届人教B版理科数学41 平面向量的概念及线性运算单元测试.docx
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届人教B版理科数学41平面向量的概念及线性运算单元测试
1．（2017·郴州三模）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（ ）
A.B.C.D．1
答案 A
解析 设＝t，
则＝＝（＋）＝＋
＝＋t＝＋（－）
＝＋
∴λ＝－，μ＝
∴λ＋μ＝.故选A.
2．（2018·淮南模拟）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 设C＝y，则＝＋＝＋y
＝＋y（－）
＝－y＋（1＋y），
∵＝3，
点O在线段CD上（与点C、D不重合），
∴y∈，
∵＝x＋（1－x），
∴x∈，
故选D.
3．（2018·湖北模拟）若M为△ABC内一点，＝＋，则△ABM和△ABC的面积之比为（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 设＝，＝，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，连接BM，则EF∥AB，
∴＝＝.故选A.
4．（2014·全国卷Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（＋），则与的夹角为________．
答案 90°
解析 由＝可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°.
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一、选择题
1．（2018·武汉调研测试）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D.
2．已知A，B，C三点不共线，且点O满足＋＋＝0，则下列结论正确的是（ ）
A.＝＋B.＝＋
C.＝－D.＝－－
答案 D
解析 ∵＋＋＝0，∴O为△ABC的重心，∴＝－×（＋）＝－（＋）＝－（＋＋）＝－（2＋）＝－－.故选D.
3．（2017·衡水中三调）在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为（ ）
A．－4B．－1C．1D．4
答案 B
解析 根据题意设＝n（n∈R），则＝＋＝＋n＝＋n（－）＝＋n＝（1－n）＋，又＝m＋，
∴解得故选B.
4．（2018·石家庄一模）A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D（点O与点D不重合），若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（ ）
A．（0,1）B．（1，＋∞）C．（1，D．（－1,0）
答案 B
解析 设＝m，则m>1，因为＝λ＋μ，
所以m＝λ＋μ，即＝＋，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B.
5．（2018·广东模拟）已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则（ ）
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
答案 B
解析 ＝＝－＝＋（－）＝＋，即－＝＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
6．（2017·广东七校联考）已知向量i，j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是（ ）
A．m＋n＝1B．m＋n＝－1
C．mn＝1D．mn＝－1
答案 C
解析 因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ（ni＋j），所以（1－λn）i＋（m－λ）j＝0，又因为i与j不共线，所以则mn＝1，故选C.
7．下列命题中是真命题的是（ ）
①对任意两向量a，b，均有：
|a|－|b|<|a|＋|b|；
②对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；
③在△ABC中，＋－＝0；
④在四边形ABCD中，（＋）－（＋）＝0；
⑤－＝.
A．①②③B．②④⑤C．②③④D．②③
答案 D
解析 ①假命题．∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|.
∴①不成立．
②真命题．∵（a－b）＋（b－a）＝a＋（－b）＋b＋（－a）＝a＋（－a）＋b＋（－b）＝（a－a）＋（b－b）＝0，
∴a－b与b－a是相反向量．②成立．
③真命题．∵＋－＝－＝0，∴③成立．
④假命题．∵＋＝，＋＝，
∴（＋）－（＋）＝－＝＋≠0.
∴该命题不成立．
⑤假命题．∵－＝＋＝≠，∴该命题不成立．故选D.
8．（2018·泉州模拟）已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：
①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
答案 D
解析 由＝a，＝b，则＝＋＝－a－b.＝＋＝a＋b，
＝（＋）＝（－a＋b）＝－a＋b.
所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，所以命题②③④正确．故选D.
9．（2018·兰州模拟）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 如图，连接AM，BM，延长AC到D使AD＝3AC，延长AM到E使AE＝5AM，因为5＝＋3，所以＝5－3＝－＝.
连接BE，则四边形ABED是平行四边形（向量AB和向量DE平行且模相等）．
由于＝3，所以S△ABC＝S△ABD.
因为＝，所以S△AMB＝S△ABE，在平行四边形ABED中，S△ABD＝S△ABE＝S▱ABED，
故＝＝.故选C.
10．（2018·伊宁市模拟）若O为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，则S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝（ ）
A．3∶2∶1B．2∶1∶3C．1∶3∶2D．1∶2∶3
答案 D
解析 如图所示，延长OB到D，使得BD＝OB，延长OC到E，使得CE＝2OC.连接AD，DE，AE.
∵＋2＋3＝0，
∴点O为△ADE的重心．
∴S△OBC＝S△ODE＝×S△ADE＝S△ADE；
S△AOC＝S△OAE＝×S△ADE＝S△ADE；
S△ABO＝S△OAD＝×S△ADE＝S△ADE.
∴S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝∶∶＝1∶2∶3.
故选D.
二、填空题
11．（2018·广西模拟）如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案
解析 注意到N，P，B三点共线，因此有＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝.
12．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一直线上，则t＝________.
答案
解析 ∵a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－（a＋b）共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝
λ，∴解得λ＝，t＝，所以若a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一条直线上，则t＝.
13．（2018·河北衡水中三调）如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为________．
答案 6
解析 如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
14．（2018·沈阳模拟）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
答案 2
解析 连接AO，∵O是BC的中点，
∴＝（＋）．
又∵＝m，＝n，∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2.
三、解答题
15．设两个非零向量a与b不共线．
（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．求证：
A，B，D三点共线；
（2）试确定实数，使a＋b和a＋b共线．
解
（1）证明：
∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），
∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5，∴，共线．
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
（2）∵a＋b与a＋b共线，
∴存在实数λ，使a＋b＝λ（a＋b），
即a＋b＝λa＋λb.∴（－λ）a＝（λ－1）b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴－λ＝λ－1＝0，∴2－1＝0，∴＝±1.
16．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
解 设＝ma＋nb，
则＝－＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb.
＝－＝－＝－a＋b.
又∵A，M，D三点共线，∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，
即（m－1）a＋nb＝t.
∴（m－1）a＋nb＝－ta＋tb.
∴消去t，得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
又∵C，M，B三点共线，∴与共线，
∴存在实数t1，使得＝t1，
∴a＋nb＝t1，
∴
消去t1，得4m＋n＝1.②
由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.
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