人教版最新高考文科数学第一轮复习经典习题集含答案Word版Word文档格式.docx
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第三节几何概型…………………………………………………………………………79
第十二章导数……………………………………………………………………83
第十三章不等式…………………………………………………………………85
第十四章立体几何………………………………………………………………88
第一节简单几何体………………………………………………………………………88
第二节空间图形的基本关系与公理……………………………………………………92
第三节平行关系…………………………………………………………………………96
第四节垂直关系…………………………………………………………………………100
第五节简单几何体的面积与体积………………………………………………………104
第十五章解析几何……………………………………………………………108
第一节直线的倾斜角、斜率与方程……………………………………………………108
第二节点与直线、直线与直线的位置关系……………………………………………111
第三节圆的标准方程与一般方程………………………………………………………114
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系…………………………………………………117
第五节空间直角坐标系…………………………………………………………………121
第十六章圆锥曲线……………………………………………………………123
第一节集合的含义、表示及基本关系
A组
1.已知A={1,2},B=,则集合A与B的关系为________.
解析:
由集合B=知,B={1,2}.答案:
A=B
2.若,则实数a的取值范围是________.
由题意知,有解,故.答案:
3.已知集合A=,集合B=,则集合A与B的关系是________.
y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴BA.
答案:
BA
4.(2009年高考广东卷改编)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N=关系的韦恩(Venn)图是________.
由N=,得N={-1,0},则NM.答案:
②
5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A=,集合B=,若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,∴AB,∴a<
5.
a<
5
6.(原创题)已知m∈A,n∈B,且集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又C={x|x=4a+1,a∈Z},判断m+n属于哪一个集合?
解:
∵m∈A,∴设m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈Z,∴m+n∈B.
B组
1.设a,b都是非零实数,y=++可能取的值组成的集合是________.
分四种情况:
(1)a>
0且b>
0;
(2)a>
0且b<
(3)a<
(4)a<
0,讨论得y=3或y=-1.答案:
{3,-1}
2.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=________.
∵B⊆A,显然m2≠-1且m2≠3,故m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.
1
3.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是________个.
依次分别取a=0,2,5;
b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:
8
4.已知集合M={x|x2=1},集合N={x|ax=1},若NM,那么a的值是________.
M={x|x=1或x=-1},NM,所以N=∅时,a=0;
当a≠0时,x==1或-1,∴a=1或-1.答案:
0,1,-1
5.满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个.
A中一定有元素1,所以A有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:
3
6.已知集合A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=-,b∈Z},C={x|x=+,c∈Z},则A、B、C之间的关系是________.
用列举法寻找规律.答案:
AB=C
7.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<
a},则“A⊆B”是“a>
5”的________.
结合数轴若A⊆B⇔a≥4,故“A⊆B”是“a>
5”的必要但不充分条件.答案:
必要不充分条件
8.(2010年江苏启东模拟)设集合M={m|m=2n,n∈N,且m<
500},则M中所有元素的和为________.
∵2n<
500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S=1+2+22+…+28=511.答案:
511
9.(2009年高考卷)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
依题可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案:
6
10.已知A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且A=B,试求x,y的值.
由lg(xy)知,xy>
0,故x≠0,xy≠0,于是由A=B得lg(xy)=0,xy=1.
∴A={x,1,0},B={0,|x|,}.
于是必有|x|=1,=x≠1,故x=-1,从而y=-1.
11.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},
(1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围;
(2)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围;
(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5},
(1)∵B⊆A,∴①若B=∅,则m+1>
2m-1,即m<
2,此时满足B⊆A.
②若B≠∅,则解得2≤m≤3.
由①②得,m的取值范围是(-∞,3].
(2)若A⊆B,则依题意应有解得故3≤m≤4,
∴m的取值范围是[3,4].
(3)若A=B,则必有解得m∈∅.,即不存在m值使得A=B.
12.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.
(1)若A是B的真子集,求a的取值范围;
(2)若B是A的子集,求a的取值范围;
(3)若A=B,求a的取值范围.
由x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得1≤x≤2,故A={x|1≤x≤2},
而集合B={x|(x-1)(x-a)≤0},
(1)若A是B的真子集,即AB,则此时B={x|1≤x≤a},故a>
2.
(2)若B是A的子集,即B⊆A,由数轴可知1≤a≤2.
(3)若A=B,则必有a=2
第二节集合的基本运算
1.(2009年高考浙江卷改编)设U=R,A=,B=,则A∩∁UB=____.
∁UB={x|x≤1},∴A∩∁UB={x|0<
x≤1}.答案:
{x|0<
x≤1}
2.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个.
A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},∁U(A∩B)={3,5,8}.
3.已知集合M={0,1,2},N=,则集合M∩N=________.
由题意知,N={0,2,4},故M∩N={0,2}.答案:
{0,2}
4.(原创题)设A,B是非空集合,定义AⓐB={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则AⓐB=________.
A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以AⓐB=(2,+∞).
(2,+∞)
5.(2009年高考湖南卷)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案:
12
6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A={x|x>
1},集合B={x|m≤x≤m+3}.
(1)当m=-1时,求A∩B,A∪B;
(2)若B⊆A,求m的取值范围.
(1)当时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<
x≤2},A∪B={x|x≥-1}.
(2)若B⊆A,则,即的取值范围为(1,+∞)
1.若集合M={x∈R|-3<
x<
1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则M∩N=________.
因为集合N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0}.答案:
{-1,0}
2.已知全集U={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},则(∁UA)∩B=________.
∁UA={0,1},故(∁UA)∩B={0}.答案:
{0}
3.(2010年×
×
市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则M∩(∁UN)=________.
根据已知得M∩(∁UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<
0或x>
3}={x|-2≤x<
0}.答案:
{x|-2≤x<
0}
4.集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________.
由A∩B={2}得log2a=2,∴a=4,从而b=2,∴A∪B={2,3,4}.
{2,3,4}
5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________.
U=A∪B中有m个元素,
∵(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素.答案:
m-n
6.(2009年高考重庆卷)设U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则∁U(A∪B)=________.
U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7},
得∁U(A∪B)={2,4,8}.答案:
{2,4,8}
7.定义A⊗B={z|z=xy+,x∈A,y∈B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________.
由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5,则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案:
18
8.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________.
由⇒点(0,2)在y=3x+b上,∴b=2.
9.设全集I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},∁IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合M的所有子集是________.
∵A∪(∁IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}.
∅,{1},{2},{1,2}
10.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}.
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0⇒a=-1或a=-3;
当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;
当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;
综上,a的值为-1或-3.
(2)对于集合B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A,
①当Δ<
0,即a<
-3时,B=∅满足条件;
②当Δ=0,即a=-3时,B={2}满足条件;
③当Δ>
0,即a>
-3时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得
⇒矛盾.综上,a的取值范围是a≤-3.
11.已知函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩(∁RB);
(2)若A∩B={x|-1<
4},求实数m的值.
A={x|-1<
x≤5}.
(1)当m=3时,B={x|-1<
3},则∁RB={x|x≤-1或x≥3},
∴A∩(∁RB)={x|3≤x≤5}.
(2)∵A={x|-1<
x≤5},A∩B={x|-1<
4},
∴有-42+2×
4+m=0,解得m=8,此时B={x|-2<
4},符合题意.
12.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}.
(1)若A=∅,求实数a的取值范围;
(2)若A是单元素集,求a的值及集合A;
(3)求集合M={a∈R|A≠∅}.
(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解.
若a=0,方程有一解x=,不合题意.
若a≠0,要方程ax2-3x+2=0无解,则Δ=9-8a<
0,则a>
.
综上可知,若A=∅,则a的取值范围应为a>
(2)当a=0时,方程ax2-3x+2=0只有一根x=,A={}符合题意.
当a≠0时,则Δ=9-8a=0,即a=时,
方程有两个相等的实数根x=,则A={}.
综上可知,当a=0时,A={};
当a=时,A={}.
(3)当a=0时,A={}≠∅.当a≠0时,要使方程有实数根,
则Δ=9-8a≥0,即a≤.
综上可知,a的取值范围是a≤,即M={a∈R|A≠∅}={a|a≤}
第二章函数
第一节对函数的进一步认识
1.(2009年高考江西卷改编)函数y=的定义域为________.
⇒x∈[-4,0)∪(0,1].答案:
[-4,0)∪(0,1]
2.(2010年绍兴第一次质检)如图,函数f(x)的图象是曲线段OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值等于________.
由图象知f(3)=1,f()=f
(1)=2.答案:
2
3.(2009年高考卷)已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=________.
依题意得x≤1时,3x=2,∴x=log32;
当x>
1时,-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案:
log32
4.(2010年×
市高三质检)函数f:
{1,}→{1,}满足f[f(x)]>
1的这样的函数个数有________个.
如图.答案:
5.(原创题)由等式x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3定义一个映射f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3),则f(2,1,-1)=________.
由题意知x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3,
令x=-1得:
-1=b3;
再令x=0与x=1得,
解得b1=-1,b2=0.
(-1,0,-1)
6.已知函数f(x)=
(1)求f(1-),f{f[f(-2)]}的值;
(2)求f(3x-1);
(3)若f(a)=,求a.
f(x)为分段函数,应分段求解.
(1)∵1-=1-(+1)=-<
-1,∴f(-)=-2+3,
又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+=.
(2)若3x-1>
1,即x>
,f(3x-1)=1+=;
若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
若3x-1<
-1,即x<
0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
∴f(3x-1)=
(3)∵f(a)=,∴a>
1或-1≤a≤1.
当a>
1时,有1+=,∴a=2;
当-1≤a≤1时,a2+1=,∴a=±
∴a=2或±
1.(2010年广东江门质检)函数y=+lg(2x-1)的定义域是________.
由3x-2>
0,2x-1>
0,得x>
.答案:
{x|x>
}
2.(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)=则f(f(f()+5))=_.
∵-1≤≤2,∴f()+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f
(2)=-3,
∴f(-3)=(-2)×
(-3)+1=7.答案:
7
3.定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)的解析式为________.
∵对任意的x∈(-1,1),有-x∈(-1,1),
由2f(x)-f(-x)=lg(x+1),①
由2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),②
①×
2+②消去f(-x),得3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1),
∴f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1<
1).
f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),(-1<
1)
4.设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可能是________个.
由f(x+1)=f(x)+1可得f
(1)=f(0)+1,f
(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…本题中如果f(0)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点;
若f(0)≠0,则y=f(x)和y=x有零个交点.答案:
0或无数
5.设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=________,关于x的方程f(x)=x的解的个数为________个.
由题意得
,
∴f(x)=.
由数形结合得f(x)=x的解的个数有3个.
3
6.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),函数g(x)=-x2+bx+c,若f(2+)-f(+1)=,g(x)的图象过点A(4,-5)及B(-2,-5),则a=__________,函数f[g(x)]的定义域为__________.
2 (-1,3)
7.(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)=,则不等式f(x)>
f
(1)的解集是________.
由已知,函数先增后减再增,当x≥0,f(x)>
f
(1)=3时,令f(x)=3,
解得x=1,x=3.故f(x)>
f
(1)的解集为0≤x<
1或x>
3.
当x<
0,x+6=3时,x=-3,故f(x)>
f
(1)=3,解得-3<
综上,f(x)>
f
(1)的解集为{x|-3<
3}.答案:
{x|-3<
3}
8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
则f(3)的值为________.
∵f(3)=f
(2)-f
(1),又f
(2)=f
(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2.答案:
-2
9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x与容器中的水量y之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x≥20),y与x之间函数的函数关系是________.
设进水速度为a1升/分钟,出水速度
为a2升/分钟,则由题意得,
得,则y=35-3(x-20),得y=-3x+95,
又因为水放完为止,所以时间为x≤,又知x≥20,故解析式为y=-3x+95(20≤x≤).答案:
y=-3x+95(20≤x≤)
10.函数.
(1)若的定义域为R,求实数的取值范围;
(2)若的定义域为[-2,1],求实数的