基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析机械工程.doc
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研究生课程论文封面
课程名称：
数值分析
论文题目：
基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析
学生班级；机械工程机械电子系3班
学生姓名：
陈大爷
任课教师：
王师傅
学位类别：
学位课（2学分，32学时）
评分标准及分值
选题与参阅资料
（分值）
论文内容
（分值）
论文表述
（分值）
创新性
（分值）
评分
论文评语：
总评分
评阅教师:
评阅时间
年月日
注：
此表为每个学生的论文封面，请任课教师填写分项分值
基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析
摘要：
多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。
关键词：
振动系统；多自由度；迭代；MATLAB
引言：
在工程振动中，研究某系统振动时，首先要求出系统的固有频率。
对于多自由度振动系统，计算系统固有频率与主振型主要有2种方法：
（1）利用特征矩阵方程式与特征方程式求解；
（2）矩阵迭代法求解【1】。
MATLAB作为一个以矩阵和数组为核心计算的软件，对矩阵迭代法中的矩阵迭代计算尤其适合【2】。
本文主要利用MATLAB对多自由度系统振动矩阵迭代求解。
一.多自由度振动系统
1.多自由度振动系统的数学模型
多自由度振动系统的数学模型【1】：
（1-1）
其中、、、和分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、力向量和响应向量。
把这个时域矩阵方程变换到拉氏域（变数为），并假定初始位移和初始速度为零，则得：
（1-2）
或（1-3）
式中：
动刚度矩阵。
对于自由度系统，此方程有个复共轭对出现的特征根：
其中阻尼因子；为阻尼固有频率。
将带入公式中，得
（1-4）
二．多自由度振动系统的数值分析
1.多自由度振动系统的迭代运算
记为初始迭代列阵，由展开定理，可以表示为
（1-5）
对上式左乘矩阵A，由式（1-4）得知第一次迭代后所得的列阵为
=（1-6）
经第二次迭代后，得
同理第（r-1）次迭代后的结果为
（1-7）
2.矩阵迭代法的实例分析
k
k
2k
m
2m
m
图1-1分析图
用矩阵迭代法求解过程如下：
解:
用影响系数法求得系统的质量矩阵和刚度矩阵为
算出K的逆阵及系统的动力矩阵为
，
若，第一次迭代后得到
，
重复上述步骤，各次的迭代结果列于表1-1。
由表可见，经过6次迭代后已有，所以第一阶主振型及基频取为，
表1-1第一阶主振型的迭代
r
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
0.500000
0.875000
1.000000
0.465517
0.862069
1.000000
0.462830
0.860911
1.000000
0.462617
0.860814
1.000000
0.462598
0.860806
1.000000
0.462598
0.860806
1.000000
8
7.250000
7.189655
7.184652
7.184245
7.184210
三．利用MATLAB对多自由度系统振动矩阵迭代求解
1.MATLAB计算程序
clc;
clear;
%建立质量矩阵M，刚度矩阵K\
symskm;
M=[m00
0m0
002*m];
K=[2*k-k0
-k3*k-2*k
0-2*k2*k];
%*********迭代第n阶主阵型********************
%n为计数器
%
n=1;
whilen<=3
%计算系统动力矩阵A
ifn==1
A（:
:
n）=K\M;
elseifn~=1
A（:
:
n）=A（:
:
n-1）-（MP（:
n-1）\t（:
n-1））*f（:
n-1）*f（:
n-1）'*M;
end
%定义初始迭代向量X
（1）
ifn==1
X（:
1,n）=[111]';
elseifn==2
X（:
1,n）=[11-1]';
elseifn==3
X（:
1,n）=[1-11]';
end
%迭代过程，Y为中间矩阵,i为迭代次数
i=1;
Y（:
1,n）=A（:
:
n）*X（:
1,n）;
X（:
2,n）=Y（3,1,n）.\Y（:
1,n）;
whileabs（X（1,i,n）-X（1,i+1,n））>=0.000001&&abs（X（2,i,n）-X（2,i+1,n））>0.000001
Y（:
i+1,n）=A（:
:
n）*X（:
i+1,n）;
X（:
i+2,n）=Y（3,i+1,n）.\Y（:
i+1,n）;
X（:
2）;
i=i+1;
end
%X（:
:
n）
f（:
n）=X（:
i,n）;
t（n）=Y（3,i,n）;
MP（:
n）=f（:
n）'*M*f（:
n）;
n=n+1;
end
%输出数据过程
disp（'第一阶主阵型的迭代结果'）;
X（:
:
1）
disp（'第二阶主阵型的迭代结果'）;
X（:
:
2）
disp（'第三阶主阵型的迭代结果'）;
X（:
:
3）
disp（'φi的计算结果，矩阵的每列分别是1,2，3阶的'）;
f
disp（'######******注意***********主阵型的迭代结果后面的0是系统的占位符号，不算计算结果'）;
2.MATLAB编程计算结果
四．结束语
本文采用MATLAB语言，不仅相对语句少，可读性强，只要输入必要的数据，就可以快速地获得振动系统的固有频率以及主振型【3】。
对设计人员计算复杂多自由度系统固有频率具有参考意义。
参考文献
[1]许本文,焦群英.机械振动与模态分析基础[M].北京:
机械工业出版社,1988.
[2]方治华,贾宏玉,沈利.应用Matlab对有死区的振动系统进行仿真分析[J],包头钢铁学院学报,2004,12.
[3张志涌等,精通MATLAB[M],北京:
北京航空航天大学出版社,2000.
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