动能定理及应用Word文件下载.docx
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C.公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>
0时动能增加，当W<
0时，动能减少
D.动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功
答案 BC
自测2
关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是（ ）
A.合外力为零，则合外力做功一定为零
B.合外力做功为零，则合外力一定为零
C.合外力做功越多，则动能一定越大
D.动能不变，则物体所受合外力一定为零
答案 A
命题点一 对动能定理的理解
1.动能定理表明了“三个关系”
（1）数量关系：
合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做的功.
（2）因果关系：
合外力做功是引起物体动能变化的原因.
（3）量纲关系：
单位相同，国际单位都是焦耳.
2.标量性
动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题.当然动能定理也就不存在分量的表达式.
例1
（多选）如图2所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离.在此过程中（ ）
图2
A.外力F做的功等于A和B动能的增量
B.B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量
C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D.外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
答案 BD
解析 A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B正确.A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B相对地的位移不相等，故二者做功不相等，C错误.对B应用动能定理WF－Wf＝ΔEkB，WF＝ΔEkB＋Wf，即外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D正确.根据功能关系可知，外力F做的功等于A和B动能的增量与产生的内能之和，故A错误.
变式1
（多选）质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则（ ）
A.第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B.第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
答案 AB
命题点二 动能定理的基本应用
1.应用流程
2.注意事项
（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
（2）应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系.
（3）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；
也可以全过程应用动能定理.
（4）列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验.
例2
（多选）（2016·
全国卷Ⅲ·
20）如图3所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；
在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则（ ）
图3
A.a＝
B.a＝
C.N＝
D.N＝
答案 AC
解析 质点P下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得mgR－W＝
mv2，根据公式a＝
，联立可得a＝
，A正确，B错误；
在最低点重力和支持力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律可得，N－mg＝ma，代入可得，N＝
，C正确，D错误.
例3
（2017·
上海单科·
19）如图4所示，与水平面夹角θ＝37°
的斜面和半径R＝0.4m的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内.滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零.已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝0.25.（g取10m/s2，sin37°
＝0.6，cos37°
＝0.8）求：
图4
（1）滑块在C点的速度大小vC；
（2）滑块在B点的速度大小vB；
（3）A、B两点间的高度差h.
答案
（1）2m/s
（2）4.29m/s （3）1.38m
解析
（1）对C点，滑块竖直方向所受合力提供向心力
mg＝
vC＝
＝2m/s
（2）对B→C过程，由动能定理得－mgR（1＋cos37°
）＝
mvC2－
mvB2
vB＝
≈4.29m/s
（3）滑块在A→B的过程，由动能定理得mgh－μmgcos37°
·
＝
mvB2－0
代入数据解得h≈1.38m
变式2
（2016·
天津理综·
10）我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一.如图5所示，质量m＝60kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24m/s，A与B的竖直高度差H＝48m，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧.助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530J，取g＝10m/s2.
图5
（1）求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
（2）若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大.
答案
（1）144N
（2）12.5m
解析
（1）运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有vB2＝2ax①
由牛顿第二定律有mg
－Ff＝ma②
联立①②式，代入数据解得Ff＝144N③
（2）设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理得
mgh＋W＝
mvB2④
设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有FN－mg＝m
⑤
由题意和牛顿第三定律知FN＝6mg⑥
联立④⑤⑥式，代入数据解得R＝12.5m.
命题点三 动能定理与图象问题的结合
1.解决物理图象问题的基本步骤
（1）观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义.
（2）根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.
（3）将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量.
2.图象所围“面积”的意义
（1）v－t图象：
由公式x＝vt可知，v－t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移.
（2）a－t图象：
由公式Δv＝at可知，a－t图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量.
（3）F－x图象：
由公式W＝Fx可知，F－x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.
（4）P－t图象：
由公式W＝Pt可知，P－t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.
例4
如图6甲所示，在倾角为30°
的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4m.有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用.F只在水平面上按图乙所示的规律变化.滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10m/s2，试求：
图6
（1）滑块运动到A处的速度大小；
（2）不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？
答案
（1）5
m/s
（2）5m
解析
（1）由题图乙知，在前2m内，F1＝2mg，做正功，在第3m内，F2＝－0.5mg，做负功，在第4m内，F3＝0.滑动摩擦力Ff＝－μmg＝－0.25mg，始终做负功，对于滑块在OA上运动的全过程，由动能定理得
F1x1＋F2x2＋Ffx＝
mvA2－0
代入数据，解得vA＝5
m/s.
（2）对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得－mgLsin30°
＝0－
mvA2
解得L＝5m
所以滑块冲上斜面AB的长度L＝5m.
变式3
（多选）质量为m的物体放在水平面上，它与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.用水平力拉物体，运动一段时间后撤去此力，最终物体停止运动.物体运动的v－t图象如图7所示.下列说法正确的是（ ）
图7
A.水平拉力大小为F＝m
B.物体在3t0时间内位移大小为
v0t0
C.在0～3t0时间内水平拉力做的功为
D.在0～3t0时间内物体克服摩擦力做功的平均功率为
μmgv0
解析 根据v－t图象和牛顿第二定律可知F－μmg＝m
，故选项A错误；
由v－t图象与坐标轴所围面积可知，在3t0时间内的位移为x＝
3t0·
v0＝
v0t0，所以选项B正确；
由动能定理可知W－μmgx＝0，故水平拉力做的功W＝
μmgv0t0，又Ff＝μmg＝
，则W＝
mv02，选项C错误；
0～3t0时间内克服摩擦力做功的平均功率为
μmgv0，所以选项D正确.
变式4
（2018·
湖北黄石调研）用传感器研究质量为2kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6s内物体的加速度随时间变化的关系如图8所示.下列说法正确的是（ ）
图8
A.0～6s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B.0～6s内物体在4s时的速度最大
C.物体在2～4s时的速度不变
D.0～4s内合力对物体做的功等于0～6s内合力对物体做的功
答案 D
解析 物体6s末的速度v6＝
×
（2＋5）×
2m/s－
1×
2m/s＝6m/s，则0～6s内物体一直向正方向运动，A项错误；
由题图可知物体在5s末速度最大，为vm＝
2m/s＝7m/s，B项错误；
由题图可知物体在2～4s内加速度不变，做匀加速直线运动，速度变大，C项错误；
在0～4s内合力对物体做的功由动能定理可知：
W合4＝
mv42－0，
又v4＝
（2＋4）×
2m/s＝6m/s，得W合4＝36J，
0～6s内合力对物体做的功由动能定理可知：
W合6＝
mv62－0，又v6＝6m/s，得W合6＝36J.
则W合4＝W合6，D项正确.
命题点四 动能定理在多过程问题中的应用
例5
河北唐山模拟）如图9所示，装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度x＝5m，轨道CD足够长且倾角θ＝37°
，A、D两点离轨道BC的高度分别为h1＝4.30m、h2＝1.35m.现让质量为m的小滑块（可视为质点）自A点由静止释放.已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°
＝0.8.求：
图9
（1）小滑块第一次到达D点时的速度大小；
（2）小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔；
（3）小滑块最终停止的位置距B点的距离.
答案
（1）3m/s
（2）2s （3）1.4m
解析
（1）小滑块从A→B→C→D过程中：
由动能定理得mg（h1－h2）－μmgx＝
mvD2－0.
代入数据，解得vD＝3m/s.
（2）小滑块从A→B→C过程中：
由动能定理得mgh1－μmgx＝
mvC2.
代入数据，解得vC＝6m/s.
小滑块沿CD段上滑的加速度大小a＝gsinθ＝6m/s2.
小滑块沿CD段上滑到最高点的时间t1＝
＝1s.
由对称性可知小滑块从最高点滑回C点的时间t2＝t1＝1s.
故小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔t＝t1＋t2＝2s.
（3）设小滑块在水平轨道上运动的总路程为x总，对小滑块运动全过程应用动能定理.
有mgh1＝μmgx总.
代入数据，解得x总＝8.6m，故小滑块最终停止的位置距B点的距离为：
2x－x总＝1.4m.
变式5
（2015·
福建理综·
21）如图10所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点.一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g.
图10
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；
（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车.已知滑块质量m＝
，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s.
答案
（1）3mg，方向竖直向下
（2）①
②
L
解析
（1）滑块滑到B点时对小车压力最大，从A到B机械能守恒，则
mgR＝
滑块在B点处，由牛顿第二定律知
FN－mg＝m
解得FN＝3mg
由牛顿第三定律知
滑块对小车的压力FN′＝3mg，方向竖直向下.
（2）①滑块下滑到达B点时，小车速度最大.由机械能守恒得，
Mvm2＋
m（2vm）2
解得vm＝
②设滑块运动到C点时，小车速度大小为vC，
由功能关系知，mgR－μmgL＝
MvC2＋
m（2vC）2
设滑块从B运动到C过程中，小车运动的加速度大小为a，
由牛顿第二定律μmg＝Ma
由运动学规律vC2－vm2＝－2as
解得s＝
1.（多选）（2017·
山师大附中模拟）质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，直至停止，则（ ）
A.质量大的物体滑行的距离大
B.质量小的物体滑行的距离大
C.它们滑行的距离一样大
D.它们克服摩擦力所做的功一样多
解析 根据动能定理－μmg·
s＝0－Ek0，所以质量小的物体滑行的距离大，并且它们克服摩擦力所做的功在数值上都等于初动能的大小，B、D选项正确.
2.一个质量为25kg的小孩从高度为3.0m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0m/s.g取10m/s2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是（ ）
A.合外力做功50JB.阻力做功500J
C.重力做功500JD.支持力做功50J
3.（2016·
16）一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍.该质点的加速度为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 动能变为原来的9倍，则质点的速度变为原来的3倍，即v＝3v0，由s＝
（v0＋v）t和a＝
得a＝
，故A项正确.
4.在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时的速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于（ ）
A.mgh－
B.－
mv02－mgh
C.mgh＋
mv02－
mv2
D.mgh＋
答案 C
解析 对物块从h高处竖直上抛到落地的过程，根据动能定理可得mgh－Wf＝
mv02，解得Wf＝mgh＋
mv2，选项C正确.
5.静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动，t＝4s时停下，其v－t图象如图1所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是（ ）
A.整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B.整个过程中拉力做的功等于零
C.t＝2s时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大
D.t＝1s到t＝3s这段时间内拉力不做功
6.（多选）质量为1kg的物体静止在水平粗糙的地面上，在一水平外力F的作用下运动，如图2甲所示，外力F对物体所做的功、物体克服摩擦力Ff做的功W与物体位移x的关系如图乙所示，重力加速度g取10m/s2.下列分析正确的是（ ）
A.物体与地面之间的动摩擦因数为0.2
B.物体运动的位移为13m
C.物体在前3m运动过程中的加速度为3m/s2
D.x＝9m时，物体的速度为3
m/s
答案 ACD
解析 由Wf＝Ffx对应题图乙可知，物体与地面之间的滑动摩擦力Ff＝2N，由Ff＝μmg可得μ＝0.2，A正确；
由WF＝Fx对应题图乙可知，前3m内，拉力F1＝5N，物体在前3m内的加速度a1＝
＝3m/s2，C正确；
由动能定理得：
WF－Ffx＝
mv2，可得：
x＝9m时，物体的速度为v＝3
m/s，D正确；
物体的最大位移xm＝
＝13.5m，B错误.
7.（多选）质量为2kg的物体，放在动摩擦因数μ＝0.1的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图3所示，重力加速度g取10m/s2，则此物体（ ）
A.在位移x＝9m时的速度是3
B.在位移x＝9m时的速度是3m/s
C.在OA段运动的加速度是2.5m/s2
D.在OA段运动的加速度是1.5m/s2
8.（多选）（2018·
河南安阳质检）一质量为2kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图4中给出了拉力随位移变化的关系图象.已知重力加速度g取10m/s2，由此可知（ ）
A.物体与水平面间的动摩擦因数为0.35
B.减速过程中拉力对物体所做的功约为12J
C.匀速运动时的速度约为6m/s
D.减速运动的时间约为1.7s
答案 ABC
9.（多选）如图5所示，竖直平面内有一个半径为R的半圆形轨道OQP，其中Q是半圆形轨道的中点，半圆形轨道与水平轨道OE在O点相切，质量为m的小球沿水平轨道运动，通过O点后进入半圆形轨道，恰好能够通过最高点P，然后落到水平轨道上，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（g为重力加速度）（ ）
A.小球落地时的动能为
mgR
B.小球落地点离O点的距离为2R
C.小球运动到半圆形轨道最高点P时，向心力恰好为零
D.小球到达Q点的速度大小为
答案 ABD
10.（多选）太阳能汽车是靠太阳能来驱动的汽车.当太阳光照射到汽车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动汽车前进.设汽车在平直的公路上由静止开始匀加速行驶，经过时间t，速度为v时达到额定功率，并保持不变.之后汽车又继续前进了距离s，达到最大速度vmax.设汽车质量为m，运动过程中所受阻力恒为Ff，则下列说法正确的是（ ）
A.汽车的额定功率为Ffvmax
B.汽车匀加速运动过程中，克服阻力做功为Ffvt
C.汽车从静止开始到速度达到最大值的过程中，克服摩擦力所做的功为
mvmax2－
D.汽车从静止开始到速度达到最大值的过程中，合力所做的功为
mvmax2
答案 AD
11.（2017·
全国卷Ⅱ·
24）为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线相距s0和s1（s1<
s0）处分别设置一个挡板和一面小旗，如图6所示.训练时，让运动员和冰球都位于起跑线上，教练员将冰球以速度v0击出，使冰球在冰面上沿垂直于起跑线的方向滑向挡板；
冰球被击出的同时，运动员垂直于起跑线从静止出发滑向小旗.训练要求当冰球到达挡板时，运动员至少到达小旗处.假定运动员在滑行过程中做匀加速运动，冰球到达挡板时的速度为v1.重力加速度为g.求：
（1）冰球与冰面之间的动摩擦因数；
（2）满足训练要求的运动员的最小加速度.
答案
（1）
（2）
解析
（1）设冰球的质量为m，冰球与冰面之间的动摩擦因数为μ，由动能定理得
－μmgs0＝
mv
－
①
解得μ＝
②
（2）冰球到达挡板时，满足训练要求的运动员中，刚好到达小旗处的运动员的加速度最小.设这种情况下，冰球和运动员的加速度大小分别为a1和a2，所用的时间为t.由运动学公式得
v02－v12＝2a1s0③
v0－v1＝a1t④
s1＝
a2t2⑤
联立③④⑤式得
a2＝
⑥
12.如图7所示，装置ABCDE固定在水平地面上，AB段为倾角θ＝53°
的斜面，BC段为半径R＝2m的圆弧轨道，两者相切于B点，A点离地面的高度为H＝4m.一质量为m＝1kg的小球从A点由静止释放后沿着斜面AB下滑，当进入圆弧轨道BC时，由于BC段是用特殊材料制成的，导致小球在BC段运动的速率保持不变.最后，小球从最低点C水平抛出，落地速率为v＝7m/s.已知小球与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin53°
＝0.8，cos53°
＝0.6，不计空气阻力，求：
（1）小球从B点运动到C点克服阻力所做的功；
（2）B点到水平地面的高度；
（3）小球运动到C点时的速度大小.
答案
（1）8J
（2）2m （3）5m/s
解析
（1）设小球从B到C克服阻力做功为WBC，由动能定理mgR（1－cosθ）－WBC＝0.
代入数据解得WBC＝8J.
（2）设小球在AB段克服阻力做功为WAB，B点到地面高度为h，则
WAB＝μmg
cosθ，
而
.
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