春北师大版数学九年级下册同步练习第三章 圆 资源拓展 5确定圆的条件文档格式.docx

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3.等边三角形的边长为a,求这个三角形外接圆的面积.

4.（2019浙江杭州模拟）如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法如下:

①作线段AB,分别以A,B为圆心,AB长为半径作弧,两弧的交点为C;

②以C为圆心,仍以AB长为半径作弧,交AC的延长线于点D;

③连接BD,BC.根据以上作法完成以下问题:

（1）求∠CBD的度数;

试说明sin2A+sin2D=1的理由.

三年模拟全练

1.（2019陕西渭南白水一模,9,★☆☆）如图,已知O是△ABC的外接圆,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,则AC的长为（）

A.2B.2C.4D.4

2.（2019河北保定高阳模拟,11,★☆☆）如图,在△ABC中,∠A=60°

BC=5cm,能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是（）

A.5cm

3

C.10cm

3.（2019河南南阳社旗一模,9,★★☆）如图,在已知的△ABC中,按以下步骤操作:

（1）分别以B、C为圆

心,大于1BC的长为半径作弧,两弧相交于M、N;

（2）作直线MN,交AB于D,连接CD.若CD=AD,

2

∠B=20°

则下列结论:

①∠ADC=40°

;

②∠ACD=70°

③点D为△ABC的外心;

④∠ACD=90°

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（2019山东济南平阳一模,12,★★☆）如图,等边△ABC的边长为4,点O是△ABC的外心,∠FOG=120°

.绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点.连接DE,给出下列四个结论:

①OD=OE;

②S△ODE=S△BDE;

③S

四边形

ODBE=4

3;

④△BDE周长的最小值为4.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

五年中考全练

1.（2019四川乐山中考,10,★★☆）如图,抛物线y=1x2-4与x轴交于A、B两点,P是以点C（0,3）为圆心,2

4

为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ,则OQ的最大值是（）

A.3B.412

C.7

D.4

2.（2019江苏连云港中考,8,★★☆）如图,在矩形ABCD中,AD=22AB.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;

沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;

再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:

①△CMP是直角三角形;

②点C、E、G不

在同一条直线上;

③PC=6MP;

④BP=2AB;

⑤点F是△CMP外接圆的圆心,其中正确的个数为

22

（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（2019黑龙江绥化中考,20,★★☆）半径为5的☉O是锐角三角形ABC的外接圆,AB=AC,连接OB、OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为.

核心素养全练

如图,矩形ABCD中,E为AB的中点,有一圆过C、D、E三点,且此圆分别与AD、BC相交于点P、Q.甲、乙两人想找到此圆的圆心O,其作法如下:

甲:

作∠DEC的平分线l,作DE的中垂线,交l于O点,则O即为所求;

乙:

连接PC、QD,两线段交于一点O,则O即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是（）

A.两人的作法皆正确B.两人的作法皆错误

C.甲的作法正确,乙的作法错误D.甲的作法错误,乙的作法正确

1.答案D由作圆方法可知A、B、C均正确,而过四个点不一定能作圆,如这四个点在同一条直线上,故D错误.故选D.

2.答案D作线段AB和线段AC的垂直平分线,两线的交点（3,1）即为外接圆的圆心.

3.答案3;

无

解析过A、B两点的最小圆是以线段AB为直径的圆;

过A、B两点的圆有无数个,没有最大圆.

4.答案20°

解析∵O为△ABC的外心,

∴∠BOC=2∠BAC=2×

70°

=140°

.

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=180°

-140°

=20°

5.解析

（1）证明:

∵∠ABC=∠DBE,

∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,

∴∠ABD=∠CBE,

BA=BC,

在△ABD与△CBE中,∵∠ABh=∠CBh,

Bh=Bh,

∴△ABD≌△CBE.

（2）四边形BDCE是菱形.证明:

同

（1）可证△ABD≌△CBE,∴AD=CE,

∵点D是△ABC外接圆的圆心,∴DA=DB=DC,又∵BD=BE,∴BD=BE=CE=CD,∴四边形

BDCE是菱形.

1.答案能

解析在平面直角坐标系内描点或利用一次函数的知识可知这三个点不在同一直线上,所以这三个点能确定一个圆.

2.解析

（1）证明:

连接OB,如图.

∵直径GH⊥AB,∴AˆG=BˆG,

∴∠AOG=∠GOB=1∠AOB.

∵∠ACB=1∠AOB,∴∠AOG=∠ACB,∴∠AOD=∠DCE.

又∵∠ADO=∠CDE,∴∠OAD=∠E.

（2）连接OC,如图.

∵OC=OA,∴∠OAD=∠OCA.

由

（1）知∠OAD=∠E,

∴∠OCD=∠E.

又∵∠DOC=∠COE,

∴△OCD∽△OEC,∴OC=Oh,

OhOC

∴OC2=OE·

OD=（1+3）×

1=4,

∴OC=2,即☉O的半径为2.

3.

解析如图,连接AO,过点O作OD⊥AB于点D,

∵AB=AC=BC,∴AO平分∠BAC,

∴∠DAO=1∠BAC=1×

60°

=30°

∵OD⊥AB,AB=a,∴AD=1AB=1a,

在Rt△AOD中,AO=

Ah1a

=2=

3a.

cos∠hAO

cos30°

3

12

∴☉O的面积为π

a=πa.

4.解析

（1）由作法可知AC=AB=BC,

∴△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°

∵CD=CB,∴∠D=∠CBD,

∵∠ACB=∠D+∠CBD,∴∠CBD=∠D=30°

.

（2）∵∠A=60°

∠D=30°

2223221

∴sinA=sin60°

==,sinD=sin30°

=,

44

∴sin2A+sin2D=1.

1.答案A连接CD,如图所示.

∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°

∵∠ADC=∠ABC,∠ABC=∠DAC,∴∠ADC=∠DAC,

∴AC=DC,△ACD是等腰直角三角形,

∴AD=2AC,∴AC=Ah=4=22.

2.答案D能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆,设圆心为点O,连接OB,OC,

如图所示.

∵在△ABC中,∠A=60°

BC=5cm,∴∠BOC=120°

作OD⊥BC于点D,则∠ODB=90°

∠BOD=60°

5

∴BD=5

cm,∠OBD=30°

∴OB=

sin60°

=53

cm,

∴2OB=103

cm,即能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是103

cm.

3.答案B由题意可知,直线MN是线段BC的垂直平分线,∴BD=CD,∠B=∠BCD=20°

∴∠

ADC=∠BCD+∠CBD=40°

故①正确;

∵CD=AD,∴∠A=∠ACD,

又∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°

∴∠ACD=70°

故②正确,④错误;

∵AD=CD,BD=CD,∴

AD=BD=CD,∴D是△ABC的外心,故③正确.

答案B如图,连接OB,OC,过点D作DM⊥BC于M.

∵等边△ABC的边长为4,点O是△ABC的外心,∠FOG=120°

∴易证∠BOD=∠COE,OB=OC,

∠DBO=∠ECO=30°

∴△BOD≌△COE,∴OD=OE,故①正确;

当D与B重合时,E与C重合,此时S△ODE>

0,而△BDE不存在,故②错误;

∵△BOD≌△COE,∴S

ODBE=S△ODB+S△BOE=S△OCE+S△BOE=S△BOC=1S△ABC=43,故③正确;

四边形33

∵△BOD≌△COE,∴BD=EC,∴△BDE的周长=BD+BE+DE=BC+DE,∵BC=4,∴当DE最小

时,△BDE的周长最小,设BD=x,则BM=1x,DM=3x,EC=BD=x,BE=4-x,

∴ME=BE-BM=4-x,∴由勾股定理得DE=hM2+EM2=

∴当x=2时,DE的最小值为2,

∴△BDE周长的最小值为6,故④错误.所以①③正确.

1.答案C连接BP,如图,

=3（x-2）2+4,

当y=0时,1x2-4=0,解得x1=4,x2=-4,则A（-4,0）,B（4,0）,∵Q是线段PA的中点,∴OQ为△ABP的

中位线,∴OQ=1BP,∴当BP最大时,OQ最大,而BP过圆心C时,PB最大,如图,点P运动到P'

位置时,BP最大.∵BC=32+42=5,∴BP'

=5+2=7,∴OQ的最大值是7.故选C.

2.答案B∵沿着CM折叠,点D的对应点为E,

∴∠DMC=∠EMC,

∵沿着MP折叠,AM与EM重合,折痕为MP,

∴∠AMP=∠EMP,

∵∠AMD=180°

∴∠PME+∠CME=1×

180°

=90°

∴△CMP是直角三角形,故①正确;

∵沿着CM折叠,点D的对应点为E,

∴∠D=∠MEC=90°

∴∠MEG=∠A=90°

∴∠GEC=180°

∴点C、E、G在同一条直线上,故②错误;

∵AD=22AB,

∴设AB=x,则AD=22x,

∵将矩形ABCD对折,得到折痕MN,

∴DM=1AD=2x,

∴CM=hM2+Ch2=3x,

∵∠PMC=90°

MN⊥PC,

∴CM2=CN·

CP,

∴CP=3x2=3x,

2x2

∴PN=CP-CN=2x,∴PM=MN2+PN2=6x,

3x

∴PC=2=3,

PM6x2

∴PC=3MP,故③错误;

∵PC=3x,∴PB=22x-3x=2x,

222

∴AB=x,∴PB=2AB,故④正确;

PB22

∵CD=CE,EG=AB,AB=CD,∴CE=EG,

∵∠CEM=∠G=90°

∴FE∥PG,∴CF=PF,

∴CF=PF=MF,

∴点F是△CMP外接圆的圆心,故⑤正确.故选B.3.答案53或52

解析如图,当∠ODB=90°

即CD⊥AB时,

AD=BD,∴AC=BC,

∵AB=AC,

∴△ABC是等边三角形,

∴∠DBO=30°

∵OB=5,

∴BD=3OB=53,

∴BC=AB=53.

如图,当∠DOB=90°

时,∠BOC=90°

∴△BOC是等腰直角三角形,

∴BC=2OB=52.

综上所述,弦BC的长为53或52.

答案A甲的作法中,∵E为AB的中点,

∴ED=EC,∴△DEC为等腰三角形,

又l为∠DEC的平分线,∴l为CD的中垂线,

∴O为两条中垂线的交点,即O为△CDE的外心,

∴O为此圆的圆心.

乙的作法中,∵∠ADC=90°

∠DCB=90°

∴PC、QD为此圆的直径,

∴PC与QD的交点O为此圆的圆心,因此甲、乙两人的作法皆正确.故选A.