(1)=-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f
(2)=ln2-2a.[16分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤
第一步:
(求导数)求函数f(x)的导数f′(x);
第二步:
(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
第三步:
(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;
第四步:
(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;
第五步:
(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.
1.已知函数f(x)=ex-elnx,则f(x)的最小值为________.
答案 e
解析 ∵f′(x)=ex-=,
由f′(x)=0,解得x=1,
且当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f
(1)=e.
2.函数f(x)=x3-4x+4的极大值为________.
答案
解析 f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),
f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,
在(2,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极大值为f(-2)=.
3.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则下列说法正确的是________.(填序号)
①当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值;
②当k=1时,f(x)在x=1处取得极大值;
③当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值;
④当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值.
答案 ③
解析 当k=1时,f′(x)=ex·x-1,f′
(1)≠0,
∴x=1不是f(x)的极值点.
当k=2时,f′(x)=(x-1)(xex+ex-2),
显然f′
(1)=0,且在x=1附近的左侧f′(x)<0,
当x>1时,f′(x)>0,
∴f(x)在x=1处取得极小值.
4.函数