双曲线的渐近线.docx

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双曲线的渐近线

双曲线的渐近线

　　双曲线为什么有渐近线？

作者：

李建军中学数学教学参考2006年06期《普通高中数学课程标准（实验）》在介绍课程的基本理念时强调：

倡导积极主动、勇于探索的学习方式。

　　学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。

　　这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。

　　强调本质，注意适度形式化。

　　高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。

　　数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

　　而概念作为数学的基础，其教与学的过程正是体现这些理念的最重要的课题之一。

　　那么在教学过程中如何去体现这些理念，本文就结合教学中的实例谈谈自己的体会。

　　在学习双曲线的几何性质之前，我安排学生预习，并要求类比椭圆的研究方法，尽量先独立探索，再和小组的其他同学讨论，关键是能够提出自己的问题、疑惑并尝试解决。

　　以下就是课堂上师生的部分发言。

　　教师：

今天在上课之前请同学们将自己预习的成果共享一下。

　　学生1：

当x=0时，方程学生2：

我想这是为了和椭圆的短轴对立。

　　学生3：

我觉得更多地是为了引进双曲线的渐近线这个概念。

　　在一阵短暂的讨论之后，多数同学基本认可了学生3的观点，又一个同学站了起来，面带着一点不好意思的笑容：

可是我不明白，为什么双曲线就有渐近线，而椭圆就没有？

在同学们的一阵笑声中，我却愣住了：

这个问题以前没有学生问过，自己也没做过深入的思考，不过我马上肯定了这个同学的问题提得好并反问，将它还给了所有的同学，这一下，轮到同学们愣住了，随即传出一阵乱七八糟的说法：

书上没说啊……我也是看书才知道有的，昨天为了弄清书上的证明还费了老大的劲儿……讨论是进行不下去了。

　　我也只好临场发挥了；看来我们只好从头开始了。

　　以下就是根据我和学生共同讨论的结果。

　　1.对称性：

和椭圆的完全一样。

　　2.范围：

由方程，这也和椭圆相似。

　　不过和椭圆不一样的是这里没有y的取值范围。

　　是不是就没有研究的价值了呢？

学生5：

由可以取遍所有的非负实数，也就是说y∈R。

　　学生6：

还可以得到，不过我还没想出这意味着什么？

学生7：

平面区域！

说明点（x,y）位于某个区域内。

　　通过回忆、讨论，大家形成了一致意见：

双曲正当我和同学们想来一起解决这个问题的时候，下课铃响了，看着同学们既相信又疑惑的眼睛，我布置了这节课的作业；系统研究双曲线的几何性质。

　　启示一：

概念的教学要提供相应的问题情境，要让学生清楚概念的来源及形成过程。

　　很多数学概念从形成的成熟也是经历了漫长的过程的。

　　现在看来美不胜收的一些重要的数学理论和方法，在一开始往往是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的，但由于蕴涵着创造性的思想，却又最富有生命力和发展前途，经过许多乃至几代数学家的努力，有时甚至经过长期的激烈论争，才逐步去粗取精、去伪存真，使局势趋于明朗，最终出现了现在为大家所公认、甚至写进教科书里的系统的理论。

　　我个人认为，双曲线的渐近线对同学们来说是难点，其难在大家对这个概念的来源没有深切的体验，而多数时候我们认为：

渐近线方程为的双曲线方程可设为的形式。

　　也只是从结果到结果的一个证明，并没有给学生提供一个产生过程的体验，正所谓知其然而不知其所以然。

　　启示二：

概念的教学在可能的情况下要放手让学生自己去提出问题、解决问题。

　　本节课正是从一个看似简单亦很可笑的问题：

为什么会由一个虚轴出发，一步一步地深入，整个过程呈现一种螺旋式的前进趋势。

　　学生从开始逐步获得无限接近的直观感觉，进而形成渐近线的印象，从理论证明中获得常数1即使换成A也无法改变这种无限接近的事实后，就慢慢认识到了渐近线这一概念的本质，从而从特殊升华到一般并将其推广。

　　学生在这个过程中不但体验了数学概念的本质，也体会了学习数学的乐趣，更体会了学习数学的方法。

　　这对学生将是受益无穷的。

　　启示三：

概念的学习要有足够的时间保证。

　　本节课看起来没有完成应该完成的教学任务，而且布置的作业的几何性质，在第二天又整整用了一节课才得以完成。

　　但在这个过程中，学生通过这一个例子结合教材上的进行比较，有效地领会了双曲线的各个概念的本质，对各种易错问题进行了一种体会，这也是简单地做一两道题所达不到的一种效果。

　　作者介绍：

李建军湖北长阳县一中曲线的渐近线曲线的渐近线◇刘春三、曲线的水平渐近线摘要曲线的渐近线分为：

斜渐近线、水平渐近线和垂直渐近线。

　　在高等数学的学习中，无论是本科生还是专科生对的教学实践，对渐近线定义中的要点强化理解并辅以函数图像（可以用描点法作图）让学生产生直观联想。

　　关键词一定义若ｆｉｘ）ｂ，或ｆｘ）＝ｂ，或厂）ｂ，ｂ为常曲线渐近线的学习都有一定难度，普遍感到有困难。

　　经过多年数。

　　则称直线ｙ＝ｂ为曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的水平渐近线。

　　定义要点是：

（１）极限过程是Ｘ一＋ｏ。

　　或者Ｘ—一ｏｏ或者；（２）极限结果ｂ是常数。

　　例题３：

考察ｆ（ｘ）＝ａｒｃ１￣ａｎｘ的渐近线ｉａｒａｒｃｔｌｔｎ＝一解：

ｘｌｊｍ￣．，ｆ（）．ｌｉａｒａｔ＇Ｑｔａｎ一＿２，一ｌｉａｒｆ（）＝ｌ２～曲线渐近线要点求法、曲线渐进性的定义３定义：

若曲线Ｃ上的动点Ｐ沿着曲线无限地远离原点时，点Ｐ与某一固定直线Ｌ的距离趋于零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线。

　　所以直线ｙ＝与ｙ＝是曲线ｙ＝ａＦｃｔａｎｘ的水平渐近线。

　　见图例题４：

考察ｆ（ｘ）＝的渐近线二、曲线的斜渐近线定义：

若ｆ（ｘ）满足：

（１）＝ｌｉｍＰ‘＝０解：

因为…ｌｉｍ厂（）＿…所以直线ｙ＝ｏ是Ｙ＝ｅ。

　　的水平渐近线。

　　见图４ｙ，ｒ——（２）定义的要点是：

Ｌ，ｒ（）一６ＹＬ则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）有斜渐近线ｙ＝ｋｘ＋ｂ。

　　（１）极限过程是Ｘ一＋ｏｏ（ｘ一一ｏ。

　　、Ｘ—ｏ。

　　）；（２）ｋ、ｂ是常２．ｏｉ数；（３）分别是对，厂（）一求极限。

　　例题１：

考察厂（户ｌｌ，，，的斜渐近线万ｒ—－——厂：

ｌｉｍ一５－一ｘｚ～ｏＸ一１２解：

因为（）一（）ｘ］＝：

ｌｉａｒ等。

　　Ｊ＝￣ｍｉ３ｘ＋５，《音＋而３所以函数的斜渐近线是：

ｙ—ｘ＋０图像见图１．图３图４四、垂直（铅直）渐近线定义：

ｉｍ厂（）

（一），例题２：

考察＿厂（）＝＝一一ｘ＋ｌ的渐近线解：

因为１ｉ…厂（）＝＋（一或者，（）＝＋（＿。

　　。

　　）或者ｌｉ…：

二±！

则ｘ＝ｘ。

　　是函数ｙ＝ｆ（ｘ）的垂直渐近线。

　　定义的要点是：

（１）ｘ＝ｘ。

　　是ｆ（Ｘ）的间断点；（２）极限过程是ｘ—ｘ或者ｘ一或者Ｘ—ｘｏ；（３）极限结果是＋ｏｏ或一ｏ。

　　；（４）结论是ｘ＝ｘ是ｆ（ｘ）的垂直渐近线。

　　ＮＮ＿５：

考察厂户的垂直渐近线（）一ｃ√＝＝一ｙ：

：

！

互Ｉ＿１＋（＿ｔ－ｔａ＋ｆ。

　　（ｆ）一ｌｌｉｍ——－＝＿Ｉ—————————一——＝一．所以，函数有斜渐近线：

ｙ＝ｘ一图像见图２解：

Ｉ￣ｘ＋３＝Ｏ得ｘ＝－３是间断点；一｜Ｙ／ｙ．Ｌｌｉｍ，）＝！

ａｒｉ鼍一１’，所以Ｘ－－３是ｆ（Ｘ）的垂直渐近线。

　　见图１。

　　五、练习题：

求下列函数的渐近线＼．＼／—｛。

　　图１＼／刍一Ｉ一２、Ｙ，ｙ南一ｌ；４、ｙ唱１＋１３ｘ一４ｘ＋５鬲；。

　　、ｙ了注意：

一个函数若有几种渐近线，均得求出。

　　（作者单位：

重庆市工业高级技工学校）２０１４．Ｎ０１６双曲线的渐近线教案§2.3.3双曲线的渐近线学习目标知识与能力：

掌握双曲线的渐近线方程并能熟练求解过程和方法：

通过学习，培养学生的观察、归纳、分析能力情感态度与价值观：

引导学生通过类比思想发现共渐近线的双曲线方程的特点重点、难点：

双曲线的渐近线方程及对共渐近线双曲线系方程的求解教学方法：

启发引导式教学安排：

1课时教学过程：

一、课前回顾双曲线几何性质回顾表格（学生填写）二、知识归纳

（1）若双曲线方程为（a>0,b>0），则该双曲线的渐进线方程为。

（2）若双曲线方程为（a>0,b>0），则该双曲线的渐进线方程为。

　　2、等轴双曲线

（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线

（2）等轴双曲线的渐进线方程为y=±x，且两条直线互相垂直。

　　例1：

若等轴双曲线的一个焦点是F（-6,0），则它的方程为分析，学生求解）3、共渐近线的双曲线系方程（学生讨论）

（1）与双曲线（a>0,b>0）共渐近线的双曲线系方程可设为。

　　（老师

（2）与双曲线（a>0,b>0）共渐近线的双曲线系方程可设为例2求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程.解：

设所求双曲线方程为将点代入，得则所求双曲线方程为三、课堂练习1.双曲线A.B.的渐近线方程为（C）C.D.2.已知，直线x是双曲线的一条渐近线，则3.已知双曲线的渐近线方程为x，求此双曲线的离心率。

　　四、拓展延伸（高考链接）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（A）A.B.C.D.五、作业课本习题2.3A组3,6关于双曲线的渐近线的学习关于双曲线的渐近线的学习浙江省永康市古山中学（321307）吴汝龙在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。

　　在学习这部分内容时，应注意以下几点：

（1）明确双曲线的渐近线是哪两条直线。

　　过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线。

　　画双曲线时，应先画出它的渐近线。

（2）理解渐进两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。

　　也可以这样理解：

当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0。

　　（3）掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法。

　　最简单且实用的方法是：

把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐