复变函数及积分变换重要知识点归纳Word格式.docx
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z1
iy1
iy2
x1x2
y1x2
y2x1
。
x22
y22
i
）若z1
z1ei1,z2
z2ei2,则
2
i12
i1
z1z2z1z2e
e
3.乘幂与方根
1）若z
z（cos
isin）
，则zn
n
isinn）
z（cosn
zein。
2）若z
，则
1
2k
（有
个相异的值）
zz
（k
0,1,2
n1）
（三）复变函数
1．复变函数：
wfz，在几何上能够看作把
z平面上的一
个点集D变到w平面上的一个点集G的映照.
2．复初等函数
1）指数函数：
ezexcosyisiny，在z平面到处可导，到处分析；
且ez
ez。
ez是以2i为周期的周期函数。
（注意与实函数不一样）
3）对数函数：
Lnz
lnzi（argz2k）（k0,1,2）（多值函数）；
主值：
lnz
lnziargz。
（单值函数）
Lnz的每一个主值分支
lnz在除掉原点及负实轴的
z平面内到处
分析，且lnz
1；
负复数也有对数存在。
（与实函数不一样）
3）乘幂与幂函数：
ab
ebLna
（a0）；
zb
ebLnz
（z
0）
在除掉原点及负实轴的
z平面内到处分析，且
zb
bzb1。
eiz
eiz
sinz
cosz
4）三角函数：
sinz
2i
cosz
tgz
ctgz
sinz,cosz在z平面内分析，且
cosz,cosz
有界性sinz
1,cosz
1不再建立；
（与实函数不一样）
4）双曲函数
shz
ez
ez
chz
shz奇函数，chz是偶函数。
sh,zc在hzz平面内解析，且
shzc,hzchz。
shz
（四）分析函数的观点
1．复变函数的导数
）点可导：
fz0=lim
fz0zfz0；
2）地区可导：
fz在地区内点点可导。
2．分析函数的观点
1）点分析：
fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点分析；
2）地区分析：
fz在地区内每一点分析，称fz在地区内分析；
3）若f（z）在z0点不分析，称z0为fz的奇点；
3．分析函数的运算法例：
分析函数的和、差、积、商（除分母为
零的点）仍为分析函数；
分析函数的复合函数仍为分析函数；
（五）函数可导与分析的充要条件
1．函数可导的充要条件：
fzux,yivx,y在zxiy可导
ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：
uv,uv
xyyx
此时，有fzuiv。
xx
2．函数分析的充要条件：
fzux,yivx,y在地区内分析
ux,y
和vx,y在x,y在D
内可微，且知足CD条件：
u
v,
v；
此时fz
v。
注意：
若ux,y
vx,y在地区D拥有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y
在地区D内是可微的。
所以在使用充要条件证明时，只需能说
明u,v拥有一阶连续偏导且知足
CR条件时，函数f（z）uiv必定
是可导或分析的。
3．函数可导与分析的鉴别方法
1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二
章习题2）
3）利用可导或分析函数的四则运算定理。
（函数fz是以z的形式
给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的观点与性质
1．复变函数积分的观点：
c
kk，
是圆滑曲线。
fzdz
limf
c
k1
复变函数的积分实质是复平面上的线积分。
2．复变函数积分的性质
1）
2）
（c1与c的方向相反）；
[fz
g
z]dz
fzdzgzdz,,
是常数；
3）若曲线c由c1与c2连结而成，则fzdzfzdzfzdz。
cc1c2
3
3．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：
fzdzudxvdyivdxudy；
（常用于理论证明）
ccc
2）参数方法：
设曲线c：
zzt（t），此中对应曲线c的起
点，对应曲线c的终点，则fzdz[fz]t（z）。
tdt
（七）对于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：
设fz在单连域B内分析，c为B内任一闭曲线，则
fzdz0
2．复合闭路定理
简单闭曲线，
订交，并且以
：
设fz在多连域D内分析，c为D内随意一条c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包括互不
c1,c2,cn为界限的地区全含于D内，则
①
此中c与ck均取正向；
fzdz,
k1ck
②
0，此中
由c及c1（k1,2,n）所构成的复合闭路。
3．闭路变形原理：
一个在地区D内的分析函数fz沿闭曲线c的
积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只需在变形过程中c不经过使fz不分析的奇点。
4．分析函数沿非闭曲线的积分：
设fz在单连域B内分析，Gz
为fz在B内的一个原函数，则
fzdzGz2Gz1（z1,z2B）
说明：
分析函数
fz沿非闭曲线的积分与积分路径没关，计算
时只需求出原函数即可。
5。
柯西积分公式：
设fz在地区D内分析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则
4
fz
ifz0
dz
czz
6．高阶导数公式：
分析函数fz
的导数仍为分析函数，它的
n阶
导数为
f
2ifn
z0（n1,2）
c（z
z0）n1
n!
此中c为f
的分析地区D内环绕z0的任何一条正向简单闭曲线，
并且它的内部完整属于
D。
7．重要结论：
i,n
（c是包括a的随意正向简单闭曲
c（z
a）
n1dz
线）
8．复变函数积分的计算方法
1）若fz在地区D内到处不分析，用一般积分法
fzdzf[zt]ztdt
2）设fz在地区D内分析，
c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，fzdz0
c是D内的一条非闭曲线，
z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有
Fz1
fzdzfzdzFz2
3）设f
z在地区D内不分析
if
z0
cz
曲线c内仅有一个奇点：
（f（z）在c内分析）
nz
z0）n
曲线
内有多于一个奇点：
zdz
zdz（c
内只有一个奇
k1c
k
5
点zk）
或：
Res[f（z）,zk]（留数基本定理）
fzdz2
若被积函数不可以表示成
zo）n1，则须改用第五章留数定理来计
（z
算。
（八）分析函数与调解函数的关系
1．调解函数的观点：
若二元实函数
（x,y）在D内有二阶连续偏导数
且知足
y2
0，
（x,y）为D内的调解函数。
2．分析函数与调解函数的关系
iv的实部u与虚部v都是调解函数，并称虚部v
为实部u的共轭调解函数。
两个调解函数u与v构成的函数f（z）
uiv不必定是分析函数；
但
是若u,v假如知足柯西—
黎曼方程，则u
iv必定是分析函数。
3．已知分析函数
fz的实部或虚部，求分析函数fzu
iv的方法。
1）偏微分法：
若已知实部u
，利用C
R条件，得
对v
u两边积分，得v
udy
（*）
再对（*）式两边对x求偏导，得
v
udygx
（**）
由CR条件，u
v，得u
gx，可求出
gx；
6
代入（*）式，可求得
虚部v
udygx
2）线积分法：
若已知实部uu,xy，利用C
R条件可得
dv
vdx
vdy
udx
udy，
故虚部为v
x,y
x0,y0
udxudyc；
yx
因为该积分与路径没关，可选用简单路径（如折线）计算它，其
中x0,y0与x,y是分析地区中的两点。
3）不定积分法：
若已知实部uux,y，依据分析函数的导数公式
和C
R条件得悉，
iv
iu
将此式右端表示成
z的函数U
，因为f
z仍为分析函数，故
U
（c为实常数）
若已知虚部v也可用近似方法求出实部u.
（九）复数项级数
1．复数列的极限
1）复数列{n}{an
ibn}（n1,2
）收敛于复数
abi的充要条件为
limana,
limbnb
（同时建立）
2）复数列{n}收敛
实数列{an},{bn}同时收敛。
2．复数项级数
1）复数项级数n（nanibn）收敛的充要条件是级数an与bn同
n0n0n0
时收敛；
2）级数收敛的必需条件是n
lim
7
复数项级数的敛散性能够概括为两个实数项级数的敛散性问题的议论。
（十）幂级数的敛散性
1．幂级数的观点：
表达式
2．幂级数的敛散性
cn（zz0）n或
cnzn为幂级数。
n0
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理（Abel）：
假如幂级数cnzn在z00
处收敛，那么对知足zz0的全部z，该级数绝对收敛；
假如在z0处发散，那么对知足zz0的全部z，级数必发散。
2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；
在圆域外，发散；
在收敛圆的
圆周上可能收敛；
也可能发散。
3）收敛半径的求法：
收敛圆的半径称收敛半径。
比值法
假如limcn1
0，则收敛半径R
cn
根值法limcn0，则收敛半径R1；
假如0，则R；
说明在整个复平面上到处收敛；
假如，则R0；
说明仅在zz0或z0点收敛；
若幂级数出缺项时，不可以直接套用公式求收敛半径。
（如cnz2n）
3．幂级数的性质
1）代数性质：
设
anzn,bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记
RminR1,R2，
8
则当zR时，有
（an
bn）zn
anzn
bnzn
（线性运算）
（
anzn）（
bnzn）
（anb0
an1b1
a0bn）zn
（乘积运算）
2）复合性质：
设当r时，fann，当zR时，gz分析
且gzr，
则当zR时，f[gz]an[gz]n。
3）
剖析运算性质：
设幂级数
anzn的收敛半径为R
0，则
其和函数fzanzn是收敛圆内的分析函数；
在收敛圆内可逐项求导
，收敛半径不
变；
且f
nanzn
zR
在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；
an
zn
（十一）幂函数的泰勒睁开
1.泰勒睁开：
设函数fz在圆域zz0
R内分析，则在此圆域内
能够睁开成幂级数fz
fz0
n；
并且此睁开式是独一的。
若fz在z0分析，则fz在z0的泰勒睁开式建立的圆域的收敛
半径Rz0a；
此中R为从z0到fz的距z0近来一个奇点a之间的距离。
9
2．常用函数在z0
0的泰勒睁开式
1）ez
1zn
z3
n0n!
2!
3!
2）1
1zz2
z1
1z
3）sinz
1）n
z2n1
z5
（1）n
（2n1）!
5!
4）cosz
1）nz2n
z4
z2n
n0（2n）!
4!
（2n）!
3．分析函数睁开成泰勒级数的方法
1）直接法：
直接求出
1fn
z0，于是fz
cnzz0
n。
2）间接法：
利用已知函数的泰勒睁开式及幂级数的代数运算、复
合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数睁开。
（十二）幂函数的洛朗睁开
1.洛朗级数的观点：
cnzz0n，含正幂项和负幂项。
2．洛朗睁开定理：
设函数fz在圆环域R1zz0R2内到处分析，
c为圆环域内绕z0的随意一条正向简单闭曲线，则在此在圆
环域内，有fz
，且睁开式独一。
3．分析函数的洛朗睁开法：
洛朗级数一般只好用间接法睁开。
*4．利用洛朗级数求围线积分：
fz在rz
R内分析，c为
rzz0R内的任何一条正向简单闭曲线，
则
zdz2
ic1。
此中
c1为f（z）在rzz0R内洛朗睁开式中
的系数。
围线积分可转变为求被积函数的洛朗睁开式中
z0）1的系
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