】
本题考查的是分段函数的实际应用，分段函数的值域是每段值域的并集，求最值时应先求每段的最值，然后再作比较.
20．设函数，且.
（1）求的值；
（2）求函数的零点；
（3）设，求在上的值域.
【答案】
（1）
（2）（3）
【解析】
（1）由解出即可
（2）令得，即，然后解出即可
（3），令，转化为二次函数
【详解】
（1）由已知得，即，
解得；
（2）由
（1）知，令得，
即，解得，
又，解得；
（3）由
（1）知，令，
则，，
因为在上单调递增
所以，
【点睛】
1.函数的零点即是对应方程的根，
2.对于复合函数的问题，一般是通过换元转化为基本函数处理.
21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的函数解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）根据奇偶性求出和时得解析式
（2）先得出在上是增函数，然后，就可以将不等式变为，然后分离变量得.
【详解】
（1）因为是定义在上的奇函数，
所以当时，，，
又，所以的函数解析式为.
（2）当时，，在上是增函数，
因为是定义在上的奇函数，在上是增函数，
所以等价于，恒成立，
即，即恒成立，
因为在上单调递增
所以，即.
【点睛】
本题考查的是函数性质的综合应用，怎么把去掉是解题的关键.
22．已知函数.
（1）若，求函数的最小值；
（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；
（3）若，求函数的最小值.
【答案】
（1）
（2）（3）
【解析】
（1）时，当时取得最小值
（2）将不等式平方得，然后只需求出左边的最小值即可
（3）图象分别是以和为项点的开口向上的V型线，且两条射线的斜率为，然后分7种情况讨论这两个函数的位置关系
【详解】
（1）因为，所以，
所以当时，的最小值为1；
（2）因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
所以，
即对任意恒成立，
所以，解得：
，
所以；
（3），
图象分别是以和为项点的
开口向上的V型线，且两条射线的斜率为，
当时，即，所以，
此时令，所以.
若，，此时恒成立，
所以，此时为图中红色部分图象，
对应如下图：
若，令，
即，所以.
所以，
此时为图中红色部分图象，对应如下图：
当时，即，所以，
此时令，所以，
若时，，令，
即，所以，
所
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