《函数的零点与方程的解》教案Word文档格式.docx
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__1__
__0__
方程的根
的个数
2.函数的零点
（1）定义：
对于函数y＝f（x），我们把使__f（x）＝0__成立的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
（2）几何意义：
函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的__横坐标__就是函数y＝f（x）的零点．
（3）结论：
方程f（x）＝0有__实数根__⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有__交点__⇔函数y＝f（x）有__零点__.
3．函数零点的判定定理
条件
结论
函数y＝f（x）在[a，b]上
y＝f（x）在（a，b）内有零点
（1）图象是连续不断的曲线
（2）f（a）f（b）__＜__0
[知识点拨] 判断函数y＝f（x）是否存在零点的方法：
（1）方程法：
判断方程f（x）＝0是否有实数解．
（2）图象法：
判断函数y＝f（x）的图象与x轴是否有交点．
（3）定理法：
利用零点的判定定理来判断．
三、课前自测
1．函数f（x）＝4x－6的零点是（ C ）
A．
B．（
，0） C．
D．－
[解析] 令4x－6＝0，得x＝
，
∴函数f（x）＝4x－6的零点是
.
2．函数f（x）＝x－2＋log2x，则f（x）的零点所在区间为（ B ）
A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）
[解析] f
（1）＝－1＋log21＝－1，
f
（2）＝log22＝1，
∴f
（1）·
f
（2）<
0，故选B．
3．若函数f（x）＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是（ B ）
A．a＜1B．a＞1
C．a≤1D．a≥1
[解析] 函数f（x）＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·
c<
0，则函数有__2__个零点．
[解析] 令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·
0，
∴b2－4ac>
0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c（a·
0）有2个零点．
5．求下列函数的零点．
（1）f（x）＝x2－5x－6；
（2）f（x）＝x3－7x＋6；
（3）f（x）＝（
）x－4；
（4）f（x）＝lnx－1.
[解析]
（1）令x2－5x－6＝0，得（x－6）（x＋1）＝0，∴x1＝－1，x2＝6，∴函数f（x）的零点为－1,6.
（2）令x3－7x＋6＝0，得x3－x－6x＋6＝0，
∴x（x＋1）（x－1）－6（x－1）＝0，
∴（x－1）（x2＋x－6）＝0，∴（x－1）（x＋3）（x－2）＝0，
∴x1＝－3，x2＝1，x3＝2.
∴函数f（x）的零点为－3,1,2.
（3）令（
）x－4＝0，得（
）x＝4，∴x＝－2.
∴函数f（x）的零点为－2.
（4）令lnx－1＝0，得lnx＝1，∴x＝e.
∴函数f（x）的零点为e.
四、课堂互动探究
命题方向1 ⇨求函数的零点
典例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝
；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4；
（3）f（x）＝2x－3；
（4）f（x）＝1－log3x.
[思路分析] 分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点．
[解析]
（1）令
＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝
的零点是－3.
（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×
4＝－12<
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．
（3）令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f（x）＝2x－3的零点是log23.
（4）令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f（x）＝1－log3x的零点是3.
『规律方法』 1.正确理解函数的零点：
（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
（2）根据函数零点定义可知，函数f（x）的零点就是f（x）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f（x）的零点⇔方程f（x）＝0的实根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
（1）代数法：
求方程f（x）＝0的实数根．
（2）几何法：
与函数y＝f（x）的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
〔跟踪练习1〕
（1）求下列函数的零点：
①f（x）＝x2－2x－3零点为__3，－1__；
②g（x）＝lgx＋2零点为__
__.
（2）已知－1和4是函数f（x）＝ax2＋bx－4的零点，则f
（1）＝__－6__.
[解析]
（1）①f（x）＝（x－3）·
（x＋1），令f（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f（x）的零点为3和－1，
②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝
故g（x）的零点为
（2）由条件知
∴
∴f
（1）＝a＋b－4＝－6.
命题方向2 ⇨判断零点所在的区间
典例2 函数f（x）＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为（ C ）
A．（0,1）B．（1,2） C．（2,3）D．（3,4）
[思路分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．
[解析] f
（1）＝1－9＝－8<
0，f
（2）＝ln2＋8－9＝ln2－1<
f（3）＝ln3＋27－9＝ln3＋18>
∴f
（2）·
f（3）<
0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（2,3）．
『规律方法』 判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
〔跟踪练习2〕
函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ C ）
A．（－2，－1） B．（－1,0）C．（0,1） D．（1,2）
[解析] f（－2）＝e－2－2－2＝e－2－4＝
－4<
f（－1）＝e－1－1－2＝
－3<
f（0）＝e0－2＝1－2<
0，f
（1）＝e－1>
∴f（0）·
f
（1）<
0，∴函数f（x）的零点所在的一个区间为（0,1）．
命题方向3 ⇨函数零点个数的判断
典例3 函数f（x）＝（x－2）（x－5）－1有两个零点x1，x2，且x1<
x2，则（ C ）
A．x1<
2,2<
x2<
5B．x1>
2且x2>
5
C．x1<
2，x2>
5D．2<
x1<
5，x2>
5
[思路分析] f（x）的图象是由g（x）＝（x－2）（x－5）的图象向下平移1个单位得到的，由g（x）的零点可判断x1，x2的取值范围．
[解析] 作出函数g（x）＝（x－2）（x－5）的图象如图，将y＝g（x）的图象向下平移1个单位即得y＝f（x）的图象，由图象易知x1<
5，故选C．
『规律方法』 判断函数零点个数的主要方法：
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
（2）画出函数y＝f（x）的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
（3）结合单调性，利用f（a）·
f（b）＜0，可判定y＝f（x）在（a，b）上零点的个数．
（4）转化成两个函数图象的交点问题．
〔跟踪练习3〕
判断函数f（x）＝x－3＋lnx的零点的个数．
[解析] 解法一：
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f（x）＝x－3＋lnx只有一个零点．
解法二：
因为f（3）＝ln3>
0，f
（2）＝－1＋ln2＝ln
<
0，所以f（3）·
0，说明函数f（x）＝x－3＋lnx在区间（2,3）内有零点．
又f（x）＝x－3＋lnx在（0，＋∞）内是增函数，所以原函数只有一个零点．
判断零点个数时出现逻辑错误
典例4 求函数f（x）＝x2－5x＋6在[1,4]上的零点个数．
[错解] 错解一：
由题意，得f
（1）＝2>
0，f（4）＝2>
0，因此函数f（x）＝x2－5x＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0.
错解二：
∵f
（1）＝2>
0，f（2.5）＝－0.25<
0，∴函数在（1,2.5）内有一个零点；
又∵f（4）＝2>
0，∴函数在（2.5，4）内有一个零点，
∴函数在[1,4]上有两个零点．
[错因分析] 对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f（a）·
f（b）>
0时，（a，b）中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f（a）·
f（b）<
0时，（a，b）中存在零点，但个数不确定．
[正解1] 令f（x）＝0，即x2－5x＋6＝0，
∴x1＝2，x2＝3，
∴函数的零点是2,3.
∴函数在[1,4]上的零点的个数是2.
[正解2] ∵f
（1）＝2>
∴f（x）在（1,2.5）和（2.5,4）内都有零点．
又易知f（x）在（－∞，2.5）和（2.5，＋∞）上都是单调函数．
∴f（x）在（1,2.5）和（2.5,4）内都只有一个零点．
∴f（x）在[1,4]上有两个零点．
[警示] 当函数y＝f（x）的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，
（1）不满足f（a）·
f（b）＜0时，函数y＝f（x）在区间（a，b）内可能存在零点，也可能不存在零点．
（2）满足f（a）·
0时，f（x）在（a，b）内必有零点，但不一定只有一个零点．
学科核心素养
1．一元二次方程根的分布问题
典例5 已知函数f（x）＝x2＋2mx＋3m＋4.
（1）若f（x）有且只有一个零点，求实数m的值；
（2）若f（x）有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
[思路分析]
（1）f（x）有且只有一个零点，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根；
（2）f（x）有两个零点，且均比－1大，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0在（－1，＋∞）上有两个实数根．
[解析]
（1）由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝4m2－4（3m＋4）＝0，
即m2－3m－4＝0，
∴m＝－1或m＝4.
（2）由题意得
解得－5<
m<
－1.
∴实数m的取值范围是（－5，－1）．
『规律方法』 1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
2．二次函数零点的分布问题
二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题：
（1）一个区间内只有一个根；
（2）一个区间内有两个根．
由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法如下表：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）对应的方程的根为x1、x2.
根的分布
（m＜n＜p）
图象
满足条件
一个
区间
只有
根
x1＜m＜x2
f（m）＜0
m＜x1＜n
＜x2＜p
有两
个根
m＜x1＜
x2＜n
m＜x1＜x2
在（m，n）内有且只有一个根
或
f（m）·
f（n）＜0或Δ＝0且
－
∈（m，n）
另外，x1，x2∈（0，＋∞），即两正根，也可通过满足条件
来解决；
x1，x2∈（－∞，0），即两负根，也可通过满足条件
x1，x2一正一负也可通过满足
来解决．
2．数形结合思想
典例6 若函数f（x）＝|x2－2x|－a没有零点，求实数a的取值范围．
[解析] 由题意令g（x）＝|x2－2x|，函数g（x）＝|x2－2x|的图象如图．
函数f（x）没有零点，即直线y＝a与函数g（x）＝|x2－2x|的图象没有交点，观察图象可知，此时a<
0.故a的取值范围为（－∞，0）．
五、课堂达标练习
1．下列函数的图象中没有零点的是（ D ）
[解析] 从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D．
2．函数f（x）＝
的零点是（ C ）
A．（1,0） B．0
C．1D．0和1
[解析] 令
＝0，解得x＝1，则函数f（x）的零点是1.
3．函数f（x）＝2x＋x的零点所在的一个区间是（ C ）
A．（1,2）B．（0,1）
C．（－1,0）D．（－2，－1）
[解析] f
（1）＝2＋1＝3>
f
（2）＝4＋2＝6>
f（0）＝20＝1>
f（－1）＝
－1＝－
∴f（－1）·
f（0）<
0，故选C．
4．设函数f（x）在区间[a，b]上是单调函数，且f（a）·
0，则方程f（x）＝0在闭区间[a，b]内有__1__个根．
[解析] 由f（a）·
0知f（x）＝0在[a，b]上至少有一个实数根，又f（x）在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．
5．函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g（x）＝bx2－ax－1的零点．
[解析] 由题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，
∴a＝5，b＝－6，
∴g（x）＝－6x2－5x－1，
由－6x2－5x－1＝0，
解得x1＝－
，x2＝－
∴函数g（x）的零点是－
，－
《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习
一、选择题
1．函数y＝x2＋6x＋8的零点是（ B ）
A．2,4 B．－2，－4
C．1,2D．不存在
[解析] 令x2＋6x＋8＝0，
∴（x＋2）（x＋4）＝0，
∴x＝－4或x＝－2，
故选B．
2．对于函数f（x）＝x2＋mx＋n，若f（a）>
0，f（b）>
0，则函数f（x）在区间（a，b）内（ C ）
A．一定有零点B．一定没有零点
C．可能有两个零点D．至多有一个零点
[解析] 由二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为1,0或2，故选C．
3．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：
x
1
2
3
4
6
7
f（x）
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f（x）存在零点的区间有（ D ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] ∵f
（2）·
0，f（3）·
f（4）<
0，f（4）·
（5）<
0，f（6）·
f（7）<
0，∴函数f（x）存在零点的区间有4个．
4．对于函数f（x），若f（－1）·
0，则（ D ）
A．方程f（x）＝0一定有实数解B．方程f（x）＝0一定无实数解
C．方程f（x）＝0一定有两实根D．方程f（x）＝0可能无实数解
[解析] ∵函数f（x）的图象在（－1,3）上未必连续，故尽管f（－1）·
0，但方程f（x）＝0在（－1,3）上不一定有实数解．
5．函数f（x）＝x＋
的零点的个数为（ A ）
A．0B．1
C．2D．3
[解析] 函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，f（x）＞0；
当x＜0时，f（x）＜0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点，故选A．
6．函数f（x）＝lnx＋
x－2有零点的一个区间是（ C ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
[解析] f
（1）＝
－2＝－
f
（2）＝ln2＋1－2＝ln2－1<
f（3）＝ln3＋
－2＝ln3－
>
0.
二、填空题
7．若一次函数f（x）＝x＋b的零点是2，那么函数g（x）＝bx2＋x的零点是__0，
[解析] ∵f（x）＝x＋b的零点是2，
∴2＋b＝0，∴b＝－2，
∴g（x）＝－2x2＋x，令g（x）＝0，得x＝0或x＝
8．函数f（x）＝
的零点的个数为__2__.
[解析] 当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－
（x＝1舍去）；
当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f（x）＝
有2个零点．
三、解答题
9．求下列函数的零点．
（1）y＝－x2－x＋20；
（2）y＝x3＋8；
（3）y＝（x2－2）（x2－3x＋2）；
（4）y＝
[解析]
（1）令y＝0，有－x2－x＋20＝0，
解得x1＝－5，x2＝4，故所求函数的零点为－5,4.
（2）y＝x3＋8＝（x＋2）（x2－2x＋4）．
令（x＋2）（x2－2x＋4）＝0，
解得x＝－2，故所求函数的零点为－2.
（3）令（x2－2）（x2－3x＋2）＝0，
，x2＝
，x3＝1，x4＝2，
故所求函数的零点为－
，1,2.
＝
令
＝0，解得x＝－6，
故所求函数的零点为－6.
10．若函数f（x）＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
[解析] 当a＝0时，f（x）＝－x－1，
令f（x）＝0得x＝－1符合题意．
当a>
0时，此函数图象开口向上，
又f（0）＝－1<
0，结合二次函数图象知成立．
当a<
0时，此函数图象开口向下，
从而有
即a＝－
综上可知实数a的取值范围为a＝－
或a≥0.
11．已知二次函数y＝（m＋2）x2－（2m＋4）x＋（3m＋3）有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设f（x）＝（m＋2）x2－（2m＋4）x＋（3m＋3），如图，有两种情况．第一种情况，
解得－2＜m＜－
第二种情况，
，此不等式组无解．
综上，m的取值范围是－2＜m＜－
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