材料力学学习指导与练习.docx

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材料力学学习指导与练习

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第二章

2.1预备知识

一、基本概念

1、轴向拉伸与压缩

承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。

2、轴力和轴力图

轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号FN表示。

当FN的方向与截面外向法线方向一致时，规定为正，反之为负。

求轴力时仍然采用截面法。

求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。

如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。

设正法在以后求其他内力时还要到。

为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”。

作法是：

以杆的左端为坐标原点，取χ轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。

3、横截面上的应力

根据圣维南（Saint-Venant）原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有

正应力的符号规则：

拉应力为正，压应力为负。

4、斜截面上的应力

与横截面成角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力的关系为：

角的符号规则：

杆轴线x轴逆时针转到截面的外法线时，为正值；反之为负。

切应力的符号规则：

截面外法线顺时针转发900后，其方向和切应力相同时，该切应力为正值；反之为负值。

当=00时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。

当=±450时，切应力达到极值。

5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律

（1）等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，变形后杆长由l变为l+l，则杆的轴向伸长为

用内力表示为

上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。

式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。

用应力与应变表示的虎克定律为

（2）在弹性范围内，杆件的横向应变ε·和轴向应变ε有如下的关系；

式中的μ称为泊松（Poisson）比（横向变形系数）。

6、材料在拉伸和压缩时的力学性质

6.1低碳钢在拉伸时的力学性质：

（1）低碳钢应力-应变曲线分为四个阶段：

弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段。

（2）低碳钢在拉伸时的三个现象：

屈服（或流动）现象，颈缩现象和冷作硬化现象。

（3）低碳钢在拉伸时的特点（图2—1）：

a.比例极限σp：

应力应变成比例的最大应力。

b.弹性极限σe：

材料只产生弹性变形的最大应力。

c.屈服极限σs：

屈服阶段相应的应力。

d.强度极限σb：

材料能承受的最大应力。

（4）低碳钢在拉伸时的两个塑性指标：

延伸率δ

δ=100%

工程上通常将δ5%的材料称为塑性材料，将δ5％的材料称为脆性材料。

断面收缩率

=100%

6.2工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以0。

2表示，称为名义屈服极限。

6.3灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。

6.4材料在压缩时的力学性质：

（1）低碳钢压缩时弹性模量E和屈服极限σS与拉伸时相同，不存在抗压强度极限。

（2）灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料。

6.5破坏应力：

塑性材料以屈服极限σS（或σ0.2）为其破坏应力；脆性材料以强度极限σb为其破坏应力。

7、强度条件和安全系数

材料丧失工作能力时的应力，称为危险应力，设以σ0表示。

对于塑性材料，

对于脆性材料，

为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力（称为工作应力）的最大值应低于危险应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如

（1）荷载值的确定是近似的；

（2）计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；

（3）实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；

（4）公式和理论都是在一定的假设上建立起来的，所以有一定的近似性；

（5）结构在使用过程中偶而会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标准荷载。

所以，为了安全起见，应把危险应力打一折扣，即除以一个大于1的系数，以n表示，称为安全因数，所得结果称为许应力，即（2—14）

对于塑性材料，应为（2—15）

对于脆性材料，应为（2—16）

式中ns和nbc分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。

8、简单拉压超静定问题

超静定结构的特点是结构存在多余约束，未知力的数目比能列的平衡方程数目要多，仅仅根据平衡条件不能求出全部未知力，必须根据变形和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称之超静定问题。

多余约束数目，称之为超静定次数。

多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求又是必须的，从这层意义上讲，不是多余的。

求解超静定问题的步骤：

（1）根据约束性质，正确分析约束力，确定超静定次数

（2）列出全部独立的平衡方程

（3）解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关系，列出变形协调方程

（4）将物理关系式代入变形协调方程，得到充方程，将其与平衡方程联立，求出全部未

知力。

拉压超静定问题大致有三类：

a.桁架系统

b.装配应力

c.温度应力

二、重点与难点

1、拉压杆的强度条件和三种强度向题。

2、低碳拉伸实验和材料力学参数的意义及作用。

3、超静定问题的求解

（1）解超静定问题的关键是列出正确的变形几何条件

（2）在列出变形几何条件时，注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形。

同时，假设的内力符号应和变形一致。

2.2典型题解

一、计算题

1、变截面杆受力如图，P=20kN。

A1=400mm2，A2=300mm2，A3=200mm2。

材料的E=200GPa。

试求：

（1）绘出杆的轴力图；

（2）计算杆内各段横截面上的正应力；（3）计算A端的位移。

解：

（1）杆的轴力图如图所示，各段的轴力

，，

（2）各段横截面上的正应力为

（3）A端的位移为

二、计算题

图示三角托架，AC为刚性梁，BD为斜撑杆，问斜撑杆与梁之间夹角应为多少时斜撑杆重量为最轻？

解：

BD斜杆受压力为FBD，由平衡方程

得：

为了满足强度条件，BD杆的横截面面积A应为

BD杆的体积应为

显然，当时，V最小，亦即重量最轻。

三、计算题

图所示拉杆由两段胶合而成，胶合面为斜截面m-m。

其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力，许用切应力，拉杆的横截面面积。

试求最大拉力的数值。

解：

拉杆的横截面的应力

斜截面正应力强度条件：

拉力F应满足

斜截面切应力强度条件：

拉力F也应满足

所以最大拉力

四、计算题

图示为埋入土中深度为l的一根等截面桩，在顶部承受载荷F。

选荷载完全由沿着桩周摩擦力fs所平衡，fs按线性分布，如图所示。

试确定桩的总压缩量，以F，L，E，A表示。

解：

（1）求常数k。

桩周微段dy上的摩擦力

整条桩的摩擦力为

由平衡条件可知

即

（2）确定桩的总压缩量。

由图可知，桩任意截面上的轴力为

其中，微段dy的压缩量为

所以桩的总压缩量为

讨论应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时，在L长度内的轴力FN和截面积A都应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。

在解本题中，就应用了这种方法。

另外，由于杆上的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出。

五、图示一结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。

两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2。

试求杆EC和FD的内力。

解：

结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析。

（1）静力方面取隔离体如图，设两杆的轴力分别为FN1和FN2。

欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即

（1）

（2）几何方面刚性杆AB在力F作用下，将绕A点顺时针转动，由此，杆EC和FD产生伸长。

由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到C`和D`点。

设杆EC的伸长为CC`=Δ1，FD的伸长为DD`=Δ2，由图可知，它们有几何关系：

（2）

这就是变形谐调方程或变形条件。

（3）物理方程根据胡克定律，有

（3）

这是物理方程。

将式（3）代入式

（2），得

（4）

将方程（4）和方程

（1）联立求解，即得

结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例。

2.3练习题

一、概念题

1、选择题

（1）现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。

从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是（）

A1杆为钢，2杆为铸铁B1杆为铸铁，2杆为钢

C2杆均为钢D2杆均为铸铁

（2）桁架受力和选材分别如图A、B、C、D，从材料力学观点看，图（）较为合理。

（3）轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是（）

A1-1、2-2面上应力皆均匀分布

B1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布

C1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布

D1-1、2-2面上应力皆非均匀分布

（4）图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将（）

A平动

B转动

C不动

D平动加转动

（5）有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图所示，曲线（）材料的弹性模量E大，曲线（）材料的强度高，曲线（）材料的塑性好。

（6）材料经过冷作硬化后，其（）。

A弹性模量提高，塑性降低

B弹性模量降低，塑性提高

C比例极限提高，塑性提高

D比例极限提高，塑性降低

二、计算题

1、图为变截面圆钢杆ABCD，己知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，求杆的最大最小应力。

2、己知变截面杆，1段为d1=20mm的圆形截面，2段为a2=25mm的正方形截面，3段为d3=12mm的圆形截面，各段长度如图示。

若此杆在轴向力P作用下在第2段上产生的应力，E=210GPa，求此杆的总缩短量。

答：

3、一横面面积为102mm2黄铜杆，受如图2—51所示的轴向载荷。

黄铜的弹性模量E=90GPa。

试求杆的总伸长量。

答：

待计算

4、杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A=20mm2，材料弹性模量E=200GPa，泊松系数μ=0.3。

1．作内力图；　

2．求最大伸长线应变；

3．求最大剪应力。

答：

待计算

5、当用长索提取重物时，应考虑绳索本身重量。

如绳索的弹性模量为E，重力密度为γ

及许用拉应力为[σ]，试计算其空悬时的最大许用长度；并计算此时的总伸长变形。

答：

，

6、图示一三角架，在节点B受铅垂荷载F作用，其中钢拉杆AB长l1=2m，截面面积A1=600mm2，许用应力，木压杆BC的截面面积A2=1000mm2，许用应力。

试确定许用荷载[F]。

答：

许用荷载[F]=40.4kN

7、一板形试件，在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应变片，用以测量试件的应变。

试验时，荷载F增加3kN时，测得，求该试件的E，μ和G三个常数，试件的尺寸及受力方向如图所示。

答：

8、图示一三角架，在节点A受F作用。

设杆AB为钢制空心圆管，其外径DAB=60mm，内径dAB=48mm，杆AC也是空心圆管，其内、外径比值也是0.8，材料的许用应力。

试根据强度条件选择杆AC的截面尺寸，并求出F力的最大许用值。

答：

待计算

9、三角架