概率习题答案3Word文档格式.docx
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P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
=14+0+0=14.
习题3
（2）
（2）P{1≤X≤2,3≤Y≤4};
P{1≤X≤2,3≤Y≤4}
=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
=0+116+0+14=516.
习题3（3）
（3）F（2,3）.
F（2,3）=P（1,1）+P（1,2）+P（1,3）+P（2,1）+P（2,2）+P（2,3）
=14+0+0+116+14+0=916.
习题4
设X,Y为随机变量，且
P{X≥0,Y≥0}=37,
P{X≥0}=P{Y≥0}=47,
求P{max{X,Y}≥0}.
P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}
=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}
=47+47-37=57.
习题5
（X,Y）只取下列数值中的值：
（0,0）,（-1,1）,（-1,13）,（2,0）
且相应概率依次为16,13,112,512,
请列出（X,Y）的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.
（1）因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,
故所给的一组实数必是某二维随机变量（X,Y）的联合概率分布.因（X,Y）只取上述四组可能值，故事件：
{X=-1,Y=0},
{X=0,Y=13,
{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}
均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：
（1）求Y的边缘分布律；
（2）求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};
（3）判定X与Y是否独立？
（1）由（x,y）的分布律知，y只取0及1两个值.
P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7
P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.
（2）P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,
P{y=1∣x=0}=13.
（3）已知P{x=0,y=0}=715,
由
（1）知P{y=0}=0.7,
类似可得
P{x=0}=0.7.
因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0},
所以x与y不独立.
习题2
将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为
5152535455
5152535455
0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03
（1）求边缘分布律;
（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.
（1）边缘分布律为
X
pk
0.180.150.350.120.20
对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.
对应Y的值（最上边的一行）,
将每列的概率相加，可得P{Y=j}.
Y
0.280.280.220.090.13
（2）当Y=51时,X的条件分布律为
P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,
k=51,52,53,54,55.
列表如下:
k
P{X=k∣Y=51}
6/287/285/285/285/28
习题3
已知（X,Y）的分布律如下表所示，试求：
（1）在Y=1的条件下,X的条件分布律;
（2）在X=2的条件下,Y的条件分布律.
X\Y
012
012
1/41/8001/301/601/8
由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为
3/81/37/24
pk
5/1211/241/8
故
（1）在Y=1条件下，X的条件分布律为
X∣（Y=1）
3/118/110
（2）在X=2的条件下，Y的条件分布律为
Y∣（X=2）
4/703/7
已知（X,Y）的概率密度函数为f（x,y）={3x,0<
x<
1,0<
y<
x0,其它,
求：
（1）边缘概率密度函数；
（2）条件概率密度函数.
（1）fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy={3x2,0<
10,其它,
fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx={32（1-y2）,0<
10,其它.
（2）对∀y∈（0,1）,
fX∣Y（x∣y）=f（x,y）fY（y）={2x1-y2,y<
1,0,其它,
对∀x∈（0,1）,
fY∣X（y∣x）=f（x,y）fX（x）={1x,0<
x0,其它.
X与Y相互独立，其概率分布如表（a）及表（b）所示，求（X,Y）的联合概率分布，P{X+Y=1},
P{X+Y≠0}.
X
-2-101/2
pi
1/41/31/121/3
表（a）
-1/213
1/21/41/4
表（b）
由X与Y相互独立知
P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj）,
从而（X,Y）的联合概率分布为
-1/2
3
-2-101/2
P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}
P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}
P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}
亦即表
-1/213
1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12
P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,
P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}
=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12
=1-112-16=34.
习题6
某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:
55∼8:
00,
而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为
fY（y）={2（5-y）25,0≤y≤50,其它,
求此人能及时上火车站的概率.
由题意知X的密度函数为
fX（x）={15,0≤x≤50,其它,
因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：
fXY（x,y）={2（5-y）125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,
故此人能及时上火车的概率为
P{Y>
X}=∫05∫x52（5-y）125dydx=13.
习题7
设随机变量X与Y都服从N（0,1）分布，且X与Y相互独立，求（X,Y）的联合概率密度函数.
由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是
fX（x）=12πe-x22，
fY（y）=12πe-y22
因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的联合概率密度函数是
f（x,y）=12πe-12（x+y）2.
习题8
设随机变量X的概率密度
f（x）=12e-∣x∣（-∞<
+∞）,
问：
X与∣X∣是否相互独立？
若X与∣X∣相互独立，则∀a>
0,
各有
P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},
而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},
故由上式有
P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},
⇒P{∣X∣≤a}（1-P{X≤a}）=0
⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅（∀a>
0）
但当a>
0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.
习题9
设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）={12e-y2,y>
00,y≤0,
（1）求X与Y的联合概率密度；
（2）设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,
求它有实根的概率.
（1）由题设易知
fX（x）={1,0<
又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为
f（x,y）=fX（x）⋅fY（y）={12e-y2,0<
1,y>
00,其它;
（2）因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},
故如图所示得到：
P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>
yf（x,y）dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy
=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]
=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]
=1-2π[Φ
（1）-Φ（0）,
又Φ
（1）=0.8413,
Φ（0）=0.5,
于是Φ
（1）-Φ（0）=0.3413,
所以
P{a有实根}=1-2π[Φ
（1）-Φ（0）]≈1-2.51×
0.3413=0.1433.
3.3二维随机变量函数的分布
设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.
由于U≥V,
可见P{U=i,V=j}=0（i<
j）.此外，有
P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9（i=1,2,3）,
P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9（i>
j）,
于是，随机变量U和V的联合概率分布为
V\概率\U
1/9
2/9
-112
-12
1/101/53/101/51/101/10
（1）Z=X+Y;
（2）Z=XY;
（3）Z=X/Y;
（4）Z=max{X,Y}的分布律.
与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.
概率
（X,Y）X+YXYX/Ymax{x,Y}
（-1,-1）（-1,1）（-1,2）（2,-1）（2,1）（2,2）-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222
于是
（1）
X+Y
-20134
1/101/51/21/101/10
（2）
XY
1/21/51/101/101/10
（3）
X/Y
-2-1-1/212
1/51/53/101/51/10
（4）
max{X,Y}
1/101/57/10
设二维随机向量（X,Y）服从矩形区域D={（x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布，且
U={0,X≤Y1,X>
Y,
V={0,X≤2Y1,X>
2Y,
求U与V的联合概率分布.
依题（U,V）的概率分布为
P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}
=∫01dx∫x112dy=14,
P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>
2Y}=0,
P{U=1,V=0}=P{X>
Y,X≤2Y}=P{Y<
X≤2Y}
=∫01dy∫y2y12dx=14,
P{U=1,V=1}
=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,
即
U\V
01
1/401/41/2
设（X,Y）的联合分布密度为
f（x,y）=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,
求Z的分布密度.
FZ（z）=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.
当z<
0时，FZ（z）=P（∅）=0;
当z≥0时，
FZ（z）=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f（x,y）dxdy
=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ
=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.
故Z的分布函数为
FZ（z）={1-e-z22,z≥00,z<
0.
Z的分布密度为
fZ（z）={ze-z22,z>
00,z≤0.
设随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）={12（x+y）e-（x+y）,x>
0,y>
00,其它,
（1）问X和Y是否相互独立？
（2）求Z=X+Y的概率密度.
（1）fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy
={∫0+∞12（x+y）e-（x+y）dy,x>
00,x≤0
\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12（x+1）e-x,x>
00,x≤0,
由对称性知fY（y）={12（y+1）e-y,y>
00,y≤0,
显然
f（x,y）≠fX（x）fY（y）,x>
0,
所以X与Y不独立.
（2）用卷积公式求fZ（z）=∫-∞+∞f（x,z-x）dx.
当{x>
0z-x>
0
即
{x>
0x<
z时，f（x,z-x）≠0,
当z≤0时，fZ（z）=0;
当z>
0时，fZ（z）=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.
于是，Z=X+Y的概率密度为
fZ（z）={12z2e-z,z>
设随机变量X,Y相互独立，若X服从（0,1）上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.
据题意，X,Y的概率密度分布为
10,其它,
fY（y）={e-y,y≥00,y<
由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为
fZ（z）=∫-∞+∞fX（x）fY（z-x）dx=∫-∞+∞fX（z-y）fY（y）dy
=∫0+∞fX（z-y）e-ydy.
由0<
z-y<
1得z-1<
z,可见：
当z≤0时，有fX（z-y）=0,
故fZ（z）=∫0+∞0⋅e-ydy=0;
0时，
fZ（z）=∫0+∞fX（z-y）e-ydy=∫max（0,z-1）ze-ydy=e-max（0,z-1）-e-z,
fZ（z）={0,z≤01-e-z,0<
z≤1e1-z-e-z,z>
1.
f（x,y）={be-（x+y）,0<
+∞,0,其它.
（1）试确定常数b；
（2）求边缘概率密度fX（x）,fY（y）；
（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.
（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f（x,y）dxdy=1，确定常数b.
∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b（1-e-1）=1，
所以b=11-e-1，从而
f（x,y）={11-e-1e-（x+y）,0<
（2）由边缘概率密度的定义得
fX（x）={∫0+∞11-e-1e-（x+y）dy=e-x1-e-x,0<
1,0,其它，
fY（x）={∫0111-e-1e-（x+y）dx=e-y,0<
+∞,0,其它
（3）因为f（x,y）=fX（x）fY（y），所以X与Y独立，故
FU（u）=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX（u）FY（u），
其中
FX（x）=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<
1，
所以
FX（x）={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<
1,1,x≥1.
同理FY（y）={∫0ye-tdt=1-e-y,0<
+∞,0,y≤0，
因此
FU（u）={0,u<
0,（1-e-u）21-e-1,0≤u<
1,1-e-u,u≥1.
设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y,
其概率密度分别为
ϕ1（x）={αe-αx,x>
00,x≤0,
ϕ2（y）={βe-βy,y>
其中α>
0,β>
0,α≠β,
试求系统L的寿命Z的概率密度.
设Z=min{X,Y},
则
F（z）=P{Z≥z}=P{min（X,Y）≤z}
=1-P{min（X,Y）>
z}=1-P{X≥z,Y≥z}
=1-[1P{X<
z}][1-P{Y<
z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]
由于
F1（z）={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<
F2（z）={1-e-βz,z≥00,z<
故
F（z）={1-e-（α+β）z,z≥00,z<
从而
ϕ（z）={（α+β）e-（α+β）z,z>
设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：
min{X,Y}≤b}=[P{X>
a}]2-[P{X>
b}]2.
设min{X,Y}=Z,则
min{X,Y}≤b}=FZ（b）-FZ（a）,
FZ（z）=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>
z}
=1-P{X>
z,Y>
z}=1-P{X>
z}P{Y>
=1-[P{X>
z}]2,
代入得
min{X,Y}≤b}=1-[P{X>
b}]2-（1-[P{X>
a}]2）
=[P{X>
证毕.
复习总结与总习题解答
在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：
（1）放回抽样；
（2）不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：
X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,
试分别就
（1）,
（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律.
（1）有放回抽样，（X,Y）分布律如下：
P{X=0,Y=0}=10×
1012×
12=2536;
P{X=1,Y=0}=2×
12=536,
P{X=0,Y=1}=10×
212×
12=536,P{X=1,Y=1}=2×
12=136,
（2）不放回抽样，（X,Y）的分布律如下：
912×
11=4566,P{X=0,Y=1}=10×
11=1066,
P{X=1,Y=0}=2×
11=1066,P{X=1,Y=1}=2×
112×
11=166,
Y\
01
45/6610/6610/661/66
假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量
Xk={0,若Y≤k1,若Y>
k（k=1,2）,
求（X1,X2）的联合分布率与边缘分布率.
因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>
1,所以有
P{X1=1}=P{Y>
1}=∫1+∞e-ydy=e-1,
P{X1=0}=1-e-1,
同理
P{X2=1}=P{Y>
2}=∫2+∞e-ydy=e-2,
P{X2=0}=1-e-2,
因为
P{X1=1,X2=1}=P{Y>
2}=e-2，
P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,
P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,
P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,
故（X1,X2）联合分布率与边缘分布率如下表所示：
X1\slashX2
P{X1=i}
1-e-1
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