完整word版八年级下册数学二次根式知识点整理docxWord下载.docx
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（1）二次根式的非负性（a≥0，
a（a≥0）的最
a≥0）应用较多，如：
a+1+b-3
小值为0。
=0，则a+1=0，b-3=0，即a=-1，
b=3；
又如
x-a+a-x，则x的取
值范围是
x-a≥0，a-x≥0，解得
x=a。
（2）具有非负性的性质：
①a≥0；
（3）若a2+｜b｜+c=0，则a=0，
（
a）（a≥0）（
a）=a
的性质（a≥0）
b=0，c=0，即若几个非负数的和等
于0，则这几个非负数分别等于
0。
正用公式：
（5
=5；
）
逆用公式可以在实数
m+1
范围内分解因式，如
平方根的
=m+1；
逆用公式：
若a≥0，则a=
a2-5=a
2-（
5）2
平方等于
21
它本身。
a）
2=（
2），2=（
2）
=（a+
5）（a-
5）
a2
的性质
a2=｜a｜
一个数的
（1）正用公式：
=a（a≥0）
平方的算
或
术平方根
=｜3-π｜=3-π
=
等于这个
a=｜a｜
数的绝对
-a（a＜0）值。
公式：
3
3=
计算
（1）（
3
）2
（2）
（4
3）2
5
（4）-
（-
8）
（6）
x-2x+1+
（3-π2）化简形如a2的式
（2）逆用子时，先转化为
｜｜形式，再根据
3×
a
=3
a的符号去掉绝对
值号。
（3）
（-62）
x2-6x+9（1≤x≤3）
★（a）2（a≥0）与a2的区别与联系：
（a）2
表示的意义不
表示非负数a的算术平方根的
表示a2的算术平方根
同
平方
取值范围不同
a为任意实数
区
读法不同
读作“根号a的平方”或“a
读作“根号a2”或“a的平方
的算术平方根的平方”
的算术平方根”
被开方数不同
被开方数是a
被开方数是a2
别
运算顺序不同
先开放后平方
先平方后开方
运算结果，运算
（a）2=a，依据平方与开平
依据算术平方根的定义得到
依据不同
方互为逆运算得到
作用不同
（a）2=a（a≥0），正向运用可
a2=｜a｜，正向运用可以将根号
化简二次根式，逆向运用可以将任意
内的非负因式取算术平方根移到根
一个非负数写成一个数的平方的形
号外，逆用运用可以将根号外的非
式
负因式平方后移到根号内
联
系
①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方
②结果都是非负数；
③a≥0时，（a）2=a2
三、代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连
接起来的式子叫代数式。
例：
3，x，x+y，3x（x≥0），-ab，s（t≠0，x3都是代数式
t
注
（1）单独一个数或字母也是代数式；
（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）
（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不
等式都是关系式。
如2x+3＞3x-5是关系式。
x-2
下列式子：
①0；
②π③2+x=4；
④
＞1；
⑤2a+3b；
⑥
2-x（x≤2），其中
是代数式的有（
列代数式的常用方法：
（1）直接法：
根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）公式法：
根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：
将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
列代数式
（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（
（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（
典型例题剖析
题型一：
二次根式有意义的条件
当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）x+5-3-2x；
2x-1
（3）x-3+3+x
；
1-x
题型二：
利用二次根式的非负性化简求值
已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。
题型三：
二次根式非负性的简单应用
已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（
题型四：
利用a2=｜a｜并结合数轴化简求值
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：
a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2
题型五：
a2=｜a｜与三角形三边关系的综合应用
在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简
（a-b+c）2-2｜c-a-b｜
题型六：
逆用（a）2=a（a≥0）在实数范围内分解因式
在实数范围内分解因式：
（1）x4-4；
（2）x4-4x2+4
4
二次根式的乘除
1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个
单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
一、二次根式的乘法法则
a．b=ab（a≥0，b≥0）即：
二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
（2）推广①a．b．c=abc（a≥0，b≥0，c≥0）②ab．cd=acbd
③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
11
（1）28．7；
（2）4．256；
（3）4xy．y（4）627．（-23）
二、二次根式乘法法则的逆用
ab=a．b（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进
行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注：
（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，
公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如（-4）×
（-9）≠-4．-9。
（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：
abcd=a．b．c．d（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）
化简
（1）
300；
（2）（-14）×
（-112）；
200a5b4c3；
（4）
132-122；
（5）16x4+32x2
三、二次根式的除法法则
（a≥0，b＞0）即：
二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
b
（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。
若a，b都是负数，虽然b＞0，
有意义，但
a，b在实数范围内无意义；
若
b=0，则b无意义。
17
（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如
44
必须先化成
，以
免出现
44=
4×
这样的错误。
（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含
二次根式。
（ma）÷
（n
b）=（m÷
n）×
a÷
b），其中a≥0，b＞0，n≠0。
计算
（1）
48
÷
6；
（2）-27÷
（10
8
）；
72a2b
（3）4b
4ab÷
（-
4b
（4）
6b
四、二次根式除法法则的逆用
aa
b=（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足
a≥0，b＞0。
公式中的
-3
a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要b
≥0即可。
例如计算
-4
，不能写为
-4=
，而应写为
4=
=2
。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）
（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分
的二次根式时，先将其化为
子和分母同乘上一个适当的因式，
化去分母中的根号即可。
当被开方数是带分数时，应
先把它化成假分数。
6
81×
125
121b5
化简
（1）
59
144
（3）
16a2
五、最简二次根式的概念
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。
★化简二次根式的一般方法
方法
将被开方数中能开得尽方
的因数或因式进行开方
化去若被开方数中含有
根号带分数，应先将带
下的分数化成假分数
分母若被开方数中含有
小数，应先将小数化成分数
被开方数是多项式的要先进行因式分解
举例
8=
4×
=2
2，
x3y4=
x2y4．x=xy2
x
32
44
32
1=
=3或1=
==
=3
3×
33
33
0.9=
9
90
9×
10
10或0.9=
10
10010
10×
X5+2x3y2+xy4=
x（x4+2x2y2+y4）=x（x2+y2）2=（x2+y2）x
下列二次根式中哪些是最简二次根式？
哪些不是？
若不是，请说明理由。
y
32
22
（1）0.3；
（2）
5xy；
（3）
x；
（4）3
（5）
a+6a+9a
（6）
2（x-y）；
（7）
32n；
（8）3
拓展：
分母有理化：
二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去
分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子
和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含
．．．．．
二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。
分母有理化因式不
唯一，但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有：
a与a；
a+b与a+b；
a-b与a-b；
a+b与a-b；
ab+cd与ab-cd等。
7
把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）240；
（2）1.25；
120；
（4）75ab
二次根式乘除法法则成立的条件
（1）若x+3．x-3=（x+3）（x-3）成立，则（）
A、x≥3B、x≥-3C、-3≤x≤3D、x为任意实数
（2）如果
x-6
x-6成立，那么（
A、x≥6
B、0≤x≤6C、x≥0
D、x＞6
二次根式的化简
9a3
化简：
（1）12ab．
4；
（2）41-40
x+x
二次根式的乘法混合运算
a2-b2
a-b
计算：
（1）
22÷
28×
（-5
27）；
（2）2
6a×
3a+6b÷
b）
利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内
把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：
（1）5
5；
（2）-3
2；
（3）-2a
2a；
（4）-a
-a；
（5）x
x（x＜0，y＜0）
二次根式的大小比较
比较大小：
（1）72与311；
（2）-211与-35二次根式的加减
1、同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab
2、合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所
得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。
3、整式的加减：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
4、平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±
b）2=a2±
2ab+b2
5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得
的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
一、可以合并的二次根式
★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。
合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，
合并的依据是乘法分配律，如ma+na=（m+n）a
化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。
27
2a3
（1）27；
（2）-5
a；
3；
b（a＞0，b＞0）；
（5）b
27a3；
（6）2
243；
（7）
9ab（a＞0，b＞0）；
（8）3
ab（a＞0，b＞0）；
二、二次根式的加减
★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根
式进行合并。
★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出化简后被开方数相同的二次根式
合并被开方数相同的二次根式
—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变
，
可简记为：
化简→判断→合并。
★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：
运算
二次根式的乘除法
二次根式的加减法
系数
系数相乘除
系数相加减
被开方数
被开方数相乘除
被开方数不变
结果化成最简二次根式
先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式
（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；
（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；
（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数
是带分数的要化成假分数的形式。
（1）39x+6
4-2x
（2）（24-0.5+2
3）-（
8-
6）
二、二次根式的混合运算
★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：
先乘方、再乘除、最后加减，
有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。
★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活
运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。
3（6+
8）；
（2）（43-3
6）÷
（3）（
6+2）（
6-3）
（4）（5+7）（5-
7）；
（5）（5+2）2；
（6）（2
3-2）2；
二次根式的化简求值问题
已知a=1，b=1，求a2+b2+2
5-25+2
巧解二次根式的混合运算题
（1）（2
3-18）（12+32）；
（2）（
3-1）2+（
3+2）2-2（
3-1）（
3+2）
（3）（2+3-
5）2-（2-
3+5）2；
（4）aa-ab-
a-ab
a+b
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