线性方程组数值解法与非线性方程求解文档格式.docx
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种群的数量因素因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因
雌性个体的繁殖而改变，为方便起见一下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作bk（每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作sk（=1-dk,dk为一年的死亡率），收获量记作hk，则来年年龄k的种群数量xk应为x1=cigmabkxk,xk+仁skxk-hk
（k=1,2,3，…，n-1）。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就
是要使xk=xk（k=1,2,…,n）
1）若bk,sk已知，给定收获量hk，建立求各个年龄的稳定种群数量xk的模型（用矩阵、向量表示）
2）设n=5，b1=b2=b5=0,b3=5,b4=3,s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如要求h1~h5为500,400,200,100，100，求x1~x5.
3）要使h1~h5均为500,如何达到？
（3）1）小张夫妇以按揭的方式贷款买了1套价值为20万的房子，首付了5万元。
每月还款1000元，15年还清。
问贷款利率是多少？
2）某人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第
一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；
第二家银行
开出的条件是每年45000元，20年还清。
从利率方面看，哪家银行较优惠（简单地假设年利率=月利率*12）
（4）用迭代公式yk+1=byk（1-yk）计算序列yk（k=0,1,2，…）,其中b取1.3,2.8,3.2,3.5,3.55,3.7，任意取y0（0<
y0,1）,观察其收敛性。
3.实验步骤：
（1）1）记r1…rn上的电流为i…in。
设电源负极为电势为
0,电阻R1上对应节点电压为V1，对于任意节点，根据KCL定律列出方程：
Vk=Vk「Vk_Vk-Vk1
Rkrkrk1
而Ik
可得:
Ik
k1k
krk1
）Rk+土
Ik=2，3，
，n-1；
k=1时，
“&
」2R2
为与上式形式一致，化为
IV
II
「1
k=m（2乞m乞n-1）时
Im」R
mA
rm
（ImIm
rmrm1
）R「出Rm*
k=n时，
In」;
「Rn.
IRn
设以上方程组的矩阵形式为:
AR=b
则R=R1R2
IlIl
V
I2
r1
InT
k=n
I1
r2
In4Rn
I3
r3
1313
+
则R=R1R2
In4
rn4
IndI
Jrn
rn
In
-I2
l1l1
「1「2
l1
「3
1313
「3「4
「4
1nA
「nJ.
1nJ1nA
「nJ「
「n
2）代入参数:
h=l2二…=ln=1
75
「1二「2
二「=1，V=18，n=10，=
■-1
0.5
-1
-0.5
b-Li7.5
0.5T
输入程序:
>
n=10;
由题目要求设定
定义A的对角元素，除
定义（n,n）
对角元素
输入A的上次对角元素
输入A的下次对角元素
A11=sparse（1:
n-1,1:
n-1,-1,n,n）;
%
（n,n）
A12=spa「se（n,n,-0.5,n,n）;
A1=A11+A12;
A2=spa「se（1:
n-1,2:
n,0.5,n,n）;
A3=spa「se（2:
n,1:
n-1,0.5,n,n）;
A=A1+A2+A3;
b1=0.5*ones（n,1）;
%b的除第一项元素
b2=sparse（1,1,18,n,1）;
%b的第一项元素
b=b1-b2;
R=A\b
得到结果：
R=
26.0000
17.0000
9.0000
2.0000
-4.0000
-9.0000
-13.0000
-16.0000
-18.0000
-19.0000
所以各阻值为
2,-4,-9,-13,-16,-18,
（R1,R2,…，R10）=（26,17,9,
-19）
总电阻RO（即输入等效电阻）为
R0:
10
，又
n
1o二1k二nl
k丄
Ro=—=3.6（0）
得到0100.51丿
（2）
1）要使各年龄种群数量每年维持不变即~k=兀（k=1
「n
Xi=迟bkXk
」k=1
依题意得〔x^-SkXk
hk（k=1
用矩阵形式表示原方程组为：
X=kx2
h=hh2
……
S1_10•
・・■4・■
0S2-1■
a*++
a++
A=：
和J-
a+
++
0■■亠■■亠■―
0Sn4
b-1b2d…
2）代入题中数据
_0.4-1
-
0.6-1
A=0.6-1
0.4
_1
'
-1053
0」
5
3）要使h1~h5均为500,则
2,,n-1）
Ax=h
XnF
0T01
m
bn」矯
h=5004002001000T
h变为：
h=50050050050001
Ax二h
输入程序：
formatbank;
A1=[0.4,-1,0,0,0
0,0.6,-1,0,0
0,0,06-1,0
0,0,0,04-1
-1,0,5,3,0];
h仁[500,400,200,100,0]'
;
x1=A1\h1
formatbank;
A2=[0.4,-1,0,0,0
0,06-1,0,0
0,0,0.6,-1,0
0,0,0,0.4,-1
h2=[500,500,500,500,0]'
x2=A2\h2
A3=[0.6,-1,0,0,0
0,0,08-1,0
0,0,0,06-1
-1,0,120]；
h3=[500,500,500,500,0]'
x3=A3\h3
结果：
x1=
8481.01
2892.41
1335.44
601.27
140.51
x2=
10981.01
3892.41
1835.44
-259.49
x3=
13467.74
7580.65
5564.52
3951.61
1870.97
从x1可以看出，第5年龄段：
x5=140.5>
100=h5，说明收获量h5可以达到100。
从x2可以看出，x5为-259.49,但种群数量不可能为负数，在本
题所给条件下，无法使h1~h5均为500。
从x3可以看出，x5=1870>
500=h5,说明收获量h5可达到500,从而h1~h5均可达到500。
（3）
1）由题目已知条件，假设第i月月初待还贷款为，贷款月利率为r，则可列出：
aaaag
=150000=i*（1+r）-1000…=1000/r+（」-1000/r）
2）记第一家银行月利率为s,第二家银行年利率为t,贝U：
Xu
=4500/s+（-4500/r）
1）r=fzero（inline（'
1000/r+（150000-1000/r）*（1+r）M80'
）,1）
2））1=fzero（inline（'
4500/s+（500000-4500/s）*（1+s）A180'
）,1）r2=fzero（inline（'
45000/t+（500000-45000/t）*（1+t）A20'
ifr1<
r2/12
disp（'
第一家月利率小’）；
else
第二家月利率小’）；
end
实验结果：
r=0.0021
r1=0.0059r2=0.0639第二家月利率小
（4）
n=20;
y=1:
n;
y
（1）=0.5
fork=1:
（n-1）
y（k+1）=1.3*y（k）*（1-y（k））;
end;
y;
y=
Columns1through12
0.50000.32500.28520.26500.2532
0.24580.24100.23780.23560.23410.2331
0.2324
Columns13through20
0.23190.23160.23130.23120.2310
0.23100.23090.2309
4.实验数据记录及分析（或程序及运行结果）：
（结果已在上一步中给出）
通过这次实验，是我对线性方程和非线性方程有了更进一步的认识，并且对于它们的解法也有了更深入的了解。
它们可以解决很多实际问题。
所以熟练的掌握它们对于解决现实中的问题有很大的帮助。
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