最全面初中数学二次函数难题初中数学中考二次函数完整版Word文档格式.docx
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mx
（1）求证：
方程①有两个实数根；
（2）求证：
方程①有一个实数根为1；
（3）设方程①的另一个根为
x1，若m+n=2，m为正整数且方程
①有两个不相等的整数根时，确定关于
x的二次
函数y=mx2﹣（2m+n）x+m+n的解析式；
（4）在（3）的条件下，把
Rt△ABC放在坐标系内，其中∠
CAB=90°
，点A、B的坐标分别为（
1，0）、（4，0），
BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点
C落在抛物线上时，求
△ABC平移的距离．
5．某商场以80元/件的价格购进西服
1000件，已知每件售价为
100元时，可全部售出．如果定价每提高
1%，则
销售量就下降
0.5%，问如何定价可使获利最大（总利润
=总收入﹣总成本）？
6．（2004?
长沙）如图，等腰梯形
ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°
，P为下底BC上一点（不与
B、
C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．
△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰
AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点
P，使得DE：
EC=5：
3？
如果存在，求
BP的长；
如果不存在，请说明理由．
7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP
交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，
（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；
（3）是否存在点
P，使△APE沿PE翻折后，点
A落在
BC上？
证明你的结论．
2﹣2x﹣3与x轴交
A、B两点（
A点在
B点左侧），直线l与抛物线交于
A、
8．（2007?
义乌市）如图，抛物线
C两点，其中
C点的横坐标为
2．
（1）求A、B两点的坐标及直线
AC的函数表达式；
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（2）P是线段AC上的一个动点，过
P点作y轴的平行线交抛物线于
E点，求线段
PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在
如果存在，求出所有满足条件的
x轴上是否存在点
F，使A、C、F、G
这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？
F点坐标；
9．如图，在直角坐标系
C为抛物线上一点，且直线
（1）求A、C的坐标；
xoy中，抛物线
y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（其中
A在原点左侧，B在原点右侧），
AC的解析式为
y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°
，tan∠COB=2．
（2）求直线AC和抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点
D，使得四边形
ABCD为梯形？
若存在，
请求出点D的坐标；
若不存在，请说明理由．
x+bx+2交x轴于A、B两点（点B在点A的左侧），交y轴于点C，其对
10．（2006?
达州）如图，抛物线
y=﹣
称轴为x=，O为坐标原点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
∠ACB是直角；
（3）抛物线上是否存在点
由．
P，使得∠APB为锐角？
若存在，求出点
P的横坐标的取值范围；
若不存在，请说明理
11．（A）抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和
x=2时，y
M．
的值相等．直线
y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是
4，另一点是这条抛物线的顶点
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段
设OQ的长为
BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM
t，四边形PQOC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量
上运动（点P不与点B、M重合），
t的取值范围．
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（3）对于二次三项式
x﹣10x+36，小明同学作出如下结论：
无论
x取什么实数，它的值都不可能等于
11．你是否
同意他的说法？
说明你的理由．
2﹣bx﹣5与
x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点
12．（2012?
赤峰）如图，抛物线
C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线
（1）求抛物线的解析式；
AF交y轴于点E，|OC|：
|OA|=5：
1．
（2）求直线
（3）在直线
AF的解析式；
AF上是否存在点
P，使△CFP是直角三角形？
若存在，求出
P点坐标；
若不存在，说明理由．
2﹣11nx+24n（n＜0）与x轴交于B、C
两点（点
B在点C的左侧），抛物线上另有一点
13．如图1，抛物线
A在第一象限内，且∠
y=nx
BAC=90°
．
（1）填空：
点
B的坐标为（
），点
C的坐标为（
）；
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．
①求此时抛物线的解析式；
②如图2，将△OAC沿
x轴翻折后得△ODC，点
M为①中所求的抛物线上点
A与点C两点之间一动点，且点
M
的横坐标为
m，过动点
M作垂直于
x轴的直线
l与CD交于点N，试探究：
当
m为何值时，四边形
AMCN的面积
取得最大值，并求出这个最大值．
y=ax+bx+c与
14．（2008?
濮阳）如图，抛物线
x=O和x=4时，y的值相等．直线线的顶点M．
x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与
y轴交于点C，且当
3，另一点是这条抛物
y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是
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（2）P为线段OM上一点，过点
P作
PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与
点M重合），设OQ的长为t，四边形
PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量
t的取值范围；
（3）随着点P的运动，四边形
PQCO的面积S有最大值吗？
如果
S有最大值，请求出
S的最大值，并指出点
Q的
具体位置和四边形
PQCO的特殊形状；
S没有最大值，请简要说明理由；
（4）随着点P的运动，是否存在
t的某个值，能满足
PO=OC？
如果存在，请求出
t的值．
15．（2002?
哈尔滨）如图，抛物线
x=0和x=2时，y的值相等．直线线的顶点M．
y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点
B左侧），与y轴交于点C，且当
y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是
4，另一点是这条抛物
BM上一点，过点
P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM
N的坐标；
t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量
（3）在线段BM上是否存在点
N，使△NMC为等腰三角形？
请求出点
C1：
y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点
B的左侧），点B的
16．如图，已知抛物线
横坐标是1；
（1）求a的值；
（2）如图，抛物线
C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线
C2向右平移，平移后的抛物线记为
C3，抛物线C3的
顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线
C3的解析式．
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17．如图，已知△ABC内接于半径为
长分别是抛物线y=x2+2mx+m2﹣9与
4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为
x轴的两个交点的横坐标．
F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的
（2）是否存在直线
l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线
l的距离是2？
如果存在，请求出直线
l的解
析式；
y=﹣x+bx+c的图象经过
18．（2011?
永州）如图，已知二次函数
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x为何值时，y＞0？
A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．
（3）在x轴上方作平行于
l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点
C，D作x轴的
垂线，垂足分别为
F，E．当矩形CDEF为正方形时，求
C点的坐标．
19．（2009?
江西）如图，抛物线
顶点为D．
y=﹣x+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点
B的左侧），与
y轴相交于点
C，
（1）直接写出
A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点
E，点P为线段BC上的一个动点，过点
P作PF∥DE交抛物线于点
F，
设点P的横坐标为
m；
①用含m的代数式表示线段
②设△BCF的面积为S，求
PF的长，并求出当
PEDF为平行四边形？
S与m的函数关系式．
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2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（
A点在B点左侧），与
y轴交于点D．
20．如图，抛物线
（1）求点
（2）若点
A、B、D的坐标；
C在该抛物线上，使
△ABD≌△BAC．求点
C的坐标，及直线
（3）P是
（2）中线段AC上的一个动点，过
PE长度的最大值．
2﹣（m+3）x+m2﹣12与x轴交于A（x，0）、B（x，0）两点，且x＜0，
21．（2004?
哈尔滨）已知：
抛物线
y=﹣x
1
x2＞0，抛物线与
y轴交于点
C，OB=2OA．
（2）在x轴上，点A的左侧，求一点
E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线
EC经过
（1）中抛物线的顶点
D；
（3）过
（2）中的点E的直线y=
与
（1）中的抛物线相交于
M、N两点，分别过
M、N作x轴的垂线，垂足
x+b
为M′、N′，点P为线段
MN上一点，点
P的横坐标为
t，过点P作平行于y轴的直线交
（1）中所求抛物线于点
Q．是
否存在t值，使
S梯形MM'
N'
N：
S△QMN=35：
12？
若存在，求出满足条件的
t值；
若不存在，请说明理由．
c1：
y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点
B的左侧），与y轴交于点
C．点
22．（2008?
莆田）如图，抛物线
点E．
P为线段
（1）求
BC上一点，过点
P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线
c1
A、B、C三点的坐标；
（2）当点P在线段BC上运动时，求线段
PE长的最大值；
（3）当PE为最大值时，把抛物线
c1向右平移得到抛物线
c2，抛物线c2与线段BE
交于点M，若直线CM把△BCE
的面积分为
1：
2两部分，则抛物线
c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线
c2？
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y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点
23．在平面直角坐标系
xOy中，抛物线
C，顶点为D，且点
（1）求抛物线及直线
B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）．
AC的解析式；
上的两点，且∠AEO=∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点
（2）E、F是线段
MF=DE时，在x
M，交x轴于点N．当
AC
轴上是否存在点
P，使得以点
P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？
若存在，请求出点
P的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠
QCO与∠BCO的大小（直接写出结果，不要
求写出求解过程，但要写出此时点
Q的横坐标
x的取值范围）．
24．（2011?
沈阳）如图，已知抛物线
y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（
A点在B点左侧），与y轴交于点
C（0，
﹣3），对称轴是直线
x=1，直线
BC与抛物线的对称轴交于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为
y轴上一动点，CE的垂直平分线交
CE于点F，交抛物线于
P、Q两点，且点
P在第三象限．
①当线段
AB时，求tan∠CED的值；
PQ=
②当以点
C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点
P的坐标．
温馨提示：
考生可以根据第（
3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
x+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点
25．已知，如图，抛物线
C，O为
坐标原点，OB=4．
（1）直接写出点B，C的坐标及b的值；
（2）过射线CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、
x轴于M、T两点，设点
N的横坐标为t．
①当0＜t＜4时，求线段
MN的最大值；
②以点N为圆心，
NM为半径作⊙N，当点
B恰好在⊙N上时，求此时点
M的坐标．
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26．如图，抛物线
C，抛物线的顶点
y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是﹣
M在直线y=3x﹣7上．
1，3（点A在点B左侧），与y轴交于点
2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点
27．如图，抛物线
（1）求这条抛物线的顶点
（2）经过点（0，4）且与
D的坐标；
x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（
M在
N的左侧），以MN为
直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；
（3）上下平移
（2）中的直线
请说明理由．
MN，以
MN为直径的⊙P能否与x轴相切？
如果能够，求出⊙
P的半径；
如果不能，
y=x+bx+c的图象的对称轴为直线
28．（2011?
攀枝花）如图，已知二次函数
x=1，且与
x轴有两个不同的交点，其
中一个交点坐标为（﹣
1，0）．
（1）求二次函数的关系式；
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（2）在抛物线上有一点
A，其横坐标为﹣
2，直线l过点A并绕着点
A旋转，与抛物线的另一个交点是点
B，点B
的横坐标满足﹣
2＜xB＜
，当△AOB的面积最大时，求出此时直线
l的关系式；
不存在说明理由．
C使△AOC的面积与
（2）中△AOB的最大面积相等？
C的横坐标；
若
+4x﹣2与x轴交于A、B，直线l：
y=﹣
y=﹣x
29．如图1，抛物线
x+b分别交x轴、y轴于
S点和
C点，抛
物线C1的顶点E在直线l上．
（1）求直线l的解析式；
（2）如图2，将抛物线
N两点，且tan∠EAB=
C1沿射线ES的方向平移得到抛物线
C2，抛物线
C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M、
C1平移的距离；
?
tan∠FNM，求抛物线
（3）将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线
C3，抛物线C3与x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），使得△PEF
为直角三角形，求抛物线
30．（2009?
湘西州）在直角坐标系
y=x+bx+c与x轴交于两点
A、B，与
y轴交于点C，其中A在
B、C．
B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线y=kx沿y轴向上平移
（1）求k的值；
（2）求直线BC和抛物线的解析式；
（3）求△ABC的面积；
3个单位长度后恰好经过点
（4）设抛物线顶点为
D，点P在抛物线的对称轴上，且∠
APD=∠ACB，求点P的坐标．
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参考答案与试题解析
M，PN⊥y轴于点
N，线段PM、PN分
考点：
专题：
分析：
反比例函数综合题。
动点型。
由于P的坐标为（a，
），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么
的坐标和M点的坐标都可以
a表示，那么
BN、
N
NF、BN的长度也可以用
AF，BE，最后即可求出
a表示，接着
AF?
BE．
F点、E点的也可以
a表示，然后利用勾股定理可以分别用
a表示
解答：
解：
∵P的坐标为（a，
），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，
），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1﹣
，
在直角三角形
BNF中，∠NBF=45°
（OB=OA=1，三角形
OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1﹣，
∴F点的坐标为（1﹣
），
同理可得出
E点的坐标为（
a，1﹣a），
∴AF2
2，
=（﹣
）+（
）=
，BE=（a）+（﹣a）=2a
2a=1，即AF?
BE=1．
BE=
故选C．
本题的关键是通过反比例函数上的点求的值．
点评：
P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所
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与直线y=x﹣2交于
A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达
B．若使点
P运动的总路径最短，则点
分析：
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