三角形的内切圆和外接圆Word格式.docx

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∴AE＝AB/SinC

∴2R＝AB/SinC

若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C）

应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1已知：

如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.

分析：

作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD.

解：

作AE⊥BC，垂足为E.

设CE＝x,

∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-（14-x）2

∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12R＝ab/（2h）=13x15/（2x12）=65/8

∴△ABC外接圆⊙O的半径r为

例2已知：

在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R.

分析：

通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。

例3已知：

如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°

，求△ABC外接圆⊙O的半径R.

考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题.

解：

作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.

则∠DBA＝90°

，∠D＝∠C＝60°

∠CAE＝∠DAB＝90°

－60°

＝30°

CE＝

AC＝1，AE＝

，AB=√7∴R=AC·

AB/2AE=2x√7/（2x

）

应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。

用方法二

例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径

解从A作AM⊥BC于M，则

AD2－MD2＝AM2

＝AC2－（MD＋CD）2．即52－MD2＝72－（MD＋3）2．

得R＝14，　　则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．

例5如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，

求①抛物线的顶点坐标；

②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；

③△ABC的外接圆的面积．

　　解①A（2，－9）；

　　　②B（－1，0）；

C（5，0）．

　　　③从A作AM⊥x轴交于M点，

　　则BM＝MC＝3．AM＝9．

　　∴R＝5

△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π

三角形内切圆半径r的求法

1∵S△ABC=1/2（a+b+c）r

∴r=2S△ABC/（a+b+c）

2Rt△ABC中,r=（a+b-c）/2

三角形的内切圆和外接圆【知识要点】

1、三角形的外接圆

（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心到各顶点的距离相等．

（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径

（

为斜边长）．

2、三角形的内切圆

（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．

（2）若三角形的面积为

，周长为a+b+c,则内切圆半径为:

，当

为直角三角形的直角边，

为斜边时，内切圆半径

或

3、圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的对角互补；

（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．

注意：

①圆内接平行四边形为矩形；

②圆内接梯形为等腰梯形．

4、两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

【典型例题】

一、填空和选择

（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是（）

A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形

（2）如右图，I是

的内心，则下列式子正确的是（）

A、∠BIC=

-2∠AB、∠BIC=2∠AC、∠BIC=

+∠A/2D、∠BIC=

-∠A/2

（3）

外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则

的外心是

的。

（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．

（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为

，则

=．

（6）圆外切等腰梯形底角为

，腰长为10，则圆的半径长为．

（7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于．

（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是．

（9）

的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=

为．

例2．如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E。

求证：

（1）IE=EC，

（2）IE2=ED·

EA。

例3．如图，已知

内接于⊙

，AE切⊙

于点A，BC∥AE，求证：

是等腰三角形

例4．已知

三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为

【经典练习】

一、选择题

1.下列命题中，正确的有（）

①圆内接平行四边形是矩形②圆内接菱形是正方形

③圆内接梯形是等腰梯形④圆内接矩形是正方形

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.在圆内接四边形ABCD中，∠A：

∠B：

∠C=3：

5：

6，那么∠D=（）

A．80°

B．90°

C．100°

D．120°

3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（）

A．

B．

C．

D．

4.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=110°

，则∠BCD=（）

A．125°

B．110°

C．55°

D．70°

5.如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=60°

，则∠ABC=（）

A．30°

B．60°

C．120°

D．90°

6.如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AD上，则∠BPC为（）

A．35°

B．40°

C．45°

D．50°

7.如图4，

中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别相交于点E、F，下列结论中正确的有（）

①∠EFN=∠Q=∠N；

②∠EFN+∠P=180°

；

③EF=PN=MQ；

④∠M=∠FEP。

A．1个B．2个C．3个D．4个

8.如图5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为⊙O的直径，若∠CBE=50°

，则圆心角∠AOC=（）

A．50°

B．80°

D．130°

二、填空题

9．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°

，则∠BIC=，∠BOC=。

10．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于，其内切圆的直径长为。

11．直角三角形的一边为a，它的对角是30°

，则此三角形的外接圆的半径是。

12．如图6，⊙I切△ABC于D、E、F，∠C=60°

，∠EIF=100°

，则∠B=。

13．如图7，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°

，D、E、F为切点。

若∠AOC=120°

则∠OAC=，∠B=；

若AB=2cm，则AC=,

△ABC的外接圆半径=，内切圆半径=。

14．如图8，若弦AD∥BC，∠BAC=70°

，∠ABC=80°

，则∠ADC=度，∠ACD=度。

15．如图9，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AE⊥CD，若∠ABC=130°

，则∠DAE=。

16．如图10，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。

已知∠A=60°

∠ABC=100°

，则∠P=。

【大展身手】

1．下列说法正确的是（）

A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆

C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形

2．下列命题中的假命题是（）

A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

B．三角形的外心到三角形三边的距离相等

C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上

D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心

3．下列图形一定有外接圆的是（）

A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形

4．下列说法正确的是（）

A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点

D．过四点A、B、C、D的圆不存在

5．在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）

A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm

6．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．

7．三角形的外心具有的性质是（）

A．到三边距离相等B．到三个顶点距离相等

C．外心在三角形外D．外心在三角形内

8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）

A．它到三角形三个顶点的距离相等

B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角

C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径

D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点

9．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）

A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形

10．如图所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（）

A、1对B、2对

C、3对D、4对

11．∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，那么一定有（）

A、∠DCE+∠A=

B、∠DCE+∠B=

C、∠DCE=∠A`D、∠DCE=∠B

二、填空题：

1．△ABC的三边3，2，

，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH=．

2．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．

3．如图所示，在

的外接圆中，AB=AC，D为AB的中点，

若∠EAD=

，则∠BAD=．

例6已知：

如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在AB的延长线上，且PC∥BD。