实验1 测量误差与数据处理讲解.docx

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实验1测量误差与数据处理讲解

测量误差与数据处理

物理实验是以测量为基础的。

测量任何物理量，由于测量条件不能尽善尽美、仪器的分度值不可能无限小，所得结果都不会是绝对精确的。

对测量结果精确度的评价是一门专门科学，涉及面非常广泛。

对实验数据的处理和测量误差的分析估算能力，是科学实验技能的一个重要方面，在物理实验课中，对有关知识作初步介绍，并通过具体实验进行最基本的训练。

一、测量与误差

1、物理量的测量

在科学实验和生产中，所有的物理量都是通过测量得到的。

测量是为确定被测对象的数值多少而进行的实验过程。

在这个过程中通常借助专门的工具、仪器，把被测对象直接或间接地与同类标准量进行比较，得出用数值和单位共同表示的测量结果。

所谓测量就是将被测物理量与作为标准的同类物理量进行比较，从而获得被测物理量的量值为目的的全部操作。

测量各种物理量的具体方法有多种多样。

根据获取测量数据的方式不同，可将测量分为直接测量和间接测量；根据测量条件的不同，可分为等精度测量和不等精度测量。

（1）直接测量待测物理量可以从量具或仪器上直接读取的方式叫直接测量。

如用米尺测量长度，用天平测量质量，电表测量电压等都是直接测量。

（2）间接测量待测物理量不能由测量仪器直接读出，而是需要用一些原理和公式由直接测量得到的各物理量推算出来的方式叫间接测量。

如测量圆管的体积V，先要测量圆管的高度h、外径D和内径d，然后通过公式

计算求得圆管的体积V，这就是间接测量。

在工程技术中，能直接测量的物理量是很少的，大部分物理量的测量是采用间接测量。

然而，一个物理量的测量需用直接测量还是用间接测量并不是绝对的，通常与仪器的选择有关。

如测量液体的比重，选用量筒和天平作为测量工具为间接测量，选用比重计作为测量工具则为直接测量。

随着科学技术的进步和发展，将有更多、更精密仪器设备以满足对更多物理量进行直接测量。

（3）等精度测量在相同测量条件下对某一物理量重复n次测量，得出的数值为，，…，，…，，这几个数值中我们没有理由认为其中某一次测量比另一次测量更准确些或不准确些，即每次测量的精度是相同的，这种测量称为等精度测量，比如在完全相同的条件下，用螺旋测微器对钢珠的直径进行n次的测量即为等精度测量。

测量条件是指一切能影响测量结果，本质上又可控制的全部因素。

测量条件包括：

进行测量的人、测量方法、测量仪器及其调整方法、环境条件等。

环境条件是指测量过程中环境的温度、湿度、大气压力、气流、振动、辐射强度等。

（4）不等精度测量测量条件中只要其中一个发生了变化，就变为不等精度测量。

如在不同的环境温度下测量电阻就是不等精度测量，因为电阻是随温度的变化而变化的物理量。

等精度测量与不等精度测量的数据，在处理方法上是不同的，在以下的讨论中所涉及的测量数据均为等精度测量的情况。

2、测量误差

在确定的条件下，反映任何物质（物体）物理特性的物理量所具有的客观真实数值，称为真值。

测量的目的就是力图获得真值。

但是，由于受仪器灵敏度和分辨率、实验原理的近似性、环境的不稳定性以及测量者自身因素的局限，测量总是得不到真值，测量值只能是真值不同程度的近似值。

测量值与真值之间的差异叫测量误差。

如果用表示测量值，表示真值，测量误差为：

（1）

因为与具有相同的单位，故又称为绝对误差，简称误差。

随着科学技术的进步，测量误差可以被控制得越来越小。

但实践证明，任何实验的误差都不能降为零，误差始终存在于一切科学实验中，这个结论称为误差公理。

也就是说，从测量的角度来讲，真值不可能确切获得。

因此，将测量的实际值、已修正过的算术平均值等被认为充分接近真值，可用来替代真值，用来替代真值的量值称为约定真值。

这样一来，绝对误差就是测量结果与约定真值之差。

误差既然是客观存在，那么就有必要研究、分析误差的来源和性质。

（1）误差的分类

根据误差产生的原因及性质，可将误差分为两类。

a．系统误差在确定条件下多次测量同一物理量时，测量值总是有规律地朝着某一方向偏离真值，这种误差称为系统误差。

系统误差的特点是误差的数值和符号基本保持恒定，或在条件改变时按一定规律而变化。

系统误差的主要来源有：

①实验装置误差。

由于仪器本身的缺陷，或者由于测量前没有很好地调节仪器所引起的误差。

比如天平两臂不等长，仪表零点不准等。

②方法或理论误差。

由于测量原理、方法不完善而引起的误差。

比如测量体积时未考虑到膨胀因素，温度变化对仪器本身影响太大等。

③环境误差。

由于外界影响而引起的误差。

比如温度发生变化，电磁场干扰等。

④人员误差。

由于测量者在操作经验、分辨能力、反应速度、读数习惯与偏向引起的误差。

比如有的人读数总是偏大或偏小等。

系统误差服从因果规律，任何一种系统误差，都有其确定的发生原因。

在一定的测量条件下，只要找出产生系统误差的原因，采取一定的措施都能消除或减小系统误差。

发现、减小或消除系统误差，常取决于实验者的经验和素质。

学生在学习过程中要积累这方面的感性知识，结合实验具体情况对系统误差进行分析和讨论。

b．随机误差在同一物理量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差称为随机误差。

随机误差的产生是由许多偶然因素造成的，因而也叫偶然误差。

它的特征是误差的大小和符号表面看来没有任何规律性。

随机误差起因于一些随时随地都会发生的微小的不可控制的因素，如无规则的温度变化，气压起伏，地基、桌面的振动，电磁场的干扰，光线的闪动，电压、电流的波动，以及观察者感官（听觉、视觉、触觉）分辨能力的微小变化，以及最小读数的估计产生的误差等等。

这些因素既不可控制，又无法预测和消除。

某次测量的随机误差往往是由多种随机因素共同造成的。

随机误差表面上看来似乎毫无规律，纯属偶然。

然而对多次等精度测量结果的分析可以发现随机误差具有以下一些内在规律性：

①对某一物理量进行了多次等精度测量，每次测量值的误差的绝对值不会超过某一限度，这个特性称为有界性；

②误差数值越大者出现的次数越少，误差数值越小者出现的次数越多，这个特性称为单峰性；

③绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等，这个特性称为对称性；

④误差的算术平均值随测量的次数的增加而减小。

当测量次数无限增加时，随机误差的算术平均值将趋于零，即：

（2）

这个特性称为抵偿性。

将

（1）式代入上式得：

（3）

即仅存在随机误差的情形下，测量次数无限多时的算术平均值就是真值。

当测量次数为有限次时，算术平均值最接近真值，因此，在本课程中，我们以算术平均值作为最佳测定值。

（2）仪器的误差

仪器的误差——即国家计量局规定的该项仪器的出厂公差或允差，是一种系统误差。

用合格的仪器或量具进行测量，若操作正确，即使只测一次，其仪器的误差一般不会超过公差。

即出厂公差提供了仪器的最大误差。

额定值通常都标明在仪器或量具上。

如游标卡尺的额定误差就是所标明的精度，通用的有0.02mm和0.05mm两种。

本书附录2中收录了部分有关仪器误差的国家标准和检定规程，供估算实验误差时使用。

3、测量结果的表示

既然任何测量都有误差，那么测量结果的表示格式为：

式中为真值的估计值（即测量值），为测量误差的估计值（即绝对误差）。

这种格式的物理意义是说明真值以一定的可能性（概率）包含在至范围内。

误差的估算方法不同，这个概率的大小也不同。

为了全面反映测量结果的优劣，还需要考虑被测物理量本身的大小。

定义相对误差为绝对误差与（约定）真值之比。

因为最佳测量值与真值最接近，相对误差也可定义为误差与最佳测量值之比。

即相对误差

4、精密度、正确度和准确度

在测量中常用精密度、正确度和准确度来评价测量结果的好坏。

精密度表示测量结果中随机误差大小的程度；正确度表示测量结果中系统误差大小的程度；准确度（精确度）是表示随机误差和系统误差的合成误差大小的程度。

二、有效数字及其运算规则

1、有效数字的一般概念

图1长度的测量

测量是为确定被测对象的数值而进行的实验过程。

由于测量始终存在误差，因而测量结果的数值就不应无止境地写下去,而只能写到误差所在位。

例如用米尺测量钢棒A的长度（如图1所示）。

A棒长在3.2～3.3㎝之间。

这棒究竟有多长呢？

我们可估读为3.27㎝，也可估读为3.28㎝或3.29㎝。

这百分位上的7、8、9是估计出来的，而且每人估计出的值也可能不同，所以我们把这些估计出来的数称为存疑数字（可疑数字）。

存疑数字前的3.2㎝是仪器测出的确切数字，称为可靠数字。

我们把测量结果的几位可靠数字加上估计的一位数字（可疑数字）统称为有效数字。

测量结果中有几个有效数字，就称为是几位有效数字。

A棒长度的测量结果3.27㎝、3.28㎝或3.29㎝都是三位有效数字。

在使用有效数字时应注意以下几点：

①数据中第一位非“0”数字前面的“0”不是有效数字。

单位换算不改变有效数字的位数。

②测量结果末位的“0”仍为有效数字。

直接测量的有效数字位数是由被测物理量的大小及仪器的精密度确定的，直接测量取仪器的分度值的读数为可靠数字估读一位为可疑数字。

要注意的是：

3.20㎝≠3.2㎝。

这是因为3.2㎝是两位有效数字，2是存疑数字。

而3.20㎝的存疑位是0。

因此有效数字位数越多，测量越准确。

有效数字是测量结果的客观反应，它的位数多少不能随意增减。

③电子秒表、电阻箱、便携式电桥等仪器无法进行估读。

这些仪器在测量值的最后一位就存在着仪器误差，就是存疑数字，而不必再估读。

④参与运算的常数，由于它们不是测得量，其有效数字的位数是无限的，可根据需要来选取。

2、有效数字的运算

例1加减运算x1=20.1，x2＝4.17，x3=6.784求x1＋x2＋x3＝？

解：

写成竖式运算，在下面加一横表示可疑数字。

任一可疑数字与其它数字运算后其结果就是可疑的。

于是作为最终结果，我们只保留一位可疑数字。

x1＋x2＋x3＝31.0；作为中间结果参加下一步运算，我们可以多保留一位可疑数字，即：

x1＋x2＋x3＝31.05。

由此可见，在加减运算中，运算结果的存疑位与参与运算的各量中存疑位最高的为准。

例2乘除运算4.178×10.1＝？

解：

写成竖式表示

按规定4.178×10.＝42.2；41.78÷11.2＝3.73运算结果三位有效数字与最少的有效数字位数一致。

归纳起来，有效数字的运算规则有如下几点：

加减运算先找出各数中可疑数字最靠前的，以此数的最后一位数的位置为标准，对其它数进行取舍，但在运算过程中可以多保留一位。

乘除运算先找出有效数字位数最少的，以它的有效数位为准对其它数进行取舍，可以多保留一位。

三角函数三角函数的有效数字位数与其角度（用弧度表示）的有效数字位数相同。

如对数的有效数字位数与真值的有效数字位数相同。

如。

幂和根幂和根的有效数字位数和它们的底的有效数位相同。

但、π、e等常数的有效数位在运算中需要几位就取几位。

3、数的修约规则（尾数舍入法则）

对于大量尾数分布概率相同的数据来源，“4”舍“5”入不尽合理。

现在通用“4”舍“6”入，对于“5”，若前面为偶数则舍（“0”作为偶数），若前面为奇数则入，即所谓四舍六入五凑偶，以保证尾数取舍几率相等（根据国家标准《GB3101-93有关量、单位和符号的一般原则》的《附录B数的修约规则》）。

三、测量结果的误差估算

1、多次直接测量的误差估算

（1）算术平均值

在相同条件下对某物理量作等精度n次测量，其观测值分别为，称为测量列，若用的表示测量列的平均值，则

（4）

由于算术平均值最接近于真值，故称之为近真值。

（2）算术平均偏差（平均误差）

各观测值与近真值的偏差称为残差，分别表示为

算术平均偏差则为

（5）

由于算术平均值最接近于真值，平均误差可作为误差的初步估算。

（3）标准偏差

在有限测量次数的情况下，通常用以测量列平均值为参照系的标准偏差作为标准误差的最佳估算值。

对于测量