应用弹塑性力学习题解答.doc
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应用弹塑性力学
习题解答
张宏编写
西北工业大学出版社
目录
第二章习题答案 1
第三章习题答案 5
第四章习题答案 9
第五章习题答案 25
第六章习题答案 36
第七章习题答案 48
第八章习题答案 53
第九章习题答案 56
第十章习题答案 58
第十一章习题答案 61
第二章习题答案
2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为
而应力矢量的三个分量满足关系
而法向分量满足关系最后结果为
2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。
最终的结果为
2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为
式中：
是三个应力不变量，并有公式
代入已知量得
为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系
代入数据得，，
2.9已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，
，特征方程变为
求出三个根，如记，则三个主应力为
记
2.10已知应力分量
，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，
，，，。
由此求得
然后求得，，解出
然后按大小次序排列得到
，，
2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，
，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系
（a）
（b）
（c）
由（a）,（b）式，得，，代入（c）式，得
，由此求得
对，，代入得
对，，代入得
对，，代入得
2.12当时，证明成立。
解
由，移项之得
证得
第三章习题答案
3.5取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：
由，可得，
由，得
3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：
首先求出点的位移梯度张量
将它分解成对称张量和反对称张量之和
转动矢量的分量为
，，
该点处微单元体的转动角度为
3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图3.1所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
解：
根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得
则主应变有
解得主应变，，。
由最大主应变可得
上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为
于是有，同理，可解得与轴的夹角为。
3.8物体内部一点的应变张量为
试求：
在方向上的正应变。
根据式，则方向的正应变为
3.9已知某轴对称问题的应变分量具有的形式，又设材料是不可压缩的，求应具有什么形式？
解：
对轴对称情况应有，这时应变和位移之间的关系为，，。
应变协调方程简化为，由不可压缩条件，可得
可积分求得，是任意函数，再代回，可得。
3.10已知应变分量有如下形式，，，
，，，由应变协调方程，试导出 应满足什么方程。
解：
由方程，得出必须满足双调和方程。
由，得出
由，得出
由此得，其它三个协调方程自动满足，故对没有限制。
第四章习题答案
4.3有一块宽为，高为的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力和作用，见题图4.1，如不计体力，试求薄板的位移。
题图4-1
解：
1.设置位移函数为
（1）
因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式中的、都取为零，显然，不论式
（1）中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。
2.计算形变势能。
为简便起见，只取、两个系数。
（2）
（3）
3.确定系数和，求出位移解答。
因为不计体力，且注意到，式4-14简化为
（4）
（5）
对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是，就是，故积分值为零。
在右边界上有
（6）
同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行，
（7）
将式（3）、式（6）、式（7）分别代入式（4）、式（5）可解出和：
，（8）
（9）
4．分析：
把式（8）代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式（8）所示位移为精确解答。
在一般情况下（这是一个特殊情况），在位移表达式中只取少数几个待定系数，是不可能得到精确解答的。
4.4设四边固定的矩形薄板，受有平行于板面的体力作用（），坐标轴如题图4.2所示。
求其应力分量。
题图4-2
解：
1．本题为平面应力问题，可用瑞兹法求解。
由题意知位移分量在边界上等于零，所以，所以式中的、都取为零，且将位移函数设置为如下形式：
（1）
把或代入上式，因为，或，所以，位移边界条件是满足的。
2．把式
（1）代入式（9-16），得薄板的变形势能为
（2）
3.确定系数和。
由于位移分量在边界上为零，所以，方程式4-14简化为
（3）
式
（2）代入式（3），得
（4）
由于，从式（4）的第一式得，由第二式得
当和取偶数时，和都为零，当和取奇数时，和都为2。
因此，当取偶数时，。
当取奇数时，
将和代入式
（1）得位移分量为
4．利用几何方程和物理方程，可求出应力分量（和取奇数）；
4.5有一矩形薄板，三边固定，一边上的位移给定为，见题图4.3，设位移分量为，
式中，为正整数，可以满足位移边界条件。
使用瑞兹法求维持上述边界位移而要在处所施加的面力。
题图4-3
解：
1.平面应力问题时的变形势能为式
其中
2．确定待定系数。
按题意三边固定（），一边只存在而面力待求。
所以，
（2）
将式
（1）代入式
（2），得
当体力分量为零时，，得
当时，，，所以，此时有
，而
3.位移和应力解答为
4.求上边界施加的面力（设），在处
4.6用伽辽金法求解上例。
解：
应用瑞兹法求解上例时，形变势能的计算工作量较大。
由于此问题并没有应力边界条件，故可认为上例题意所给的位移函数不但满足位移边界条件，而且也满足应力边界条件，因此，可以用伽辽金法计算。
对于本题，方程可以写成
将上题所给的表达式代入，积分后得
当体力不计时，，此时，而由下式确定：
当时，即，当时，上式成为
由此解出及位移分量如下：
求出的位移和应力分量，以及上边界的面力，都有上例用瑞兹法求得结果相同。
4.7铅直平面内的正方形薄板边上为，四边固定，见题图4.4，只受重力作用。
设，试取位移表达式为
用瑞兹法求解（在的表达式中，布置了因子和，因为按照问题的对称条件，应该是和的奇函数）。
题图4-4
解：
1位移表达式中仅取和项：
（1）
2由得变形势能为
（2）
其中
代入式
（2），得
（3）
3.确定系数和。
因板四周边界上位移为零（，面力未知），板的体力分量为，所以得
将式（3）代入式（4），得
（5）
注意，有以下对称性：
式（5）积分后成为式（6），由此可求得、和位移、应力分量：
（6）
（7）
（8）
（9）
4.8用伽辽金法求解上题。
解：
1位移表达式仍取上题式
（1），其两阶偏导数为
（1）
2.确定和。
因为，所以伽辽金方程简化为
（2）
将以及式
（1）代入
（2），得
由此解出和：
（3）
与瑞兹法求出结果一样，由此可见，用伽辽金法计算较为简单。
4.9悬臂梁自由端作用一集中力，梁的跨度为，见题图4.5，试用端兹法求梁的挠度。
题图4-5
解：
1.设梁的挠度曲线为
（1）
此函数满足固定端的位移边界条件：
，梁的总势能为
由得
，
代入式
（1）得挠度为式
（2），最大挠度为式（3）
（2）
（3）
4.10有一长度为的简支梁，在处受集中力作用，见题图4.6，试用瑞兹法和伽辽金法求梁中点的挠度。
题图4-6
解一：
用瑞兹法求解
设满足梁端部位移边界条件的挠度函数为
（1）
梁的变形能及总势能为
由得
（2）
以上级数的收敛性很好，取很少几项就能得到满意的近似解，如作用于中点（）时，跨中挠度为（只取一项）
这个解与材料力学的解（）相比，仅相差1.5%。
解二：
用伽辽金法求解
1.当对式
（1）求二阶导数后知，它满足，亦即满足支承处弯矩为零的静力边界条件，因此，可采用伽辽金求解。
将式
（1）代入伽辽金方程，注意到，且作用在处，可得
求出的挠度表达式与
（2）一致。
4.11图4.7所示的简支梁，梁上总荷重为，试用瑞兹法求最大挠度。
题图4-7
解：
设满足此梁两端位移边界条件的挠度为
（1）
则总势能为
，
代入式
（1）得
梁上总荷重为，因此有
4.12一端固定、另一端支承的梁，其跨度为，抗弯刚度为常数，弹簧系数为，承受分布荷载作用，见题图4.8。
试用位移变分方程（或最小势能原理），导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。
题图4-8
解：
用位移变分方程推导
1.梁内总应变能的改变为
2.外力总虚功为
3.由位移变分方程式得
（1）
对上式左端运用分部积分得
代入式
（1），经整理后得
（2）
由于变分的任意性，上述式子成立的条件为
（3）
（4）
（5）
4式（3）就是以挠度表示的平衡微分方程。
下面讨论边界条件
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