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在评选各类先进人物的时候，经常涉及投票的问题。

一般各单位人员均倾向于本单位，领导也有一定的倾向性。

但领导的倾向性跟一般成员有差异：

当指标较少的时候，首先倾向于本单位，当指标相对多的时候，为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员。

当候选人条件完全相同的时候，这种

倾向性就显得更重要。

1、在某次评优中，该部门总共有3个指标。

负责人让每个单位推荐3位候选人然后从这15个人中通过投票选出3人。

投票人在票上本人同意的人名下书写数字1，2，3，表明支持这三个人，1优先，2次之，3最后，其余不填。

最后清点15个候选人所得数字之和，数字之和最小的两个候选人当选。

假定每位候选人条件相同，估计这两个指标很大可能落入哪些单位？

2、建立数学模型评价1的评优方式。

3、该部门为了体现公平，要求每位投票者只能填写1个本单位人员，2位其它单位人员。

按照这种办法再估计一下选举结果。

这种办法是否提高了平性。

4．为了获得更大的希望，某个单位只推举2位候选人，你认为这种做法是否真的有利，能否对结果产生影响。

只考虑

（1）单位甲推举2人，其它4个单位推举3人；

（2）单位丙推举2人，其它4个单位推举3人。

5．试给出一个比较公正合理的选举办法。

二、模型的假设

1．假设每个候选人的条件一样。

2．某单位人员对其他单位候选人的投票或评分采取公正态度。

3．当评优指标有三个时，属于指标相对多的情况，无论本单位有多少候选人，领导都会将剩下两票投向其他单位。

4．假设投向其他单位的票将平均分流到其他单位的每个候选人。

5．每个单位推选的候选人已经确定，且每个候选人情况相同。

6．各部门普通职员不参与投票，仅有领导参与投票。

7．在有条件投票方式下，领导必然将优先票投给本单位候选人，次优票投其他单位，且随机。

8．投票是只涉及单位倾向，不考虑情感等方面的倾向；

三、符号的说明

：

某单位获得的票数总和，x为甲、乙、丙、丁、戊

某单位获得的优先票的票数总和，x为甲、乙、丙、丁、戊

某单位人员投给自己单位候选人次之票的总和

某单位人员投给自己单位候选人最后票的总和

某单位获得的次之票的票数总和，x为甲、乙、丙、丁、戊

某单位获得的最后票的票数总和，x为甲、乙、丙、丁、戊

某单位领导平均投给其他单位的票数，x为甲、乙、丙、丁、戊

某单位的得数总和，x为甲、乙、丙、丁、戊

该部门员工和领导的总数

候选名额的个数

第

个单位的员工和领导人数

四、问题的分析

针对问题一，在该题中，每个单位推举3个候选人，从领导、包括选候选人本人在内的单位职员两个角度对这15个人进行投票，选取数字和最小的那3个人则候选人当选。

先假设若某人未被投票人选举的人话，则用数字4来计。

对于该单位的领导而言，由于选取的指标比较小，他们会选择自己单位和选取其他单位参选人的比例是3：

0和2：

1，假设领导选择倾向一（3:

0）的概率为

，倾向二（2:

1）的概率为

；

而该单位职员和本人，则会选取本单位的候选人。

利用matlab从这两方面的角度进行统计数据，代数和为候选人的得分情况，得分越小则越有可能当选。

对于问题二，对于某一个候选人，领导和职员所给出的投票的分数是不一样的，由于该单位的领导和职员对于该候选人是有一定得倾向性，平均值是不能够正确的反映出该候选人的公平性，因此，对于问题一得投票方案公平性的评价，可以通过对所有领导和职员所给分数的标准差来进行描述。

关于问题三，在问题一、问题二的基础上，对问题三中的投票方案进行估计，同样是采用计算机随机模拟的方案，要求每位投票者只能填写1个本单位人员，2位其它单位人员。

利用问题二的评价模型，对该种投票方案判断公平性是否有所提高。

针对问题四，在问题四中，改变了推举候选人的方式，要么是单位甲推举2人，其它4个单位推举3人；

要么是单位丙推举2人，其它4个单位推举3人，利用MATLAB随机模拟统计出3000次，统计出15位候选人在这两种投票选举下的候选人的得分情况，在这3000次模拟中对这5个单位的候选人获选的次数所占的比例进行统计，若比值越高，那么该部门的候选人能够获选的概率也就越大，对该部门也就会越有利。

至于问题五，在该问题中我们列出数学模型来评价评优方式是否合理，假设该单位700个人任何条件相同，则他们本该每个人的得票数相同，我们不妨求出得票数的平均数P，求出标准偏差X，假设每个候选人的条件完全相同情况下，公正合理度A与与标准偏差X,成反比例关系；

五、模型的建立与求解

5.1问题一

在该问题中，该部门有三个指标，而每个单位有三个候选人，属于指标相对较多的情况，对于一般单位人员来说，他们均倾向于本单位候选人，因此他们将都投向本单位候选人，而领导则会将第一票（优先）投向本单位候选人，将第二票（次之）投给其他单位候选人，将第三票（最后）投给其他单位候选人，将每个单位的三个候选人看做一个整体，则该单位所得票数为：

当中；

假设，领导投给其他部门票是等可能的（次之和最后票），那么我们可以将领导的票取平均值作为流出票数，有：

某单位获得的数字总和；

根据“当候选人条件完全相同的时候”条件，假设同单位候选人得票情况相同，即认为候选人所得数子之和为

，因此有下表：

甲

乙

丙

丁

戊

优先票

175

145

135

125

120

次之票

170

143.75

127.5

123.75

最后票

总共得票

1025

863.75

810

762.5

738.75

每个人得票

341.67

287.92

270

254.17

246.25

从表上可以很清晰地看出，对于同一个部门，他们的得分情况是差不多的。

A部门的三个候选人是很有可能获得成功的。

其实从题目中给的表格就可以看出，由于部门A的领导人员较多，该部门的职员也相对较多，候选人能够获得成功的几率也相对较大。

因此，对于该问题所建立的投票标准，是不公平的，对于公平性的考察，模型二进行了分析。

5.2问题二

在该问题中我们列出数学模型来评价一得评优方式是否合理，假设该单位700个人任何条件相同，则他们本该每个人的得票数相同，我们不妨求出得票数的平均数P，求出标准偏差X，假设每个候选人的条件完全相同情况下，公正合理度A与与标准偏差X,成反比例关系；

在考虑X可能为0和模型灵敏度太高的情况下，对X取自然对数处理，

即：

A越大，其公正合理度越大。

假设X标准偏差为零，则其合理度为100%，我们不妨对其第一问求其平均数280，在求其标准差32.47。

则公正合理度为30%。

对于其满意度可以理解对于其公正度的结果表示其选举投票基本不满意。

由此可以看出，该评分方案对15个候选人不公平，则需要进行调整。

5．3问题三

在该问题中，每单位人员只能投一票给自己单位的候选人，那么根据倾向性原则，每单位人员的优先票将投给自己单位候选人，而次之票将投给其他单位候选人，那么依然将各单位三个候选人看做一个整体，所得总票数为：

假设次之票和最后票投给其他四个单位是等可能事件，则取其平均值作为流出票数，那么有：

131.25

138.75

141.25

143.25

831.25

838.75

841.25

842.25

845

每个人的票

277.08

279.58

280.42

280.75

281.67

考虑问题三是否提高公平性我们利用一二根据平均数，标准偏差，及利用最小二乘法可以判断；

从上面的表可以看出，在这15个候选人中仍然是甲单位的三个候选人的得分相对较低，但是后面12个候选人相对于模型一中他们的得分与甲的得分情况的绝对值是有所减小。

那么该种投票方式是越接近公平的，在问题一的投票方式上，问题三的选举投票方式有所提高。

5.4问题四

在各单位只推举2名候选人的情况下，与问题二情况相似，即竞争选票平均分给二个人，其结果为：

415.63

419.38

420.63

421.13

422.5

在

（1）中，甲单位只推选2名，而其他单位共推选3名，在不考虑其他因素的条件下，倾向性原则会使得有候选人的单位人员的选票优先投在本单位，而甲单位会有流出票数，单位的领导也会因为考虑为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员，也会成为流出票数。

所获总分数依然可以表示为：

假设，流出票数是平均分配到其余每个候选人。

利用问题二考虑考虑第一票投给本单位，其它平均给每个候选人，

则；

95.46

147.39

150.12

152.85

154.21

652.3

881.95

885.6

889.25

890.05

326.15

293.98

295.2

296.42

297.02

从表上可以看出，改变了候选人的推举方式，使得甲单位的两个候选人能够获选的概率增大，而其他四个单位的候选人员，只有乙单位的候选人获选的几率有所提高，对于其余三个单位，获选几率没什么改变。

总体而言，改变推举方式，只是在一定程度是增加了乙的获选几率，巩固了甲单位获选成功的几率，对于这五家候选人单位，整体而言，并没有什么提高，对于公平性的提高没有大的影响。

在

（2）中，丙单位只推选2名，而其他单位共推选3名，在不考虑其他因素的条件下，倾向性原则会使得有候选人的单位人员的选票优先投在本单位，而甲单位会有流出票数，单位的领导也会因为考虑为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员，也会成为流出票数。

137.39

148.3

76.37

151.03

152.39

861.95

886.5

526.85

880.15

287.32

295.5

263.43

293.38

298.98

从表可知，甲单位的一个候选人和丙单位的一位候选人当选，丙单位获选的几率也得到了几十个百分点的提高，由此可以说明，适当的调整每个单位候选人的人数，对于该单位当选的几率有一定的提高，因此，在候选人条件同等的情况下，需要合理分配每个单位的候选人数，才能保证其得分的合理性、公平性。

5.5问题五

5.5.1候选指标的分配

由于每个单位员工人数和领导人数不一样，如果每个单位分得的候选人的指标相等，势必会造成各个单位候选人所代表的人数不同，而每个单位的员工一般都会选自己单位的候选人，那么，人数多的单位的候选人被选上的概率势必比人数少的单位的候选人被选上的概率要高，就会造成选举的不公平。

假设候选人的条件完全相同，则最公平的名额分配制度是使得每位候选人的得分期望（或者说是被选上的概率）相同，但是绝对公平的名额分配制度是不存在的，于是我们采用一种既简单又相对比较公平合理的候选人名额分配制度：

按照比例分配。

设该部门员工和领导的总数为

，候选名额的个数为

，第

个单位的员工和领导人数为

个单位分配到的候选名额为

则

（5-1）

我们采用问题一给的候选总名额数来计算，即

，又由题目给出的已知条件，可以知道

。

于是可以计算出每个单位按比例分配到的候选人数，如下表所示：

表6按比例分配表

按比例分配再取整后会出现3个候选名额没有被分配，于是我们采用Q值法来分配这三个名额。

Q值法的基本思想是：

，已占有

个候选席位，

，当总的候选指标增加一个时，计算

（5-2）

应将这一个候选指标分配给Q值最大的一方。

我们运用Q值法来分配第13、14和第15个候选指标：

第13个候选指标：

计算

，

最大，于是这一个候选指标应该分给丙单位。

第14个候选指标：

最大，于是这一个候选指标应该分配给甲单位。

第15个候选指标：

最大，于是这一个候选指标应该分配给丁单位。

这样，15个候选指标分配的结果如下表所示：

表715个候选指标分配表

单位

总和

候选指标

4

3

2

15

5.5.2投票方式的确定

确定了候选名额分配后，我们来确定投票方式：

在日常生活中，最普遍的投票方式是有多少个名额，选民就投多少票，即“一人多票”制。

那么，按照这种思想，在本题中，每位领导或员工投能投三票。

那么，要不要对这三票进行一定的限制，来保证选举的公平性，通过对问题一和问题三的比较分析，可以知道，如果对投票进行一定的限制，公平性会相应的提高。

如是我们采用问题三的投票方法：

要求每位投票者只能填写1个本单位人员，2位其它单位人员。

5.5.3计票方式的确定

分析问题一和问题三的投票方式，我们发现一个问题，如果按照他所给的计票方式，也就是：

投票人在票上本人同意的人名下书写数字1，2，3，表明支持这三个人，1优先，2次之，3最后，不填的记4，最后清点15个候选人所得数字之和，数字之和最小的三个候选人当选。

那么领导占员工的比例很小，在投票表决的过程中，起到的作用微乎其微，这在实际投票的过程中是不可能的，于是我们考虑增大领导投票的权重，按比例我们将领导的权重提高12倍，也就是领导的一票相当于12票。

于是我们确定了一种新的选举方式：

甲单位推荐4个候选人，乙丙丁分别推荐3个，戊推荐2个，要求每位投票者只能填写1个本单位人员，2位其它单位人员，投票人在票上本人同意的人名下书写数字1，2，3，表明支持这三个人，1优先，2次之，3最后，不填的记4，在计分的时候，领导的一分记12分。

5.5.4模型检验

通过计算机模拟3000次，计算出每位候选人的得分期望，如下表所示：

表8每位候选人得分期望表

由上表可得出，采用这种选举方式，每位候选人的得分期望相差不大，公平度也大大提高了。

因此，这种选举方式是比较公平合理的。

六．模型的评价

6.1模型的优点

（1）对于问题一、三我们都是采用计算机随机模拟的方式，进行上千次的模拟投票，该种模型的方法简单，思路明了，易于求解和分析结果，而且整个思维方式要比概率方法直观。

（2）对于问题二，建立的评价模型，公平度的定义，分别求出各个候选人员得

到分数的方差，然后对这15个方差再求出方差，即为公平度，值越小，则

表明该种投票方式越公平，这种公平度的评价方式，很合理，而且符合投

票选举模型。

（3）针对问题四，利用Q值法根据该单位领导和员工的人数来确定每个部门应分得的候选人数，合理、公平，这样即使每个部门的投票人员具有一定的倾向性，但是其结果相对于15个候选人都是公平的。

6.2模型的缺点

（1）在我们所建立的模型中，并没有用概率的方法来解决这个选举投票问题，主要是利用计算机仿真的思想来模拟题中给出的投票方式，没有从实际出发，去进行上千次的实际投票，缺乏一定的实践性。

（2）由于选举的问题很复杂，必须考虑到人与人之间的各种关系，为了使建模方便一些，我们这里只是列出来了几个重要的影响因素，忽略了很多其它次要的因素。

（3）在考虑领导与群众的投票权重的时候，是通过题目中的表格以及自己结合实际经历所确定的，存在一定得主观性，这只是个理想化的思维方法，实用程度不高。

七、模型的改进与推广

7.1模型的改进

（1）对于缺点一，如果时间允许，我们可以通过进行一次模拟选举，或者是从某次的全国人民代表大会的投票过程中，获得相关的数据，这样的结果，才会更加的贴近实际，更能够符合一般的投票选举模型。

（2）对于缺点二，在进行模型建立的时候，为了简便运算结果，我们考虑领导和员工投票的所占的权重是一样的，但是针对不同的投票阶段，领导所占得权重都是不一样的，具体情况仍需要具体考虑。

（3）由于在投票过程中，涉及到的人际关系是很复杂的，而且对于剩余的两票，究竟投给哪位候选人，在该位投票人心中，会产生博弈，但是对于五个人的博弈，用囚犯问题，是没办法解决的。

7.2模型的推广

计算机随机模拟的方法，可以适用于数据较大的且有很多的因素都是没办法进行考虑的，而且无法从相关的单位或机构收集到投票的数据。

公平度的确定，可以应用于教师教学方案的评价，该期末考试试题是否合理等等。

八、参考文献

杨启帆等，数学建模竞赛，浙江：

浙江大学出版社，2005年。

朱道元，数学建模案列精选，北京：

科学出版社，2003年。

[3]苏金明，王永利，MATLAB7.0使用指南，北京：

电子工业出版社，2004。