八上第一章勾股定理文档格式.docx

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3．（易错题）一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边长的平方为（）

A.25B.7C.5D．25或7

4．直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是。

5．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB,EF=10cm，则CE2+CF2=.

6．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°

，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是。

7.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别为3，5，2，3，则最大的正方形E的面积为。

3、解答题

8．求出下列直角三角形中未知边的长度。

9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°

，如果AB=15，那么正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为多少？

10．如图，等腰三角形ABC的面积为12平方厘米，底边AB长为6厘米，求等腰三角形ABC的腰长。

11．一个零件的形状如图所示，已知∠A=∠CBD=90°

，AC=3㎝，AB=4cm，DC=13cm,求BD的长。

如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，求DE的长

第2课时

探索勾股定理

1面积法：

同一个图形的面积可以用不同式子表示。

用面积法验证勾股定理要通过变形寻找原图形与转化后图形各部分面积的等量关系。

2用勾股定理解决实际问题的关键是：

把实际问题转化为“直角三角形”这个数学模型来解。

预学感知如图，为了测得湖两岸A、B两点之间的距离，小红在点C设桩，使∠ABC=90°

，

并测得AC长20米，BC长16米，则点A和点B之间的距离是米。

知识点一勾股定理的验证

【例1】用四个直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形和两个直角边长均为c的等腰直角三角拼接成如图所示的梯形，你能验证a2+b2=c2吗？

【名师点拨】整个几何图形的面积=几个小的几何图形的面积之和。

知识点二勾股定理的应用

【例2】如图，某人从点A出发，想垂直横渡到河对岸的B点，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离了想要到达的B点140米（即BC=140米，）其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），则该河流AB处的宽度是米。

【名师点拨】将实际问题转化为“直角三角形”。

知道斜边AC，直角边BC，利用勾股定理就可求出AB了。

利用图形面积的方法验证勾股定理，主要是观察同一个图形面积从不同的角度计算，从而找到等量关系，通过代数计算，导出勾股定理。

1.历史上对勾股定理的一种证法采用如图图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）

2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是（）

3.在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要m.

4.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐弯走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

1、选择题。

1.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：

mm），计算两圆孔中心A和B的距离为（）

A.100mmB.150mmC.180mmD.80mm

2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

3.如图是用四个全等的直角三角形与一个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x,y表示直角三角形的两条直角边（x>

y），请观察图案，指出一下关系式中，错误的是（）

2、填空题。

4.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是。

5.如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了cm。

6.如图，一架5m长的梯子AB靠在一面墙上，梯子的顶端A距地面为4m，当梯子的顶端B向外滑动1m到B’时，则梯子的顶端下滑了m。

7.如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是。

三、解答题。

8.一棵水杉，被一阵大风折断，树干部分AB高1m，树尖到树根部的水平距离BC长2.4m，求树折断前的高度。

9.4个全等的直角三角形的直角边分别为a,b，斜边为c，现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？

请试一试

10.为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km。

试问：

阅览室E建在距点A多少千米处，才能使它到C、D两所学校的距离相等。

第3课时一定是直角三角形吗

1由边的数量关系识别直角三角形（勾股定理逆定理）：

如果△ABC的三条边a,b,c满足

，那么这个三角形是，其中=90°

要点感知1：

以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）

2勾股数：

满足

的三个正整数，称为勾股数。

要点感知2：

下列各组数是勾股数的有（）

①25，7，24；

②16，20，12；

③9，40，41；

④4，6，8；

⑤32，42，52。

知识点一直角三角形的判定

1.三角形的三边长为a,b,c,且满足等式

，则此三角形是（）

2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且

，则下列说法正确的是（）

3.下列各组数中能作为直角三角形三边的是（）

知识点二勾股数

4.下列几组数中，为勾股数的是（）

5.下列几组数中，勾股数有（）

6.勾股数6，8，10；

9，12，15；

12，16，20；

...则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数，。

知识点三勾股定理及其逆定理的综合运用

7.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线长为68cm，则这个桌面。

（选择填“合格”或者“不合格”）

8.有如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°

，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。

1.下列几组数中，是勾股数的是（）

2.下列几组数中，是勾股数的是（）

①3，-4，5；

②5，12，13；

③6，8，10；

④0.3，0.4，0.5；

⑤6，7，8.

1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）

3.小亮在某公园里测得一个三角形花坛的三边分别是12m，5m，13m，则该花坛的面积是（）

3、填空题。

4.在△ABC中，若

，则∠A+∠C=。

5.一个三角形的周长为12，如果∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且有如下关系：

c=b-1，b=a-1，则∠A=。

6.已知

，则以

为边长的三角形是三角形。

7.如图，D是BC上的一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长。

8.设一个直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，斜边长为c，试判断以c+h，a+b，h为边长的三角形的形状。

9.如图，在△ABC中，AB=25，AD是BC边上的中线，BC的长为14，AD的长为24.

（1）判断△ABD的形状；

（2）△ABD与△ACD全等吗？

请说明理由；

（3）求△ABC的面积。

10.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下表格：

（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n>

1）的代数式表示：

a=,

b=，c=；

（2）猜想：

以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形，并说明理由。

11.如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°

，AB=2cm，AD=

cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．

12.方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．

（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；

（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；

（3）在图2中满足题

（2）条件的格点D有　　个．

13.如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识

（1）求△ABC的面积；

（2）判断△ABC是什么形状？

并说明理由．

一．选择题（共10小题）

1．下列各组数据是勾股数的是（　　）

A．5，12，13B．6，9，12C．12，15，18D．12，35，36

2．下列四组数据中是勾股数的有（　　）

①5、7、8　　②

、3③9、12、15　　④n2+1，n2﹣1　2n（n＞1）

A．1组B．2组C．3组D．4组

3．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）

A．1，2，

B．1，2，

C．3，4，5D．6，8，12

4．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．2，3，4D．1，

，3

6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）

A．b2﹣c2=a2B．a：

b：

c=3：

4：

5

C．∠A：

∠B：

∠C=9：

12：

15D．∠C=∠A﹣∠B

7．下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（　　）

A．a2﹣c2=b2B．（a﹣b）（a+b）+c2=0

C．∠A=∠B=∠CD．∠A=2∠B=2∠C

8．给出下列几组数：

①4，5，6；

②8，15，16；

③n2﹣1，2n，n2+1；

④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0）．其中一定能组成直角三角形三边长的是（　　）

A．①②B．③④C．①③④D．④

9．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（　　）

B．

C．

D．

10．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（　　）

A．8B．9C．

D．10

二．填空题（共10小题）

11．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为　　三角形．

12．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=　　．

14.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：

①　　；

②　　．

14．观察下列式子：

当n=2时，a=2×

2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5

n=3时，a=2×

3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10

n=4时，a=2×

4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…

根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数

a=　　，b=　　，c=　　．

15．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为　　．

16．在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC=　　．

17．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是　　三角形．

18．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于　　．

19．附加题：

观察以下几组勾股数，并寻找规律：

①3，4，5；

③7，24，25；

④9，40，41；

…

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：

　　．

20．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为　　．

我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．

观察：

3、4、5；

5、12、13；

7、24、25；

9、40、41；

…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．

（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：

　　；

（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　　和　　，请用所学知识说明它们是一组勾股数．

第4课时勾股定理的应用

1．勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理的逆定理与勾股定理二者的关系可列表如下：

定理

勾股定理

勾股定理的逆定理

内容

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2

如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形

题设

直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c

三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2

结论

a2＋b2＝c2

三角形是直角三角形

用途

是直角三角

形的一个性质

判定直角

三角形的一种方法

3．勾股数：

满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

（1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：

①满足a2＋b2＝c2；

②都是正整数．两者缺一不可．

2倍

3倍

4倍

5倍

3,4,5

6,8,10

5,12,13

15,36,39

8,15,17

32,60,68

7,24,25

70,240,250

（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2（但不一定是勾股数），以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm

为边长的三角形是直角三角形。

填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”

一、选择题。

1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（　　）

A．3，4，4B．3，4，6C．3，4，7D．3，4，5

2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°

，BC＝2.5cm，AC＝1.5cm，则AB的长为（　　）

A．3.5cmB．2cmC．3cmD．4cm

第2题图第3题图

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）

A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算

4．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）

①a＝6，b＝8，c＝10；

②a∶b∶c＝1∶2∶2；

③∠A＝32°

，∠B＝58°

；

④a＝7，b＝24，c＝25.

A．2个B．3个C．4个D．1个

5．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积为（　　）

A．96B．120C．160D．200

6．若△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）（a2＋b2－c2）＝0，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形

7．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°

的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的（　）

A．北偏东75°

的方向上B．北偏东65°

的方向上

C．北偏东55°

的方向上D．无法确定

第7题图第8题图

8．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为（　　）

A.

B．3C．1D.

9．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A．51B．49C．76D．无法确定

第9题图　第10题图第11题图第12题图

10．如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为（　　）

A．10mB．12mC．15mD．20m

11.如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚2.4m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚_________m.

第13题图

12．如图，△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADB的度数是________．

13．如图是某地的长方形广场的示意图，如果小明要从A角走到C角，那么至少要走________．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________．

15．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是________．

第14题图　第15题图第17题图

16．已知长方形的两邻边的差为2，对角线长为4，则长方形的面积是________．

17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________．

18．在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为________．

19．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°

的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°

的方向上，AD⊥BC于点D，求AD的长．

20．

（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；

（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；

（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？

21．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°

的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°

的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？

22．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°

，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．

（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；

（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？

一．选择题.

1．如图，CD是一平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=12，则CE的值为（　　）

A．3B．4C．5D．6

2．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（　　）

A．0.9米B．1.3米C．1.5米D．2米

3．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（　　）

A．880米B．1100米C．1540米D．1760米

4．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：

把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（