6A文初中圆题型总结Word格式文档下载.docx

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（2）如图，AC，BD是⊙O的两条弦，且ACBD，⊙O的半径为

，求AB2＋CD2的值。

【2】

（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

二、直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系有三种:

⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.

⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.

2、直线与圆的位置关系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

4.和圆有关的比例线段

（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；

（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5.三角形的内切圆

（1）有关概念：

三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

6、圆的切线的性质与判定。

（甘肃兰州）如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，，垂足为，平分．

（1）求证：

是⊙O的切线；

（2）若，求的长．

（1）证明：

连接，平分，．

　　．．

　　．是⊙O的切线．

（2）是直径，．

　　平分，．

　　在中，．

　　的长是1cm，的长是4cm．

【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（广东茂名）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．

∠ADB=∠E；

（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？

请说明理由．

　　（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分）

（1）在△ABC中，∵AB=AC，

　　∴∠ABC=∠C．

　　∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，

　　∴∠E=∠C．

　　又∵∠ADB=∠C，

　　∴∠ADB=∠E．

（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．

理由是：

当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O．

　　又∵DE∥BC，∴AD⊥ED．

　　∴DE是⊙O的切线．

　　（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F，

　　则AF⊥BC，且BF=BC=3．

　　又∵AB=5，∴AF=4．

　　设⊙O的半径为，在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3，

　　　∴　＝3＋（4－）

　　解得＝，∴⊙O的半径是．

【点评】本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.

【例4】已知：

如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：

PC＝1：

2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。

图7

证明：

连结CB

∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B

∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB

∴AC：

BC＝PA：

PC

∴

∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°

又∵CD⊥AB

∴AB＝AD＋DB＝5

∵

【例5】已知：

如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°

，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。

求证：

（1）AC是⊙D的切线；

（2）AB＋EB＝AC

分析：

（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。

因此要作DF⊥AC于F

（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。

（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足

∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF

∴点D到AC的距离等于圆D的半径

∴AC是⊙D的切线

（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，

∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF

∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD

∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC

∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC

小结：

有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；

若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。

此例题属于后一类

【例6】已知：

如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。

由已知可得PE2＝PA·

PB，因此要证PF2＝PA·

PB，只要证PE＝PF。

即证∠PFE＝∠PEF。

证明一：

如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，

∴∠CED＝90°

∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D

∵PE为⊙O切线，E为切点

∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG

∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

∵PE2＝PA·

PB，∴PF2＝PA·

PB

证明二：

如图9－1，连结AC、AE

图9－1

∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC

∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C

∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC

∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

【例7】

（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD

图10图10－1

①∠BAD＝∠CAG；

②AC·

AD＝AE·

AF

（2）在问题

（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。

①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；

②问题

（1）中的两个结论是否成立？

如果成立，请给出证明；

如果不成立，请说明理由。

（1）①连结BD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠AGC＝∠ADB＝90°

又∵ACDB是⊙O内接四边形

∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG

②连结CF

∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB

∴∠DAE＝∠FAC

又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC

∴，∴AC·

（2）①见图10－1

②两个结论都成立，证明如下：

①连结BC，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°

∴∠ACB＝∠AGC＝90°

∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC

∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）

∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，

∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE

∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴

∴AC2＝AE·

AF（即AC·

AF）

说明：

本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。

【1】

（第22题）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

（第23题）如图，在△ABC中，∠C=90°

，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：

AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：

CD=HF．

【3】

（第25题）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．

△ABD≌△CDB；

（2）若∠DBE=37°

，求∠ADC的度数．

【4】

（第24题）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．

（1）求∠D的度数；

（2）若CD=2，求BD的长．

【5】

（第27题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°

，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．

DE是半圆⊙O的切线．

（2）若∠BAC=30°

，DE=2，求AD的长．

三、圆与圆的位置关系的考查

　如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图

（1）、

（2）、（3）所示．其中

（1）又叫做外离,

（2）、（3）又叫做内含．（3）中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．

如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切,（5）又叫做内切．如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图（6）所示．

【例1】　（甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（　　）

　　A．内含　　　B．相交　　　C．相切　　D．外离

【解析】　图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选D.

【点评】圆与圆的位置关系有五种:

外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定,也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：

如果设两圆的半径为、,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表

（赤峰市）如图

（1），两半径为的等圆⊙O1和⊙O2相交于两点，且⊙O2过点．过点作直线垂直于，分别交⊙O1和⊙O2于两点，连结．

（1）猜想点与⊙O1有什么位置关系，并给出证明；

（2）猜想的形状，并给出证明；

　　（3）如图

（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么

（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．

　　【解析】解：

（1）在上

　　证明：

∵⊙O2过点，．

　　又⊙O1的半径也是，点在⊙O1上．

（2）是等边三角形

，．

　　是⊙O2的直径，是⊙O1的直径，

　　即，在上，在上．

　　连结，则是的中位线．

　　，则是等边三角形．

　　（3）仍然成立．

由

（2）得在⊙O1中弧MN所对的圆周角为．

　　在⊙O2中弧MN所对的圆周角为．当点在点的两侧时，

　　在⊙O1中弧MN所对的圆周角，在⊙O2中弧MN所对的圆周角，

　　是等边三角形．

　　注：

（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．

【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且⊙O2过点，构建对称性知，⊙O1过O2，再证△NAB是等腰三角形；

（2）1是的基础上发散探究，具有一定的开放性．

四、圆与多边形的计算考查

1、圆与正多边形的关系的计算；

2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.

（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是

【解析】设圆的半径为1，则圆的面积为，易算得正方形的边长为，正方形面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是.

【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比.

【例2】两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为　　

【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8，图中的阴影面积为圆环面积的一半4.

【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想.

五、圆的综合性问题的考查

　基础知识链接：

圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。

【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设

（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？

若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）设AB的函数表达式为

　∵∴∴

　∴直线AB的函数表达式为．

（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。

又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，

因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．

　　设所求的抛物线为

则

∴所求抛物线为

（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．

又AC=直角三角形的面积

假设抛物线上存在．

当故满足条件的存在．它们是．

【点评】本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；

（第27题）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°

，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．

△PAC∽△PDF；

（2）若AB=5，=，求PD的长；

（3）在点P运动过程中，设=G，tan∠AFD=y，

求y与G之间的函数关系式．（不要求写出G的取值范围）

圆的综合题

（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．

（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．

（3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB与AC的交点”？

此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．

∵，

∴∠DPF=180°

﹣∠APD=180°

﹣所对的圆周角=180°

﹣所对的圆周角=所对的圆周角=∠APC．

在△PAC和△PDF中，

，

∴△PAC∽△PDF．

（2）解：

如图1，连接PO，则由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°

，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．

在Rt△ABC中，

∵AC=2BC，

∴AB2=BC2+AC2=5BC2，

∵AB=5，

∴BC=，

∴AC=2，

∴CE=AC•sin∠BAC=AC•=2•=2，

AE=AC•cos∠BAC=AC•=2•=4，

∵△AEF为等腰直角三角形，

∴EF=AE=4，

∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．

∵△APO为等腰直角三角形，AO=•AB=，

∴AP=．

∵△PDF∽△PAC，

∴，

∴PD=．

（3）解：

如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，

∵HC⊥CB，GH⊥GB，

∴C、G都在以HB为直径的圆上，

∴∠HBG=∠ACQ，

∵C、D关于AB对称，G在AB上，

∴Q、P关于AB对称，

∴∠PCA=∠ACQ，

∴∠HBG=∠PCA．

∵△PAC∽△PDF，

∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，

∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．

∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG==，

∴y==G．

本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．

【例3】

（第24题）如图①，已知：

在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=G，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

四边形ABHP是菱形；

（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？

若能，求出此时G的值；

若不能，请说明理由；

（3）求S与G之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

第3题图

考点：

圆的综合题；

含30度角的直角三角形；

菱形的判定；

矩形的性质；

垂径定理；

切线的性质；

切线长定理；

轴对称的性质；

特殊角的三角函数值所有

专题：

压轴题．

（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°

，∠HDO=30°

，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．

（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出G=2．

（3）当0≤G≤2时，如图①，S=S△EGF，只需求出FG，就可得到S与G之间的函数关系式；

当2＜G≤3时，如图④，S=S△GEF﹣S△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与G之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2+G．再由FK=KQ即可求出G，从而求出S．

解答：

解：

连接OH，如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠BAD=90°

，BC=AD，AB=CD．

∵HP∥AB，

∴∠ANH+∠BAD=180°

．

∴∠ANH=90°

∴HN=PN=HP=．

∵OH=OA=，

∴sin∠HON==．

∴∠HON=60°

∵BD与⊙O相切于点H，

∴OH⊥BD．

∴∠HDO=30°

∴OD=2．

∴AD=3．

∴BC=3．

∵∠BAD=90°

，∠BDA=30°

∴tan∠BDA===．

∴AB=3．

∵HP=3，

∴AB=HP．

∵AB∥HP，

∴四边形ABHP是平行四边形．

，AM是⊙O的直径，

∴BA与⊙O相切于点A．

∴BA=BH．

∴平行四边形ABHP是菱形．

（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．

如图②所示，点G落到AD上．

∵EF∥BD，

∴∠FEC=∠CDB．

∵∠CDB=90°

﹣30°

=60°

∴∠CEF=60°

由折叠可得：

∠GEF=∠CEF=60°

∴∠GED=60°

∵CE=G，

∴GE=CE=G．ED=DC﹣CE=3﹣G．

∴cos∠GED===．

∴G=2．

∴GE=2，ED=1．

∴GD=．

∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．

∴OG=OM．

∴点G与点M重合．

此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的G的值为2．

∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的G的值为2．

（3）①如图①，

在Rt△EGF中，

tan∠FEG===．

∴FG=G．

∴S=GE•FG=G•G=G2．

②如图③，

ED=3﹣G，RE=2ED=6﹣2G，

GR=GE﹣ER=G﹣（6﹣2G）=3G﹣6．

∵tan∠SRG===，

∴SG=（G﹣2）．

∴S△SGR=SG•RG=•（G﹣2）•（3G﹣6）．

=（G﹣2）2．

∵S△GEF=G2，

∴S=S△GEF﹣S△SGR

=G2﹣（G﹣2）2．

=﹣G2+6G﹣6．

综上所述：

当0≤G≤2时，S=G2；

当2＜G≤3时，S=﹣G2+6G﹣6．

当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．

∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°

∴∠AQF=∠CFG=60°

∵OT=，

∴OQ=2．

∴AQ=+2．

∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°

∴四边形AB