宁夏银川一中普通高等学校招生全国统一考试五模数学理试题及答案.docx
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宁夏银川一中普通高等学校招生全国统一考试五模数学理试题及答案
绝密★启用前
宁夏银川市第一中学
2020年普通高等学校招生全国统一考试（五模）
数学（理）试题
2020年6月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．设集合,．若,则
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位,复数满足,则的共轭复数
A．B．C．D．
3．平面向量与的夹角为,=（1,0）,||=1,则|+2|=
A．2B．C．3D．7
4．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A．B．2C．D．2
5．若,则
A．0B．1C．﹣1D．2
6．华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：
素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述：
存在无穷多个素数使得是素数,素数对称为孪生素数,从20以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为
A．B．C．D．
7．运行如图所示的程序框图,若输入的a的值为2时,
输出的S的值为,则判断框中可以填
A．k<3？
B．k<4？
C．k<5？
D．k<6？
8．在相距2km的、两点处测量目标,
若,则、
两点之间的距离是
A．kmB．
C．D．3km
9．数列的首项为3,为等差数列且,
若,,则
A．11B．8C．3D．0
10．设是奇函数且满足,当时,,
则
A．B．C．D．
11．已知F1,F2是椭圆C1：
与双曲线C2的公共焦点,A是C1,C2在第二象限的公共点．若,则C2的离心率为
A．B．C.D．
12．已知函数是定义在的偶函数,且.当时,,若方程有300个不同的实数根,则实数m的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题：
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为.
14．已知曲线,则曲线上的点到直线的最短距离是_________.
15．已知等比数列中,各项都是正数,前项和为,且成等差数列,若,则_________.
16．已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD,直线AD与底面BCD所成角为,则此三棱锥外接球的表面积为_____________.
三、解答题：
共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分）
17．（12分）
已知函数（）的图像过点.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间.
18.（12分）
空气质量指数PM2.5（单位：
μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重：
日均浓度
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类型
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
甲、乙两城市2020年5月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？
并简要说明理由.
（2）在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
（3）在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数,求X的分布列及数学期望．
19．（12分）
如图,在四棱锥中,底面ABCD,
底面ABCD是直角梯形,,,
AB=2,AD=CD=1,E是PB的中点。
（1）求证：
平面平面PBC；
（2）若二面角的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
20．（12分）
已知抛物线的焦点为F,直线,直线l与C的交点为A,B,同时直线,直线m与C的交点为C、D,与y轴交于点P.
（1）求抛物线E的方程；
（2）若求|CD|的长.
21．（12分）
已知函数
（1）当a=-2时,求函数f（x）的极值;
（2）若ln[e（x+1）]≥2-f（-x）对任意的x∈[0,+∞）成立,求实数a的取值范围.
（二）选考题：
共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：
坐标系与参数方程]
已知曲线C,的参数方程为,（θ为参数）。
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ。
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若过点F（1,0）的直线l与C1交于A、B两点,与C2交于M、N两点,求：
的取值范围.
23．[选修4-5：
不等式选讲]
已知f（x）＝|x－1|＋1,F（x）＝。
（1）解不等式f（x）≤2x＋3；
（2）若方程F（x）＝a有三个不同的解,求实数a的取值范围.
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2020年普通高等学校招生全国统一考试（五模）
数学（理）试题参考答案
2020年6月
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
A
D
C
A
C
D
B
A
二．填空题：
13.314.15.1516.
17.（12分）
（1）,………………………………3分
∵,∴.…………………………………6分
（2）…8分
…………………10分
∴当时,
即在区间上单调递增.……………12分
18.（12分）
（1）由茎叶图可知：
甲城市空气质量一级和二级共有10天,而乙城市空气质量一级和二级只有5天,因此甲城市空气质量总体较好．……………4分
（2）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为,
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为,……………6分
在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.……8分
（3）的取值为0,1,2,
,．……10分
的分布列为：
0
1
2
数学期望．………………12分
19.（满分12分）
解析：
（1）证明：
平面ABCD,平面ABCD,,……2分
,
又,平面PBC,……………4分
∵平面EAC,平面平面PBC……………6分
（2）以C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则C（0,0,0）,A（1,1,0）,B（1,－1,0）。
设P（0,0,a）（a>0）,则E（,,）,
,,
取=（1,－1,0）……………8分
则,为面PAC的法向量。
设为面EAC的法向量,则,
即,取,,,
则,
依题意,,则a=1。
……………10分
于是,
设直线PA与平面EAC所成角为,则,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。
……………12分
20.（12分））
解：
（1）得：
.…………………………2分
设，，
由求根公式得:
，，.
则.…………………………6分
⑵设直线，
得：
.
，…………………………6分
设，，
可知，，，，
.
解之得：
或-8.…………………………8分
，…………………………10分
当时，；当时，.…………………………12分
21.（满分12分）
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