高三最新 广东省中山一中学年高三数学第一.docx
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高三最新广东省中山一中学年高三数学第一
广东省中山一中2018学年高三数学第一次统测
理科数学
本试卷满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设全集，集合，集合，则
A．B．C．D．
2．若是第二象限的角，且，则
A．B．C．D．
3．已知，其中，是实数，是虚数单位，则
A．B．C．D．
4．已知，，则
A．B．C．D．
5．等差数列中，，那么的值是
A．12B．24C．16D．48
6．在中，“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．偶函数满足：
，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
8．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
A．B．
C．（x>0）D．
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．设命题：
“，”，该命题的否定是____________________；
10．现从某校5名学生中选出3分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要求每科
至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是；
11．二项式的展开式的常数项是__________.
12．．
13．（以下三小题中，任选两题作答，若三题都做，则按
（1）、
（2）题的正误给分）
（1）如图，梯形，，是
对角线和的交点，，
则__________；
（2）把极坐标方程化为直角坐标方程是____________________；
（3）函数的最大值为_________________。
三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
已知：
，：
且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
16．（本小题满分14分）已知，为实常数。
（I）求的最小正周期；
（II）若在上最大值与最小值之和为3，求的值。
17．（本小题满分14分）
交5元钱，可以参加一次抽奖。
一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元，
2个标有5元，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球标的钱数之和。
（I）求的概率分布列；（II）求抽奖人获利的数学期望。
18．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离。
19．（本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切.
（1）求动圆的圆心轨迹的方程；
（2）是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，
且满足？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）
把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
1
35
7911
————
设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数
（I）若，求的值；
（II）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和。
2018学年中山市一中高三年级第一次统测试题
理科数学（答案卷）
一、选择题：
每小题5分，共40分．成绩
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
答案
C
D
C
A
B
C
D
B
二、填空题：
每小题5分，共30分．
9．10．11．12．
13．
（1）
（2）（3）
三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
已知：
，：
且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
解：
由
即为：
…………………4分
而为：
，………………………6分
又是的必要不充分条件，即
所以
即实数的取值范围为。
………………………12分
16．（本小题满分14分）已知，为实常数。
（I）求的最小正周期；
（II）若在上最大值与最小值之和为3，求的值。
解：
（I）………………5分
所以的最小正周期；………………………7分
（II），则
………………………10分
所以是最大值为，最小值为………………………12分
依题意有：
，………………………14分
17．（本小题满分14分）
交5元钱，可以参加一次抽奖。
一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元，
2个标有5元，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球标的钱数之和。
（I）求的概率分布列；（II）求抽奖人获利的数学期望。
解（I）……………………………………………………2分
，，……8分
2
6
10
所以的概率分布列为：
………………………10分
（II）由（I）知，………………………12分
所以抽奖人获利的数学期望为：
元。
………………………14分
18．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离。
（I）证明：
依题意有，
又、是面BCD内两条相交直线，所以平面BCD……………4分
（II）由上知可建空间直角坐标系如图，，，，
，
，
即异面直线AB与CD所成角的余弦值为。
………………………9分
（III）设平面ACD的法向量为，则
令，得，又
点E到平面ACD的距离：
。
……………………14分
19．（本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切.
（1）求动圆的圆心轨迹的方程；
（2）是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，
且满足？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
解：
（1）设为动圆圆心，由题意知：
到定直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
∴动圆的圆心的轨迹的方程为：
………………………5分
（2）由题意可设直线的方程为，
由得
或………………………7分
且，…………………………………9分
由…………………………………………11分
或（舍去）…………………13分
又，所以直线存在，其方程为：
………………14分
20．（本小题满分12分）
把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
1
35
7911
————
设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。
（I）若，求的值；
（II）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和。
解：
（I）三角形数表中前行共有个数，
第行最后一个数应当是所给奇数列中的第项。
故第行最后一个数是……………2分
因此，使得的m是不等式的最小正整数解。
由得
于是，第45行第一个数是
…………………………………6分
（II）第n行最后一个数是，且有n个数，
若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，
故。
…………………………………………8分
故
，
两式相减得：
………………………………………………………12
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