FFT变换及其应用Word格式.docx
《FFT变换及其应用Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《FFT变换及其应用Word格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fouier变换（DFT）。
这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x（n）的长度为N时，它的DFT定义为：
反变换为：
有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。
FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。
它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。
常用的FFT是以2为基数的，其长度
。
它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。
（一）在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三种误差：
（1）混叠
序列的频谱被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足奈奎斯特定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
（2）泄漏
实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。
为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。
（3）栅栏效应
DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不能别我们观察到。
减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。
三、实验内容及步骤：
（1）用FFT计算连续时间信号
的频谱。
分析：
该信号峰值为1，在t>
50其幅度小于0.0067，所以若选择L=N*T=50，则信号的主要部分将被覆盖，因信号有效长度不够导致的频谱泄漏可以忽略，可先在L=50中选定几组采样组合T1=2,N1=25;
T2=1,N2=50;
T3=0.5,N3=100;
T4=0.1,N4=500，作图查看采样频率在采样时间T为多少时，频谱混叠现象基本可以忽略。
原理：
检查信号折叠频率处的幅度值，越小越好，一般可以将之与幅频特性曲线中的最大值相比较，若比值小于1%则混叠可以忽略，当然为0更好（实际不可能）。
然后固定采样时间T=0.1，缩短信号取样长度，观察信号频谱什么时候出现明显泄漏，可固定T=0.1，分别取N=20,50,500,800观察。
最后，可以将T=0.1，N=500与T=0.1,N=500（后300点为补零点）的频谱对比，试分析得出的结果。
1、L=50中选定几组采样组合T1=2,N1=25;
程序代码:
T=[210.50.1];
N=[2550100500];
forstep=1:
1:
4
n=0:
（N（step）-1）;
x=exp（-0.1*n*T（step））;
subplot（2,4,step）;
stem（n,x）;
title（['
时域信号（T='
num2str（T（step））,'
N='
num2str（N（step））,'
）'
]）;
xlabel（'
时间'
）;
ylabel（'
振幅'
grid;
subplot（2,4,step+4）;
h=T（step）*fftshift（fft（x））;
D=2*pi/（N（step）*T（step））;
k=floor（-（N（step）-1）/2:
（N（step）-1）/2）;
plot（k*D,abs（h））;
g=abs（h
（1））/abs（h（fix（N（step）/2）））;
titleLine1='
幅频特性'
;
titleLine2=['
振幅（混叠系数：
η='
num2str（g）,'
];
%title（[titleLine2;
titleLine2]）;
%分成两行显示
模拟频率'
ylabel（titleLine2）;
title（titleLine1）;
%ifstep==4
%sp=input（'
请输入幅频特性横轴显示范围'
%axis（[-55012]）;
%elseifstep==2
%axis（[235265012]）;
%end
grid
end
str=['
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@'
disp（str）;
disp（'
所有图形绘制完毕'
%矩阵赋值方法：
x=[123]或x=[1，2，3]是赋值一行，x=[1；
2；
3]是赋值一列，
%x=[1,2,3;
4,5,6]是赋值两行三列矩阵。
一个两行三列矩阵x，取数要用如x（2,3）方式取
%字符串数组也类似，但字符串数组是以单个字符而非引号内的串为最小
%存储单位，如str=['
abc'
'
def'
'
xyz'
dgf'
]是两行六列的字符矩阵而非字符串矩阵
%注意每行的字符数必须一样，否则矩阵失衡。
x（2,:
）是取矩阵第二行
实验结果截图：
2、固定采样时间T=0.1，缩短信号取样长度，观察信号频谱什么时候出现明显泄漏，可固定T=0.1，分别取N=20,50,500,800观察。
实验代码：
T=0.1;
N=[2050500800];
x=exp（-0.1*n*T）;
num2str（T）,'
h=T*fftshift（fft（x））;
D=2*pi/（N（step）*T）;
k=floor（-（N（step）-1）/2:
3、以将T=0.1，N=500与T=0.1,N=500（后300点为补零点）的频谱对比，试分析得出的结果。
T=0.1;
N=500;
M=150;
N-1;
m=0:
M-1;
x1=exp（-0.1*n*T）;
x2=[exp（-0.1*m*T）zeros（1,350）];
x=[x1;
x2];
2
subplot（2,2,step）;
stem（n,x（step,:
））;
title（'
时域信号'
subplot（2,2,step+2）;
h=T*fftshift（fft（x（step,:
）））;
D=2*pi/（N*T）;
k=floor（-（N-1）/2:
（N-1）/2）;
axis（[-88012]）;
（2）用FFT计算连续时间信号
的频谱
若混叠系数（幅频特性曲线中奈奎斯特频点处对应幅值与峰值之比）小于1%，则混叠效应可以忽略。
分别取T=0.6,N=512和T=0.1,N=4096进行计算，通过频谱图形相关计算和对比，得出合理采样间隔T。
然后固定T=0.1，改变N（分别取N=512,1024,2048，4096）,当N取多少时，频谱图无频谱泄漏且物理分辨率达到要求（能够分辨出两个单频点）？
请分析信号频谱图形结果（必要时使用图形“放大镜”工具观察或通过axis（）函数改变频率轴显示范围）。
1、分别取T=0.6,N=512和T=0.1,N=4096进行计算，通过频谱图形相关计算和对比，得出合理采样间隔T。
T=[0.60.1];
N=[5124096];
x=exp（-0.01*n*T（step））.*cos（2*n*T（step））+2*exp（-0.015*n*T（step））.*cos（2.1*n*T（step））;
g=abs（h
（1））/max（abs（h））;
abs（h
（1））
max（abs（h））
axis（[-88070]）;
2、固定T=0.1，改变N（分别取N=512,1024,2048，4096）,当N取多少时，频谱图无频谱泄漏且物理分辨率达到要求（能够分辨出两个单频点）？
请分析信号频谱图形结果。
N=[512,1024,2048,4096];
x=exp（-0.01*n*T）.*cos（2*n*T）+2*exp（-0.015*n*T）.*cos（2.1*n*T）;
%g=abs（h
（1））/max（abs（h））;
%abs（h
（1））
%max（abs（h））
%titleLine2=['
axis（[13070]）;
四、实验总结与分析：
通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉了FFT子程序，掌握了应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法,了解到应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题（混叠、泄漏、栅栏效应等）以便在实际中正确应用FFT。
升级会员 