第五讲函数的基本性质Word格式.docx

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335－1）＝f（－1）＝－f

（1）＝－1，选A

例3定义在实数集上的函数f（x），对一切实数x都有f（x＋1）＝f（2－x）成立，若f（x）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（）

A．150B．/C．152D．/

【解析】由已知，函数f（x）的图象有对称轴x＝/于是这101个根的分布也关于该对称轴对称．即有一个根就是/，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝/对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于/×

100＝150所有101个根的和为/×

101＝/．选B

例4实数x，y满足x2＝2xsin（xy）－1，则x1998＋6sin5y＝______________．

如果x、y不是某些特殊值，则本题无法（快速）求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法（x－sin（xy））2＋cos2（xy）＝0，∴x＝sin（xy）且cos（xy）＝0，∴x＝sin（xy）＝±

1，∴siny＝1xsin（xy）＝1，原式＝7

例5已知x＝/是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________．

（逆向思考：

什么样的方程有这样的根？

），由已知变形得x－/，∴x2－2/x＋19＝99，即x2－80＝2/x，再平方得x4－160x2＋6400＝76x2，即x4－236x2＋6400＝0，∴b＝－236，c＝6400，b＋c＝6164

例6已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），f（x）＝0有实数根，且f（x）＝1在（0，1）内有两个实数根，求证：

a＞4．

【解析】证法一：

由已知条件可得

?

=

2

4?

≥0①

1

=?

+?

>

1②

1③

0<

2?

<

1④

?

≥4?

≥

1?

0（∵?

0）

，于是－b≥2/

所以a＋c－1＞－b≥2/，∴（/）2＞1，∴/＞1，于是/＋1＞2，∴a＞4。

证法二：

设f（x）的两个根为x1，x2，则f（x）＝a（x－x1）（x－x2），f

（1）＝a（1－x1）（1－x2）＞1，f（0）＝ax1x2＞1，由基本不等式，x1（1－x1）x2（1－x2）≤[/（x1＋（1－x1）＋x2＋（1－x2））]4＝（/）2，∴/≥a2x1（1－x1）x2（1－x2）＞1，∴a2＞16，∴a＞4

例7已知f（x）＝x2＋ax＋b（－1≤x≤1），若|f（x）|的最大值为M，求证：

M≥/．

M＝|f（x）|max＝max{|f⑴|，|f（－1）|，|f（－/）|}

⑴若|－/|≥1（对称轴不在定义域内部），则M＝max{|f

（1）|，|f（－1）|}，而f

（1）＝1＋a＋b，f（－1）＝1－a＋b，|f

（1）|＋|f（－1）|≥|f

（1）＋f（－1）|＝2|a|≥4，则|f

（1）|和|f（－1）|中至少有一个不小于2，∴M≥2＞/

（2）|－/|＜1，M＝max{|f

（1）|，|f（－1）|，|f（－/）|}＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－/＋b|}＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－/＋b|，|－/＋b|}≥/（|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－/＋b|＋|－/＋b|）≥/[（1＋a＋b）＋（1－a＋b）－（－/＋b）－（－/＋b）]＝/≥/。

综上所述，原命题正确．

例8⑴解方程:

（x＋8）2001＋x2001＋2x＋8＝0

⑵解方程：

/

【解析】⑴原方程化为（x＋8）2001＋（x＋8）＋x2001＋x＝0，即（x＋8）2001＋（x＋8）＝（－x）2001＋（－x），构造函数f（x）＝x2001＋x，原方程等价于f（x＋8）＝f（－x），而由函数的单调性可知f（x）是R上的单调递增函数，于是有x＋8＝－x，x＝－4为原方程的解

（2）两边取以2为底的对数得

+

4

+1

+1+

（

+1）

（?

1）

，即

+1，即

+2?

+（

+1），构造函数?

，于是f（2x）＝f（x2＋1），易证：

f（x）世纪函数，且是R上的增函数，所以：

2x＝x2＋1解得：

x＝1

例9设f（x）＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f

（1）＝1，f

（2）＝2，f（3）＝3，求/[f（4）＋f（0）]的值．

由已知，方程f（x）＝x已知有三个解，设第四个解为m，记F（x）＝f（x）－x＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－m），∴f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－m）＋x，f（4）＝6（4－m）＋4，f（0）＝6m，∴/[f（4）＋f（0）]＝7

例10设f（x）＝x4－4x3＋/x2－5x＋2，当x∈R时，求证：

|f（x）|≥/

配方得：

f（x）＝x2（x－2）2＋/（x－1）2－/

＝x2（x－2）2＋/（x－1）2－1＋/＝（x2－2x）2＋/（x－1）2－1＋/

＝[（x－1）2－1]2＋/（x－1）2－1＋/＝（x－1）4－2（x－1）2＋1＋/（x－1）2－1＋/＝（x－1）4＋/（x－1）2＋/≥/

例11已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝－f（x），求证：

2m是f（x）的一个周期．

因为f（x＋m）＝－f（x）所以，f（x＋2m）＝f[（x＋m）＋m]＝－f（x＋m）＝f（x），所以f（x）是以2m为周期的周期函数．

例12已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝f（x－m），求证：

【解析】证明：

因为f（x＋m）＝f（x－m）令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m于是f（t＋2m）＝f（t）对于t∈R恒成立，所以f（x）是以2m为周期的周期函数．

例13已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝/，求证：

由已知?

）

1+?

1+

），所以f（x）是以2m为周期的周期函数．

例14已知函数f（x）对任意实数x，都有f（x＋m）＝－/，求证：

4m是f（x）的一个周期．

，于是f（x＋4m）＝－/＝f（x）

所以f（x）是以4m为周期的周期函数．

例15已知函数f（x）对任意实数x，都有f（a＋x）＝f（a－x）且f（b＋x）＝f（b－x），

求证：

2|a－b|是f（x）的一个周期．（a≠b）

不妨设a＞b，于是f（x＋2（a－b））＝f（a＋（x＋a－2b））

＝f（a－（x＋a－2b））＝f（2b－x）＝f（b－（x－b））＝f（b＋（x－b））＝f（x）

∴2（a－b）是f（x）的一个周期，当a＜b时同理可得，所以，2|a－b|是f（x）的周期

例16已知函数f（x）的定义域为N，且对任意正整数x，都有f（x）＝f（x－1）＋f（x＋1）

若f（0）＝2004，求f（2004）

因为f（x）＝f（x－1）＋f（x＋1），所以f（x＋1）＝f（x）＋f（x＋2），两式相加得0＝f（x－1）＋f（x＋2），即：

f（x＋3）＝－f（x），∴f（x＋6）＝f（x），f（x）是以6为周期的周期函数，2004＝6×

334，∴f（2004）＝f（0）＝2004

例17已知对于任意a，b∈R，有f（a＋b）＋f（a－b）＝2f（a）f（b），且f（x）≠0，⑴求证：

f（x）是偶函数；

⑵若存在正整数m使得f（m）＝0，求满足f（x＋T）＝f（x）的一个T值（T≠0）

【解析】⑴证明：

令a＝b＝0得，f（0）＝1（f（0）＝0舍去），又令a＝0，得f（b）＝f（－b），即f（x）＝f（－x），所以，f（x）为偶函数

⑵令a＝x＋m，b＝m，得f（x＋2m）＋f（x）＝2f（x＋m）f（m）＝0，所以f（x＋2m）＝－f（x），于是f（x＋4m）＝f[（x＋2m）＋2m]＝－f（x＋2m）＝f（x），即T＝4m（周期函数）

例18数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an（n∈N＋），①求a100；

②求S100．

由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×

16＋4＝a4＝－a

又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100＝0＋a97＋a98＋a99＋a100＝a1＋a2＋a3＋a4＝a＋b＋（b－a）＋（－a）＝2b－a

例19对每一个实数对x，y，函数f（t）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋xy＋1，若f（－2）=－2，试求满足f（a）＝a的所有整数a．

令x＝y＝0，得f（0）＝－1，再令x＝y＝－1，得f（－2）＝2f（－1）＋2，又f（－2）＝－2，所以f（－1）＝－2，又令x＝1，y＝－1，可得f

（1）＝1，令x＝y＝1得f

（2）＝2f

（1）＋1＋1＝4，令y＝1，得f（x＋1）＝f（x）＋x＋2，即f（x＋1）－f（x）＝x＋2①，当x取任意正整数时，f（x＋1）－f（x）＞0，又f

（1）＝1＞0，所以f（x）＞0，于是f（x＋1）＝f（x）＋x＋2＞x＋1，即对任意大于1的正整数t，f（t）＞t，在①中，令x＝－3，得f（－3）＝－1，进一步可得f（－4）＝1，注意到f（x）－f（x＋1）＝－（x＋2），所以当x≤－4时，f（x）－f（x＋1）＞0，即f（x）＞f（x＋1）＞f（x＋2）＞……＞f（－4）＝1，所以x≤－4时，f（x）＞x，综上所述，满足f（a）＝a的整数只有a＝1或a＝－2

例20设f（x）是一个从实数集R到R的一个映射，对于任意的实数x，都有|f（x）|≤1，并且f（x）+/，求证：

f（x）是周期函数．

13

42

7

16

），所以?

=?

19

12

49

），

即/①

同理有/

即/②

由①②?

44

84

），于是f（x＋1）－f（x）＝f（x＋2）－f（x＋1），记这个差为d，同理f（x＋3）－f（x＋2）＝f（x＋2）－f（x＋1）＝d，……f（x＋n＋1）－f（x＋n）＝f（x＋n）－f（x＋n－1）＝……＝f（x＋1）－f（x）＝d，即是说数列{f（x＋n）}是一个以f（x）为首项，d为公差的等差数列，因此f（x＋n）＝f（x）＋nd＝f（x）＋n[f（x＋1）－f（x）]对所有的自然数n成立，而对于x∈R，|f（x）|≤1，即f（x）有界，故只有f（x＋1）－f（x）＝0，即f（x＋1）＝f（x）x∈R，所以f（x）是周期为1的周期函数．