数学建模最短时间路径Word文件下载.docx

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（看图时，以上下为北南，左右为西东，那么城市路线分为南北路线、东西路线）

V11v23v31v56v6

223

v42v74v8

（图一）

二、问题分析

本问题是最短路模型，所求为从城市的一定点（入口点）到另一定点（出口点）所需时间最少路径。

由于每次转弯时要耽搁一定时间为3，所以必须对图形及数据进行等效处理易便找出最短时间路径。

于是就有以下猜想和分析看法：

1.是否可以把转弯的的时间附加在某条路线上，假如可以的，那么应该加在出口点的那几条路线上（例如图一的v7---v8与v6---v8这两条路）还是其他路线上.

2.若加在出口点的那几条路线上，那么应在v7---v8加6而在v6---v8应加3或15（5个拐弯）这样就可以解决此题，但是对于稍微复杂一点交通路线图这种做法就不科学了。

3.由于每次拐弯要附加一定的时间消耗，而城市路线以2条东西路线为主，南北3条路线使东西2条路线相同，那么是否可以把转弯的时间统一加在南北路线上，经分析是可行的，而且有一定的规则（具体见：

五、模型的建立与求解）

问题的关键:

1.找到把转弯时间附加在南北路线的内在规则。

2.找到一个等效的图形（等效的办法）使得求解更为方便。

三、模型假设

1.无论何时交通路线是可行的。

什么不是9（最后标记值），这是由于v4并非规定的出口点，但它按图一追踪所花时间依然是6，所求路径依旧是最少时间路径。

六、模型推广

一、对问题的进一步的讨论

对于题中简单图形进行分析，通过把转弯时所要浪费的时间附加再南北路线上进行处理，可以求的一定点到另一定点所需时间最少。

但是否能按照以上的处理方法对复杂图形也适应，进而有一定的猜疑，于是将图二变复杂，变为图三、图四：

（图三）

v11v23v31v43v5

v6v7v8v9v10v11

11512

2223

v122v133v142v15

（图四）

按照模型第五步（五、模型的建立与求解）中对转弯时所花费的时间的等价转换规则对图三、图四进行处理（见附件2.1），发现图三是完全适合哪种变化处理的.但是对于图四有一定不足（见附件2.2）。

这时对图三、图四进行比较发现：

图三的任意2条南北路线没共线的，而图四里L2,6与L6,12这两条路线共线。

此模型对于图四有一定不足，但仍可以用起求解，（方法见附件2.2）。

七、模型的应用

本模型可用于可以描述为:

多数点（目的地或其他元素）在几条主要的平行线上（可以看似平行的直线上），而其他的点（目的地或其他元素）所在的线与这几条平行的线（主线）相交且其他的线互不共线，求一点到另一点的最值问题。

八、模型评价

模型的优点：

能够很快的求的一顶点到规定的另一顶点所花费的最少时间，给出像这种转弯时要附加浪费一定时间或其他东西的模型题的一个想法。

对于南北路线无相连的（共线的）而东西路线多数共线的（平行的几条东西主线）。

模型的缺点：

现实中南北路线（相对来说的）在一条线上的城市路线是相对较多的，此模型对于像图四这类有L2,6与L6,12两条共线的南北路线有一定偏差，若要对图四这样的路径求一点到其他点所花最少时间（转向时附加3）就得对图形分解，在适当运用此模型还是可行的。

九、参考文献

[1]赵静、但琦，《数学建模与数学实验》，北京：

高等教育出版社,2009.

十、附录

1、问题的matlab程序

M=1000;

w=[01MMMMMM

1038MMMM

M30M1MMM

M8M0MM2M

MM1M068M

MMMM60M6

MMM28M04

MMMMM640];

l＝01495111115

z=11223547

2.路模型推广

2.1对图三、图四的处理

若v1为入口点v8出口点

v11v23v31v43v5

6+26+26+3

v61v7v8v9v10v11V12

12152

6+23+26+26+3

v132v143v152v16

（图三、一）

6+23+26+3

11512

6+26+26+26+3

（图四、一）

2.2对上两图（主要是图四）分析：

对于（图三、一）我们可以看出v1到v8不管那条路径处理都是对的。

对于（图四、一）我们可以看出v1到v8从有些路径走是对的，但从另一些路径走却是不正确的。

例如：

v1--->

v2--->

v3—>

v4—>

v8这条路径（图像处理的正确），而对于v1--->

v6—>

v12—>

v13--->

v7--->

v8这条路径（图像处理的不正确），因此所建模型对此不太适应，但是可以按以下步骤求的：

（1）若先把L6,12（图四、一中的）这条路去掉，就可以运用此模型进行解答，求的一条最短时间路径（记为：

P）。

（2）在把L2,6（图四、一中的）这条路去掉，就可以运用此模型进行解答，求的一条最短时间路径（记为：

Ｑ）

（3）在把L6,7（图四、一中的）这条路去掉，就可以运用此模型进行解答，求的一条最短时间路径（记为：

Ｗ）

（4）对　Ｐ．Ｑ．Ｗ，三条路径进行比较，便可找到最短时间路径。

v1为入口点v8出口点（图三、一）的邻接矩阵Ａ

M=1000;

A=[01MMMMMMMMMMMMMM

103MMM8MMMMMMMMM

M301MMMMMMMMMMMM

MM103MMM8MMMMMMM

MMM30MMMMM9MMMMM

MMMMM01MMMMM8MMM

MMMMM101MMMMMMMM

MMMMMM102MMMMMMM

MMM8MMM201MMMMMM

MMMMMMMM105MMM8M

MMMM9MMMM502MMMM

MMMMMMMMMM20MMM9

MMMMM8MMMMMM02MM

MMMMMM5MMMMM203M

MMMMMMMMM8MMM302

MMMMMMMMMMM9MM20];

l=01458109101213171918202123

z=11234727895116131015

P=[01MMMMMMMMMMMMM

103MM8MMMMMMMMM

M301MMMMMMMMMMM

MM103MM5MMMMMMM

MMM30MMMM9MMMMM

M8MMM01MMMMMMMM

MMMMM101MMMM8MM

MMM5MM105MMMMMM

MMMMMMM501MMM8M

MMMM9MMM102MMMM

MMMMMMMMM20MMM9

MMMMMMMMMMM02MM

MMMMMM8MMMM203M

MMMMMMMM8MMM302

MMMMMMMMMM9MM20];

l=014589101015161820182123

z=1123426489101371314

w=[01MMMMMMMMMMMMM

103MMMMMMMMMMMM

MMMMM01MMMM8MMM

MMMMM8MMMMM02MM

l=0145812111015161820192224

z=112347848910671314

W=[01MMMMMMMMMMMMM

M8MMM0MMMMM2MMM

MMMMMM01MMMM8MM

MMMMM2MMMMM02MM

l=014589111015161811131618

z=1123428489106121314