届山西省山大附中高三上学期期中考试理科数学试题及答案.docx
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届山西省山大附中高三上学期期中考试理科数学试题及答案
山西大学附中高三第一学期月考
数学试题（理）
考查内容：
高中全部
一．选择题（5×12=60分）
1.已知集合,集合,则=（）
A.B.C.D.
2．设等差数列的前项和为，，则等于（）
A．10B．12C．15D．30
3．已知函数则（）
A.B.C.D.
4．下列命题错误的是（）
A.命题“若，则”的逆否命题为
“若中至少有一个不为则”；
B.若命题，则；
C.中，是的充要条件；
D.若向量满足，则与的夹角为钝角.
5.右图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）
A.B.C.D.
6.（）
A．B.C.D.视的值而定
7.曲线在点（1，-1）处的切线方程为（）
A.B.C.D.
8．若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）
A．B．C．或D．或
9.已知函数为偶函数，，其图象与直线的某两个交点的横坐标为，若||的最小值为，则（）
A.B.
C.D.
10.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，
则这个四棱锥的体积是（）
A.1B.2C.3D.4
11．已知平面区域，
向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（）
A．B．C．D．
12．已知函数
的最小值为（）
A．6B．8C．9D．12
二．填空题（5×4=20分）
13．已知复数满足，则_____.
14．已知，，的夹角为60°，则．
15.设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为.
16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是．
三．解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共70分）
17．（本小题满分12分）
公差不为零的等差数列中，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（1）求乙得分的分布列和数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
19．（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
椭圆：
的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．
21.（本小题满分12分）
设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令＜≤，其图像上任意一点P处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。
选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）
22．（本小题满分10分）选修4－1：
几何证明选讲：
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若，求的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程：
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲：
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
山西大学附中高三第一学期月考
数学试题（理）答案
一．选择题（5×12=60）
A
C
C
D
B
A
C
D
A
B
C
B
二．填空题（5×4=20）
三．解答题（共70分）
17．（本小题满分12分）
解:
（Ⅰ）．……6分
（Ⅱ）．……12分
18．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设乙答题所得分数为，则的可能取值为．………………1分
；；
；．………………5分
乙得分的分布列如下：
………………6分
．………………7分
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.
则，………………9分
．………………11分
故甲乙两人至少有一人入选的概率．……12分
19．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，……………………2分
又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，
那么，根据题意，点落在上，
∴，易求得，…………4分
∴四边形是平行四边形，∴，∴平面…………6分
（Ⅱ）解法一：
作，垂足为，连接，
∵⊥平面，∴，又，
∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．…………9分
中，，，．
∴．即二面角的余弦值为.………12分
解法二：
建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，可求得．………………9分
所以，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．……12分
20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知，又，解得，
所以椭圆的方程为；………………4分
（Ⅱ）根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，
联立，消去y得，
，令，解得．………………7分
设、两点的坐标分别为，
ⅰ）当为直角时，
则，
因为为直角，所以，即，
所以，
所以，解得．………………9分
ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，
此时，，所以，即……①
又…………②
将①代入②，消去得，
解得或（舍去），
将代入①，得所以，
经检验，所求k值均符合题意。
………………11分
综上，k的值为和．………………12分
22.（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）∵,
∴∽,∴……………………2分
又∵,∴,∴,
∴∽，∴，∴…………4分
又∵，∴．……………………5分
（Ⅱ）∵,∴，∵∴
由
（1）可知：
，解得.……………………7分
∴．∵是⊙的切线，∴
∴，解得．……………………10分
23．（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）由，得
所以曲线C的直角坐标方程为.……………………5分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得.
设、两点对应的参数分别为、，则，，
∴，
当时，的最小值为4.……………………10分
24．（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）原不等式等价于
或
解得：
.
即不等式的解集为．……………………5分
（Ⅱ）不等式等价于，
因为，所以的最小值为4，
于是即所以或．…10分
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