届高考数学大一轮复习第六章数列63等比数列及其前n项和学案文北师大版.docx

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届高考数学大一轮复习第六章数列63等比数列及其前n项和学案文北师大版

§6.3　等比数列及其前n项和

最新考纲

考情考向分析

1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．

2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

3.了解等比数列与指数函数的关系.

以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1（a1≠0，q≠0）．

3．等比中项

如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，称G为a，b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am·qn－m（n，m∈N＋）．

（2）若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则ak·al＝am·an.

（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝＝.

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

知识拓展

等比数列{an}的单调性

（1）满足或时，{an}是递增数列．

（2）满足或时，{an}是递减数列．

（3）当时，{an}为常数列．

（4）当q<0时，{an}为摆动数列．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）满足an＋1＝qan（n∈N＋，q为常数）的数列{an}为等比数列．（　×　）

（2）G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.（　×　）

（3）如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．（　×　）

（4）如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．（　×　）

（5）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.（　×　）

（6）数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．（　×　）

题组二　教材改编

2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.

答案　

解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.

3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

答案　27,81

解析　设该数列的公比为q，由题意知，

243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.

∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.

题组三　易错自纠

4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．

答案　－

解析　∵1，a1，a2,4成等差数列，

∴3（a2－a1）＝4－1，∴a2－a1＝1.

又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，

则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，

∴＝＝－.

5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.

答案　－11

解析　设等比数列{an}的公比为q，

∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.

∴q3＋8＝0，∴q＝－2，

∴＝·

＝＝＝－11.

6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB（1MB＝210KB）．

答案　48

解析　由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，

则2n＝64×210＝216，∴n＝16.

即病毒共复制了16次．

∴所需时间为16×3＝48（分钟）.

题型一　等比数列基本量的运算

1．（2018·开封质检）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4－1），则a2等于（　　）

A．2B．1C.D.

答案　C

解析　由{an}为等比数列，得a3a5＝a，

又a3a5＝4（a4－1），所以a＝4（a4－1），

解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，

则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，

所以a2＝a1q＝.故选C.

2．（2018届河北衡水中学二调）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4等于（　　）

A．63或120B．256

C．120D．63

答案　C

解析　由题意得

解得或

又<1，所以数列{an}为递减数列，故

设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，

因为数列为正项数列，故q＝，从而a1＝64，

所以S4＝＝120.故选C.

思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）可迎刃而解．

题型二　等比数列的判定与证明

典例（2018·潍坊质检）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

（1）设bn＝an＋1－2an，证明：

数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，

得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.

∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

又

由①－②，得an＋1＝4an－4an－1（n≥2），

∴an＋1－2an＝2（an－2an－1）（n≥2）．

∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1（n≥2），

故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．

（2）解　由

（1）知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，

∴－＝，

故是首项为，公差为的等差数列．

∴＝＋（n－1）·＝，

故an＝（3n－1）·2n－2.

引申探究

若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋（n＋1）”，其他不变，求数列{an}的通项公式．

解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.

∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，

∴an＋1＝2an＋1，

∴an＋1＋1＝2（an＋1），n≥2，（*）

又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2（a1＋1），

∴当n＝1时（*）式也成立，

故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，

∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.

思维升华

（1）证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

（2）利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．

跟踪训练（2016·全国Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ.

（1）证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1（λ－1）＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，

所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝n－1.

（2）解　由

（1）得Sn＝1－n.

由S5＝得1－5＝，即5＝.

解得λ＝－1.

题型三　等比数列性质的应用

1．已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a＝－64，则tan等于（　　）

A.B．－

C．－D．±

答案　B

解析　由等比数列的性质可得a2a3a4＝a＝－64，

∴a3＝－4，a7＝a3q4<0，结合a＝64可得a7＝－8，

结合等比数列的性质可得a4a6＝a3a7＝32，

即tan＝tanπ

＝tan＝tanπ＝－.

故选B.

2．（2017·云南省十一校跨区调研）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于（　　）

A．40B．60

C．32D．50

答案　B

解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.

思维升华等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类：

（1）通项公式的变形．

（2）等比中项的变形．

（3）前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

分类讨论思想在等比数列中的应用

典例（12分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N＋），且－2S2，S3,4S4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

Sn＋≤（n∈N＋）．

思想方法指导

（1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

（2）求出前n项和，根据函数的单调性证明．

规范解答

（1）解　设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3，4S4成等差数列，

所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，

可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.[2分]

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为

an＝×n－1＝（－1）n－1·（n∈N＋）．[3分]

（2）证明　由

（1）知，Sn＝1－n，

Sn＋＝1－n＋

＝[6分]

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝＋＝.[8分]

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝＋＝.[10分]

故对于n∈N＋，有Sn＋≤.[12分]

1．（2017·福建漳州八校联考）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于（　　）

A．－3B．5C．－31D．33

答案　D

解析　设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.

∵S3＝2，S6＝18，∴＝，得q3＝8，∴q＝2.

∴＝＝1＋q5＝33，故选D.

2．（2017·武汉市武昌区调研）设公比为q（q>0）的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于（　　）

A．－2B．－1

C.D.

答案　B

解析　由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1（舍去）或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B.

3．（2018届河南洛阳联考）在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为（　　）

A．－B．－

C.D．－或

答案　D

解析　由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2＋a16＝－6，a2×a16＝2，显然两根同为负值，aq16＝2，即有a＝2，则的值为a9＝±.故选D.

4．（2017·安阳一中模拟）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N＋，则（　　）

A．{an}是递增的等比数列

B．{an}是递增数列，