小学数学解题方法思路归纳6小学数学整数与分数文档格式.docx

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所以这样的六位数一个有9个，它们是：

120060、420060、720060、320064、620064、920064、220068、520068、820068.

例2一个41位的整数：

能被7整除，这个中间三角形所表示的数字是几？

由于7整除111111，因此7能整除555555和999999.根据10进制数的组成规律可得：

因为

能被7整除，所以55Δ99能被7整除。

又由于55Δ99的末三位是Δ99，末三位前面的数是55，它们的差是Δ44。

要使Δ44能被7整除，可以通过试算法得到三角形表示的数是6.

答，这个41位数的中间个数字是6.

问题21：

余数问题

在整数范围内，对于任意两个整数的除法（除数不为零），有时找不到整数商，也就是说除了整除概念以外，还有带余数的除法：

被除数＝除数×

商数＋余数，并且余数小于除数。

当余数不为零时，商叫做不完全商。

在带余数的除法中整除的性质有下面两条。

性质1.在带余数的除法里，如果被除数和除数能被同一个整数整除，那么余数也能被这个整数整除。

即：

如果a÷

b＝q（余r），并且d│a，d│b，那么d│r。

性质2.在带余数的除法里，如果除数和余数能被同一个整数整除，那么被除数也能被这个整数整除。

b＝q（余r），并且d│a，d│r，那么d│b。

我们在日常生活中，经常会遇到有关余数的问题。

如“2007年3月8日是星期四，3月29日是星期几？

”由于每星期是7天，8÷

7＝1……1，29÷

7＝4……1，8与29除以7的余数相同，就说明这两天同是星期几；

8日是星期四，29日也是星期四。

（1）同余的概念

在数学中我们说8与29对于模7同余，就是指两个数8与29，除以7所得的余数相同，记为：

8≡29（mod7），

我们给出同余的一般概念：

两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得的余数相同，就称a和b对于模m同余，记为：

a≡b（modm）。

注意，有时为了简单不引起混淆时，也可以称作a与b同余，只是没有把模m读出来。

在小学数学中，按能否被2整除可以把自然数分为两类：

偶数，奇数。

容易看到，所有的偶数是在模2下彼此同余，所有的奇数在模2下彼此同余。

也就是说，用模2把自然数分成两类，一类能被2整除（余数是零），另一类被2除余数是1。

偶数：

0、2、4、6、8、……，2k、……

奇数：

1、3、5、7、9、……，2k+1、……

如果用模4来将自然数分类，由于余数有0、1、2、3共四种，因而可分为四类：

余数是0的数：

0、4、8、12、16、……

余数是1的数：

1、5、9、13、17、……

余数是2的数：

2、6、10、14、18、……

余数是3的数：

3、7、11、15、19、……

同一行的两个数，被4除的余数相同，也就是说在模4下同余，如：

8≡16（mod4），5≡17（mod4），2≡14（mod4），7≡15（mod4），等等。

为了讨论问题简单，用模4来将自然数分类，按余数的情况分为四类：

[0]、[1]、[2]、[3]，叫做模4的剩余类。

如“[2]”表示除4余数是2的所有的自然数的集合。

如果把一年的365天（或366天）按星期日，星期一，星期二……星期六分为七类，那么对于每月的1日、8日、15日、22日、28日来说，1日是星期几，其它各日期也就是星期几。

（2）同余的性质

下面我们简单介绍一些同余的性质，这些知识的学习对于探索小学数学解题方法有指导作用。

性质1.（自反性）a≡a（modm）。

性质2.（对称性）如果a≡b（modm）,那么b≡a（modm）。

性质3.（传递性）如果a≡b（modm）,b≡c（modm）,那么a≡c（modm）。

性质4.如果a≡b（modm），c≡d（modm），那么

①（可加性）a＋c≡b＋d（modm）；

②（可减性）a－c≡b－c（modm）；

③（可乘性）ac≡bc（modm）。

性质5.（可乘方性）如果a≡b（modm），m为自然数，那么am≡bm（modm）。

以上各条性质与等式的性质十分相似，学习时要注意用类比的方法进行理解。

但是要把同余与等式的概念货物性质加以区别，不能把等式与同余式混淆。

这些性质的证明留给读者。

例1.求325×

415×

2007除以7除所得的余数。

如果先计算出325×

2007积以后，再用7去除，是可以求得余数的，但是比较麻烦。

可以把325，415，2007分别被7除求出余数，再用同余式性质将余数相乘即可容易得出原数被除的余数。

解：

由于：

325≡3（mod7），415≡2（mod7），2007≡5（mod7），利用同余式的可乘性，将三式相乘得：

325×

2007≡3×

2×

5（mod7）≡30（mod7）≡2（mod7）

答：

2007除以7所得的余数是2。

例2.有70个数排成一列，除了两端的两个数以外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和，这一列数最左边的几个数是这样的：

0、1、3、8、21、55、144、……，这一列数最右边的数除以6所得的余数是多少？

（《小学迎春杯数学竞赛指导讲座》下册，第6页。

表述方式有改动）

如果将这70个数都写出，再用6去除最右边的数是可以的，但工作量相当大。

问题中并没有要求算出最右边的那个数，只要求这个数除以6所得的余数是多少。

根据这70个数的排列规律：

“中间的一个数的3倍是它两边的数的和（两端的两个除外）”以及同余的性质，在模6的条件下，中间那个数的余数的3倍与两边两个数的余数和再除以6所得的余数应该相同。

因此，在模6下，这一列数：

0，1，3，8，21，55、144、……，除以6所得的余数也组成一列数：

0、1、3、2、3、1、0、……

再观察这列数，又可以看出它的排列规律：

中间的数的3倍与两边两个数的和在模6下同余。

因此，多写出几个数，进一步观察这列数的特点。

0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、3、2、3、……

可以看出前12个数为一组，一组一组的重复出现。

由于70个数里包含完整的5组，一共60个数，因此第70个数是第6组中的第10个数，这个数就是4，那么，这个数就是原来数列中最右边的数除以6所得的余数。

这一列数最右边的数除以6所得的余数是4。

例3一个奇数去除288和510所得的余数都是29，这个奇数是多少？

由于“被除数－余数=除数×

商”，因此（288－29）和（510－29）都是除数（要求的数）的倍数，因而也就是求（288－29）和（510－29）的公约数。

288－29=259510－29=481

481÷

259=1……222259÷

222=1……37222÷

37=6

所以（288－29）和（510－29）的最大公约数是37，并且是一个质数（奇数）。

这个奇数是37.

例4有1000个1组成一个千位数，这个千位数除以3，余数是多少？

从1位数开始寻找规律：

1÷

3=0……1

11÷

3=3……2

111÷

3=37……0

1111÷

3=370……1

11111÷

3=3703……2

111111÷

3=37037……0

1111111÷

3=370370……1

……………………

余数规律是1、2、0、1、2、0、……，因此按“位数”除以3求出余数，就可以求出这个千位数除以3得到的余数：

1000÷

3=333……1，所以这个千位数除以3得到的余数是1.

问题22：

分解质因数

如果整数a能被整数b（不等于零）整除，或b整除a，就说b是a的约数，a是b的倍数。

在小学数学解题中注意理解和掌握以下知识点：

零是任何非零自然数的倍数；

任何非零自然数都是零的约数；

任何整数都是1的倍数；

1是任何整数的约数；

一个非零自然数的约数的集合是一个有限集合；

一个非零自然数的倍数的集合是一个无限集合。

例1.已知三个质数的和是80，要使这三个质数的乘积最大，这三个质数分别是多少？

它们的乘积最大是多少？

由题目中的条件知道，这三个质数的和是80，是一个偶数，那么在这三个质数中必有一个是质偶数2。

因此，另外两个质数的和是78。

三个质数，其中一个质数是2已经确定，要考虑三个质数的乘积最大，就要考虑另两个质数的乘积要最大。

要考虑两个质数的乘积最大，就要考虑它们的差尽可能小。

经过试算，和为78的两个质数中，41和37它们的差最小。

所以这三个质数2、37、41的乘积应该最大，是：

37×

41＝3034

这三个质数分别是2、37、和41，它们的乘积最大是3034。

例3.在一间演播厅里装有100盏照明灯，依次编上号码：

1、2、3、4、5、…98、99、100，每一盏照明灯都装有一个拉线开关。

开始的时候，全部的照明灯都是关着的。

有100位同学依次进入演播厅，严格按规定拉照明灯的开关：

第1位同学进入演播厅，把编号是1的倍数的所有照明灯开关都拉了一下，也就是把所有的照明灯都打开了；

接着第2位同学进入演播厅，把编号是2的倍数的所有照明灯的开关都拉了一下，也就是把所有编号是偶数的照明灯又都关上了；

第3位同学进入演播厅，把编号是3的倍数的所有照明灯的开关都拉了一下；

等等。

如此下去，最后第100位同学进入演播厅，把编号是100的照明灯开关拉了一下。

这样做完以后，哪些编号的照明灯还是亮着的？

这个问题的文字叙述较长，有100盏照明，有100位同学依次按规定拉开关，变化比较复杂。

我们可以先从这100盏照明灯中选定一盏照明灯，考察这盏照明灯被拉的情况。

如，选定编号是50号的照明灯，进入演播厅拉动这盏照明灯的同学的编号，应该是50的约数，他们分别是第1、2、5、10、25、50号同学。

因此，这盏50号照明灯的开关被拉动了6次，是一个偶数，所以50号照明灯最后是不亮的。

由此可见，每盏照明灯的开关最终被拉动的次数，就是这盏照明灯编号的约数的个数。

从这个约数个数的奇偶性就可以知道这盏照明灯是亮着还是不亮。

所以，这个问题可以利用完全平方数和非完全平方数约数的个数的奇偶性来解决。

按照明灯的编号来思考解答：

由于非完全平方数的约数有偶数个，因此编号为非完全平方数的照明灯的开关被拉动了偶数次，这些照明灯最终都是不亮的。

由于完全平方数的约数有奇数个，因此编号为完全平方数的照明灯的开关被拉动了偶数次，这些照明灯最终都是亮着的。

这些照明灯的编号是：

1、4、9、16、25、36、49、64、81和100，有10盏照明灯是亮着的。

编号是1、4、9、16、25、36、49、64、81和100的照明灯是亮着的。

例4.筐里装有一些苹果，不多于500个。

如果每次2个、每次3个、每次4个、每次5个、每次6个地取出来，筐里都剩下1个苹果；

如果每次7个地取出，筐里苹果正好取完。

筐里原有苹果多少个？

从题目知道，筐里苹果的个数应该比2、3、4、5、6的公倍数多1；

同时由于“每次7个地取出，筐里苹果正好取完”，说明这个数还要能被7整除，苹果的个数比7个多。

先求出2、3、4、5、6的最小公倍数，再找出“比2、3、4、5、6的公倍数多1”的一些数，通过试算求筐里原有苹果多少个。

由于2、3、4、5、6的最小公倍数是

[2、3、4、5、6]＝60

因此，苹果个数在7个至500个之间，并且比2、3、4、5、6的公倍数多1的数有：

61、121、181、241、301、361、421、481。

经过试算，在这些数中能被7整除的数只有301。

所以，筐里原有苹果301个。

筐里原有苹果301个。

例5.把一块长54厘米，宽30厘米的铁皮，裁剪成同样大小的正方形铁片，并且没有剩余，能裁剪成的最大正方形边长是多少厘米？

可以裁剪成这样的正方形铁片多少块？

分析和解：

要把这块铁片裁剪成正方形铁片，并且没有剩余，那么铁片的边长应该是大长方形边长的约数，即是长和宽的公约数。

要求最大边长的正方形，就是求长54厘米和宽30厘米的最大公约数。

由于54=6×

9，30=6×

5，54与30的最大公约数是6，即裁剪成的最大正方形铁片的边长是6厘米。

这样就可以算出裁剪出的正方形铁片的块数：

（54÷

6）×

（30÷

6）=9×

5=45（块）

剪成的最大正方形边长是6厘米，可以裁剪成这样的正方形铁片45块。

问题23：

数字与算式迷问题

在小学数学题中，有一类涉及数的组成、数字的选择和运算符号的填写的趣味数学问题，就是数字趣题。

解答这类问题也要应用所学是数学知识进行分析、推理，把比较复杂的问题转化为简单的问题进行解答。

例1.在六个数字5之间填上运算符号或括号，使算式的计算结果等于9。

555555＝9

要进行计算的数是5，由于两个5相加、相减、相乘或相除，其结果都是5的倍数，要使计算结果是9，那么在5之间需要填写适当的运算符号或括号，能够出现“5加4”或“10减1”或“45除以5”就可以。

若要出现“5加4”的关系，关键要考虑4的问题，可以从“5减1等于4”或“20除以5等于4”来考虑问题。

由此可以填出下面的算式：

5－5÷

5＋（5÷

5）×

5＝95＋5－5＋（5－5÷

5）＝9（5＋5＋5＋5）÷

5＋5＝9

若要出现“10减1”的关系，关键是考虑1的问题，“5除以5等于1”，10可以由5加5或2乘5得到。

5＋5＋5－5－5÷

5＝9[（5＋5）÷

5]×

5－5÷

5＝9

若要出现“45除以5”的关系，关键是确定其它几个5的运算的结果是45。

经过试算可以填出下面的算式：

（5×

5＋5×

5－5）÷

例2在下面的乘法算式中，A、B各表示什么数？

（方框表示的数可以不相同）

两个因数各数位上的数都是未知数，我们只有通过乘积末尾上的数来进行判断。

由于B×

B的个位数是4，因此B只能是2或8。

但A×

B的10位上的数大于1，因此B不可能是2，只能是8。

又由于B×

A的个位是4，因此A只能是3。

经过验算，乘法竖式中A表示3，B表示8是正确的。

问题24：

分数的拆分与应用

分解质因数是数的一种分解形式。

另外可以对整数、分数进行分解。

分数的拆分就是对分数的一种分解，在小学数学中占有一定位置。

（1）把一个分数拆分成几个分数和的形式

例1在下面的括号中填上适当的数，使等式成立：

由于6=2×

3，根据分数的基本性质，可以把分数

的分子、分母同时乘以6的质因数2与3的和（2＋3），再应用分数加法写成两个分数的和，最后进行约分：

例2把

拆分成3个分数单位的和。

（2）把一些特殊分数拆分成两个分数差的形式

；

（3）利用分数的拆分进行分数的简便运算

例3计算

例4计算

习题六

1、五位数278□□既能够被9整除，又能够被2整除。

请写出所有这样的五位数。

2、九位数36□35124□能被72整除，写出所以这样的九位数。

3、一个多位数，它的各数位上的数字都是1或0，并且能被225整除，这样的多位数中最小的一个是多少？

4、两个数71427与19的乘积被7除得的余数是多少？

5、20082006除以7所得的余数是几？

6、在五个数字9之间填上运算符号或括号，使算式的计算结果等于1.

99999=1

7、把数字1、2、3、5、6、7、8分别填入下面的□里，使算式正确（每个数字只用一次）。

□×

□＝□□□□÷

□＝□

8、把分数

拆分成两个分数和的形式。

9、把分数

拆分成三个分数和的形式。

10、计算

11、计算

12、计算