写结论,并说明理由。
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
写出结论,可不说明理由。
3.直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．
（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，则（填“”，“”或“”号）；
②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；
（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
图3
考点2：
利用角相等证明垂直
1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：
CD=BF；
（2）求证：
AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状.
拓展巩固：
如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
图9
（提示：
对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？
）
3.如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接，.
（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和.你认为
（1）中的结论是否还成立？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
4.如图1，的边BC在直线上，且的边也
在直线上，边与边重合，且
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的
数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接
.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长
线于点Q,连结,你认为
（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
l
Q
三、等腰三角形（中考重难点之一）
考点1：
等腰三角形性质的应用
1.如图，中，，，是中点，，与交于，与交于．求证：
，．
2.两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连结，取的中点，连结．试判断的形状，并说明理由．
压轴题拓展：
（三线合一性质的应用）已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．
当绕点旋转到于时（如图1），易证．当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?
若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
提示：
此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
3.已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（1）BF=AC
（2）CE=BF（3）CE与BC的大小关系如何。
考点2：
等腰直角三角形（45度的联想）
1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边
经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想.
⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：
DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
图1
图2
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，
（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在
（1）中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）
同类变式：
（期末考试原题哦）已知：
△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F
（1）如图
（1）当点E在BC边得中点位置时
猜想AE与EF满足的数量关系是.
连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .
请证明你的上述猜想；
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？
E
四、角平分线问题
1.如图：
E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD＝,
BC＝，且满足
（1）求AD和BC的长；
（2）你认为AD和BC还有什么关系？
并验证你的结论；
E
（3）你能求出AB的长度吗？
若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.
2.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
图③
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
3.（北京市中考模拟题）如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？
4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.
五、中点问题
1.在△ABC中,为的中点，过点的直线交于,交的平行线
于点。
并交于点.连结.
（1）求证:
；
（2）请猜想与的大小关系,并加以证明
2.如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：
．
3.已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线．求证（提示：
倍长中线试试）
附加思考题：
（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：
与的位置关系及数量关系．
⑴如图①当为直角三角形时，与的位置关系是；线段与的数量关系是；
⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（）后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
1．判断与说理
（1）如图11－1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
O
（2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图11－2的位置，AD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由．
图12 －1
2．某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
①如图12-1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN.
②如图12-2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN.
图12 －4
学习小组成员根据上述两个命题运用类比的思想又提出了如下的命题：
③如图12-3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.
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