最优控制与滤波作业解答.doc
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1变分学变分学1求泛函求泛函2220（）（）Jxtxxdt=，的，的（0）1,22xx=极值曲线。
极值曲线。
解：
解：
两端固定，无约束泛函极值。
两端固定，无约束泛函极值。
Euler方程：
方程：
0xxdFFdt=其中：
其中：
22（,（）,（）Ftxtxtxx=2xFx=2xFx=Euler方程为：
方程为：
0xx+=+=解为：
解为：
*12（）cossinxtctct=+=+代入边界条件得：
代入边界条件得：
c1=1，c2=2x*（t）=cost+2sint或用或用Laplace变换解：
变换解：
22*22（0）（0）0（）（0）（0）（）0（）11（）（0）（0）（）（0）cos（0）sin11sxxxxsXssxxXsXsssXsxxxtxtxtss+=+=+=+=+=+=+=+=+22已知线性系统的状态方程已知线性系统的状态方程x=Ax+Bu其中其中11220110A=,B=,x,u0001xuxu=给定给定1x（0）1=，1
（2）0x=，求，求u（）t，使性能指标，使性能指标2201u2Jdt=为最为最小。
小。
解：
始端时间和状态固定，终端时间固定解：
始端时间和状态固定，终端时间固定tf=2，终端状态约束，终端约束条件为：
，终端状态约束，终端约束条件为：
1
（2）0x=，即，即g（x（tf）,tf）=x1（tf）=0（一个约束方程一个约束方程）。
等式约束条件下的泛函。
等式约束条件下的泛函极值问题。
极值问题。
2212uuu=+=+2221201（）2Juudt=+=+21121222,fxuxxuxuu+=+=+=2212121221（x,u,）（x,u,）（）f（x,u,）（）（）2THtLtttuuxuu=+=+=+=+泛函极值的必要条件为：
泛函极值的必要条件为：
系统方程：
系统方程：
12122,xxuxu=+=+=伴随方程：
伴随方程：
11122120xHxHHx=控制方程：
控制方程：
11111222220000u0HuuuHuHuu=+=+=+=+=+=+=+=+=3横截条件：
横截条件：
111122122（x（）,）g（x（）,）（x（）,）（）0x（）x（）x（）
（2）
（2）
（2）
（2）
（2）
（2）
（2）0
（2）Tfffffffffftttttgttttttxxxx=+=+=+=+=边界条件：
边界条件：
x（0）11T=解上述方程解上述方程:
1112121221202
（2）0cctccc=+=+=11112221200uucuuctc+=+=+=+=321123142212311（）6212xctctcctcxctctc=+=+=+=+将边界条件将边界条件x（0）11T=以及以及1
（2）0x=代入上述方程，有：
代入上述方程，有：
12918,1414cc=故，故，使性能指标使性能指标J达到最小的最优控制为：
达到最小的最优控制为：
u*（t）=-9/149t/14-18/14T代入上述方程，有：
代入上述方程，有：
43受控系统的状态方程、初始条件和目标集分别为受控系统的状态方程、初始条件和目标集分别为1122xxxxu=+=+=12（0）0（0）0xx=22212（）（）1fffxtxtt+=+=+试写出使试写出使2012ftJudt=为最小的必要条件，其末端时间为最小的必要条件，其末端时间ft是可变的。
是可变的。
解：
解：
12fxxu+=22212（x（）,）（）（）1fffffgttxtxtt=+=+211221（x,u,）（）2Htuxxu=+=+系统方系统方程：
程：
1122xxxxu=+=+=伴随方程：
伴随方程：
1121xH=控制方程：
控制方程：
20uHu=横截条件：
横截条件：
1122（x（）,）g（x（）,）（x（）,）（）0x（）x（）x（）（）2（）（）2（）Tffffffffffffffttttgtttttttxttxt=+=+=+=+=H在最优轨线末端满足：
在最优轨线末端满足：
21122（x（）,）g（x（）,）（x（）,）（）（）（）1（）（）（）（）（）（）2（）02fffffffffffffTfffffffttttgttHttttttuttxtxttuttt=+=+=5边界条件：
边界条件：
12（0）0（0）0xx=22212（）（）1fffxtxtt+=+=+4已知受控系统已知受控系统,（0）1xux=，试求，试求（）ut和和tf，使系统在，使系统在tf时刻转移到坐时刻转移到坐标原点标原点（）0fxt=，且，且使使220ftfJtudt=+=+为最小。
为最小。
解：
解：
终点时间未定，终点状态固定，起点固定。
终点时间未定，终点状态固定，起点固定。
f=u，2（x,u,）Htuu=+=+使使J最小的必要条件：
最小的必要条件：
系统方程：
系统方程：
xu=伴随方程：
伴随方程：
0xH=控制方程：
控制方程：
020uHu=+=+=H在最优轨线末端满足：
在最优轨线末端满足：
*2*（x（）,）（）（）（）（）2ffffffffttHtuttuttt=+=+=边界条件：
边界条件：
x（0）=1x（tf）=0解得：
解得：
33123122122fcctu=65已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为122xxxu=12（0）1（0）1xx=求最优控制求最优控制（）ut，使，使a）120Judt=，12
（1）
（1）0xx=b）120Judt=，1
（1）0x=c）20ftJudt=，21（）（）fffxtctt=d）20ftJudt=，21（）（）fffxtctt=，2（）0fxt=e）1220Jxudt=+=+为最小。
为最小。
注：
注：
其中其中a）,b）求最优解，求最优解，c）,d）,e）只需写出必要条件。
只需写出必要条件。
解：
解：
2fxu=，a.120Judt=，12
（1）
（1）0xx=两端固定两端固定，使使J最小的必要条件：
最小的必要条件：
2122（x,u,）（x,u,）（）f（x,u,）THtLtttHuxu=+=+=+=+系统方程：
系统方程：
122xxxu=伴随方程：
伴随方程：
1210xH=控制方程：
控制方程：
2020uHu=+=+=7边界条件：
边界条件：
12（0）1（0）1xx=12
（1）
（1）0xx=解得：
解得：
u*（t）=18t-10b.120Judt=，1
（1）0x=起点固定，终点时间固定，终点状态等式约束。
起点固定，终点时间固定，终点状态等式约束。
1（x（）,）
（1）0ffgttx=2122（x,u,）（x,u,）（）f（x,u,）THtLtttHuxu=+=+=+=+使使J最小的必最小的必要条件：
要条件：
系统方程：
系统方程：
122xxxu=伴随方程：
伴随方程：
1210xH=控制方程：
控制方程：
2020uHu=+=+=横截条件：
横截条件：
12（x（）,）g（x（）,）（x（）,）（）0x（）x（）x（）
（1）
（1）0Tffffffffffttttgtttttt=+=+=+=+=边界条件：
边界条件：
12（0）1（0）1xx=1
（1）0x=解得：
解得：
u*（t）=6t-600x（）xx（）xfftt=8c.20ftJudt=，21（）（）fffxtctt=起点固定，终点时间不定，终点状态等式约束。
起点固定，终点时间不定，终点状态等式约束。
21（x（）,）（）0ffffgttxtt=+=+=2122（x,u,）（x,u,）（）f（x,u,）THtLtttHuxu=+=+=+=+状态方程：
状态方程：
122xxxu=伴随方程伴随方程：
111212210xcHctc=+=+=横截条件：
横截条件：
12（x（）,）g（x（）,）（x（）,）（）（）0（）x（）x（）x（）（）（）（）0Tfffffffffffffffttttgttttttttttt=+=+=+=+=边界条件：
边界条件：
12（0）1（0）1xx=21（）0ffxtt+=+=控制方程：
控制方程：
2020uHu=+=+=H在最优轨线末端满足：
在最优轨线末端满足：
2122（x（）,）g（x（）,）（）（）（）（）（）（）（）（）20ffffTfffffffffffttttHttttuttxttuttt=+=+=解得：
解得：
911212321122212（）（）11（）112411（）142tctctcxtctcttxtctct=+=+=+=+=+=+tf=2.3c1=1.623c2=3.733d.20ftJudt=，21（）（）fffxtctt=，2（）0fxt=解：
解：
起点固定，终点时间起点固定，终点时间不定不定，终端状态等式约束，终端状态等式约束21122（x（）,）（）g（x（）,）0（x（）,）（）fffffffffgttxttttgttxt+=2122（x,u,）（x,u,）（）f（x,u,）THtLtttHuxu=+=+=+=+状态方程：
状态方程：
122xxxu=伴随方程伴随方程：
111212210xcHctc=+=+=横截条件：
横截条件：
121122（x（）,）g（x（）,）g（x（）,）（）（）0（）x（）x（）x（）（）g（x（）,）I（）（）x（）（）（）（）（）TTffffffffffffTfffffffffftttttttttttttttttttttt=+=+=+=+=边界条件：
边界条件：
12（0）1（0）1xx=212（）（）0fffxttxt=10H在最优轨线末端满足：
在最优轨线末端满足：
2122（x（）,）g（x（）,）（）（）（）（）（）（）（）（）20ffffTfffffffffffttttHttttuttxttuttt=+=+=控制方程：
控制方程：
2020uHu=+=+=e.1220Jxudt=+=+为最小。
为最小。
解：
解：
起点固定，终点时间固定，终点状态自由起点固定，终点时间固定，终点状态自由1122222120022212（）（x,）JxudtxxudtLutxxu=+=+=+=+=+=+22212122（x,u,）（x,u,）（）f（x,u,）THtLtttHxxuxu=+=+=+=+状态方程：
状态方程：
122xxxu=伴随方程伴随方程：
112212x2xHx=横截条件横截条件：
12（x（）,）
（1）（）00
（1）x（）fffftttt=边界条件：
边界条件：
12（0）1（0）1xx=控制方程：
控制方程：
2020uHu=+=+=11上述方程可写为齐次微分方程：
上述方程可写为齐次微分方程：
111222111222（0）01001（0）0000.51（0）20000（0）02100xxxxxx=12最小值原理习题最小值原理习题1设受控系统为设受控系统为12xx=，23xx=，3xu=，试写出在约束，试写出在约束（）1ut条件下，条件下，系统由初始条件系统由初始条件123（0）（0）（0）0xxx=转移到目标集：
转移到目标集：
21（）ffxtt=，223（）（）ffxtxt=，且使性能指标，且使性能指标220（）ftffJtxtudt=+=+为最小的必要条件，为最小的必要条件，其中其中ft未定。
未定。
解：
起点固定，终点时间不定，终点状态等式约束。
解：
起点固定，终点时间不定，终点状态等式约束。
（除极值条件外，其余同除极值条件外，其余同无闭集约束）无闭集约束）2112223（x（）,）（）g（x（）,）0（x（）,）（）（）ffffffffffgttxttttgttxtxt=2（x（）,）（）fffftttxt=，2（x（）,u（）,）Ltttu=23f（x（）,u（）,）（）（）（）Ttttxtxtut=212233（x,u,）（x,u,）（）f（x,u,）（）（）（）（）（）（）（）THt
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