高中的新课程中概率的知识教学.docx

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高中的新课程中概率的知识教学

高中新课程中“概率”知识教学

北京教育学院数学系常克敏

一、概率统计的教育价值

概率与统计主要研究客观世界中的随机现象和现实生活中的数据，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的决策。

1、概率统计是科学、有用的数学

最近，对于学校课程提出的建议一致认为：

“统计和概率比过去应该占有远为突出的地位。

”将统计与概率的基本思想、方法、知识纳入到中小学数学课程中，在国际上早已达成了共识。

在以信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种重要的信息。

为了更好地理解社会，人们必须学会处理各种信息，尤其是数学信息，收集、整理与分析信息的能力已经成为信息时代每一个公民基本素养的一部分。

事实上，在生产和科学技术飞速发展的现代社会，概率统计的应用已渗入整个社会的方方面面，广泛存在的随机现象，信息时代提出的更多与数据打交道的要求，使概率统计的基础内容成为一个普通公民的必备常识，是中学生文化素养的重要部分。

可以说，我们的每一天都与概率统计分不开。

例如：

“每天的天气预报”“某地区受灾面积达到40%”“估计第三世界人口的增长率为每年4%”“坐火车和坐飞机旅游，哪种更安全？

”年底国家公布的经济增长指标，购买体育彩票的中奖率等等。

概率统计是与我们息息相关的有用的数学。

概率是研究随机现象的数学分支。

随机现象是指这样一种现象：

在相同的条件下重复同样的实验，其实验结果不确定，以至于在实验之前无法预料哪一个结果会出现。

例如：

我们掷一枚硬币，并不能预言它是正面还是反面朝上。

又如：

掷一枚均匀骰子，每次掷得的点数是随机的。

在日常生活中，随机现象是大量存在的，这些现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料。

然而，投掷硬币、骰子并不是偶然事件，当我们大量重复试验时，试验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。

掷硬币正面朝上的比例就非常接近1/2，掷骰子点数的分布频率均稳定在1/6。

这种长期的规律性不只是理论上的推断，而且是观察到的一个事实。

这就是概率，概率是研究随机现象，其个别结果不确定，但多次重复之后，结果有规律的模式。

它是描述一种不同于确定性的秩序，从偶然性因素和影响中寻求必然的、本质的数量规律，并对这些偶然性影响给以数量的刻画和分析，这种确定性同科学和数学联系在一起，它是一门科学的数学。

客观地提炼和表述现实世界中广泛存在的随机信息，准确的分析和把握随机信息中关键因素的规律性，科学地应用数据做出正确的决策是统计与概率的主要任务。

正因为概率统计是有用的、科学的数学，这也就构成了在中小学阶段学习概率与统计的重要原因。

2、有利于培养学生明智地应付变化和不确定性的能力

随着社会的不断发展，概率与统计的思想方法将越来越重要。

概率与统计所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。

概率与统计所研究对象的总体一般具有不确定性；应用概率与统计方法由部分推断总体具有随机性；用概率与统计来解决的问题，其结论往往是以不确定现象和不完全的信息作为依据，这样的结论是可能犯错误的。

总之，概率与统计往往不提供确实无误的结论，这是由随机现象的本性造成的，这一思想方法与确定性思维存在着巨大的差异。

在自然界和人类事物中，严格确定性的范围十分有限，随机现象却是大量存在的，而概率与统计正是对随机变化的数学描述，它能够帮助我们做出合理的决策，并能告诉我们犯错误的概率。

生活已先于数学课程将概率与统计推到了学生面前，概率与统计的思想已渗入人们日常生活和社会生活的方方面面。

如果我们的教学还只局限于确定性数学是适应不了社会发展的需求，培养不出有用的人材的。

概率与统计的基本思想是一种重要的思维方法，它和确定性思维一样成为人们不可缺少的思想武器，由不确定的数据进行分析推理也是同样有力而普遍的方法，这种思维方式是一种独立的和基本的智能方法，它应该在学校课程中受到重视。

概率与统计内容是中学阶段唯一培养学生从不确定的角度来观察世界上的数学内容，让学生了解可能性是普遍的，将有助于他们理解社会，适应生活，培养应付变化和不确定性的能力。

从科学思维方法上看，科学起源于经验的观测。

经验性的观察积累了数据，从数据做出某种判断。

这种科学活动当然要依据各门学科自身的规律，但概率统计方法正发挥着越来越大的作用。

概率与统计发展到今天，它的理论和方法不仅越来越深入地渗透到几乎所有学科中，而且还越来越普遍地应用到工农业生产、气象与地震预报、经济管理、电子技术等各个部门及日常生活中。

现在，大学很多专业（包括一些文科专业）都开设了数理统计学或包括概率统计在内的高等数学课程。

而由于与随机现象打交道的概率统计在研究对象和方法上与确定性数学不同，学生对概率统计基本观念的建立需要有一个过程。

实践表明，如果直到大学时才开始接触概率统计等观念，那么在学习时会感到很不习惯和难于理解，会有一个较长的适应过程，从而影响到学习效果。

新课程改革，从小学低年级开始就从学生的生活实际出发，采取循序渐进，螺旋上升的方式渗透了概率和统计的基本思想和方法，从为学生今后的学习考虑，这种安排和铺垫是十分必要的。

在中学阶段，使学生了解概率与统计的基本思想和方法，初步形成运用数据进行推断的思维方式，逐步形成统计观念，养成尊重事实，用数据说话的态度。

让学生了解随机现象，将有助于他们形成科学的世界观和方法论，能明智地应付变化和不确定性，自信而理智地面对充满信息和变化的世界。

3、有利于培养学生数学思考和解决问题的能力

在学习概率与统计的过程中，学生需要从日常生活中发现与数据有关的问题，从实际问题中收集最有用的数据信息，根据收集到的数据构建一个适当的数学模型，利用测量、计算、推理、图形等多种知识来求解数学模型，根据数学模型的解做出决策，以解决实际问题。

在这一过程中，学生不仅学会综合运用所学知识和方法解决问题，还将促进学生多方面的发展。

有利于培养学生应用意识，合理的数学思考，与别人合作交流，观察、操作、推理、分析能力，解决实际问题的能力。

总之，概率与统计的思想方法是学生未来生活和工作所必需的，是进一步学习所不可缺少的，也有助于培养他们以随机的观点来理解世界，形成正确的世界观和方法论。

二、高中新课程中的“概率”

在数学必修课的教学内容的第11部分，安排的是需用12课时的“概率”，主要内容是：

随机事件的概率；等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率；独立重复实验。

经对比看到，上述内容与《原大纲》里的任选内容“概率”的知识条目完全一样，所用课时也一样。

换句话说，《新大纲》实际上是将这部分知识从原来的任选内容改成了必修内容。

从知识点看，不应算新知识点，但因以前这些内容非高考内容，基本上形同虚设或被简单地处理成排列组合的应用问题，没有得到重视，这次作为新知识点培训。

这部分内容在高中第二册（下）第十章，是高中下学期内容。

在数学限定选修课里还继续安排了概率统计知识。

其中，供理科选用部分的“概率与统计”需用18课时，“概率”主要内容是：

离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的期望值和方差。

这部分内容是选学理工科学生高三的必修内容，同为高中新课程中的“概率”知识，做为新知识点一起讲。

三、高二必修课中的“概率”

（一）随机事件的概率

1．随机事件及其概率

必然事件：

在一定的条件下必然要发生的事件。

不可能事件：

在一定的条件下不可能发生的事件。

随机事件：

在一点条件下可能发生也可能不发生的事件。

随机事件对于个别试验来说无法预知结果，但在相同条件下进行大量重复试验时，却又呈现一种规律性，我们称它为随机事件的统计规律性。

这种规律表现在：

随机事件的频率（此事件发生的次数与试验总次数的比值）具有稳定性，总是接近于某个常数，在它附近摆动，我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P（A）。

概率可以看作频率在理论上的期望值。

它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

掷“硬币”试验结果

实验者

掷次数ｎ

出现“正面”次数ｍ

频率ｍ/ｎ

德莫根

2048

1061

0.518

浦丰

4040

2048

0.5069

皮尔逊

12000

6019

0.5016

皮尔逊

24000

12012

0.5005

从上表可以看出，随着试验次数的增加，描述出现“正面”可能性大小的量——频率明显的趋于0.5。

大量实验表明,这一结果具有一般性。

关于概率的定义，通常称为概率的统计定义，概率论正是揭示这种统计规律性的一个数学分支。

记随机事件A在n次试验中发生了m次，那么有

0≤m≤n,0≤≤1

于是可得0≤P（A）≤1

由概率的统计定义可知，必然事件U的概率P（U）=1，不可能事件V的概率P（V）=0。

从这个意义上，必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端情况。

可见，虽然确定性现象和随机现象是两类不同的现象，但在一定的情况下又可以统一起来，这正反映了事物间既对立又统一的辩证关系。

2．等可能性事件的概率

随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值。

但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。

这种特殊的概率模型是历史上最早研究的，被称作古典概型。

这种概型的特点是：

⑴对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；

⑵对上述所有不同的试验结果，他们出现的可能性是相等的；

⑶由于上述两条，求事件的概率可以不通过大量重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可。

例如，投掷一个骰子。

基本事件：

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=m/n。

又如，上面骰子落地时向上的数是2的倍数这一事件A的概率

P（A）==

例1一个口袋内装有大小相等的一个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，摸出2个黑球的概率是多少？

例2（骰子赌博问题）一街头赌摊，备一碗可以摇动三个骰子，根据不同的总点数，奖惩情况如下：

3或18，奖30元；4或17，奖10元；5或16，奖5元；

6，7，8，13，14或15，不奖也不罚；9，10，11或12，罚10元。

试计算出现以上个点数的概率，说明此种赌博问题对参赌者有利吗？

例3（产品抽取问题）在80件产品中，有50件一等品，20件二等品，10件三等品，从中任取3件，计算：

⑴3件都是一等品的概率；

⑵2件是一等品，1件是二等品的概率；

⑶一等品、二等品、三等品各有一件的概率；

⑷至少有一件是一等品的概率。

例4（彩票问题）体育彩票是从01，02，…，36这36个数中任选择7个。

开奖时公布的是7个正选数与1个特选数。

若你选择的7个数恰是公布的7个正选数，你将获特等奖；若你选择的7个数中有6个是公布的正选数，另一个是公布的特选数，将获一等奖。

今任选7个数，求A=“获特等奖”，B=“获一等奖”的概率。

例5（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配到N（n≤N）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率。

⑴某指定n间房中各有一人；

⑵恰有n间房，其中各有一人；

⑶某指定房中恰有m（m

解：

首先，把n个人分到N间房中去，共有Nｎ种分法。

⑴某指定n间房中各有一人，可能的分法为n!

，因此其概率为

P（A）=n!

/Nｎ

⑵恰有n间房，其中各有一人，可能的分法为ＣＮ×ｎ!

，因此，其概率为

P（B）=（ＣＮ×ｎ!

）/Ｎｎ

⑶某指定房中恰有m人，可能的分法为Ｃｎ×（N-1）ｎ－ｍ,因此，其概率为

P（C）=（Ｃｎ×（N-1）ｎ－ｍ）/Nｎ

上述分房问题中，若令N=365（全年天数），n=30（人