湖北省武穴中学届高三第一次模拟数学理试题 含答案.docx
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湖北省武穴中学届高三第一次模拟数学理试题含答案
湖北省武穴中学2014届高三年级第一次模拟
数学（理）试题（含答案）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合若,则为.（）
A．B．C．D．
2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）
A．B．C．1D．3
3.设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）
A．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
4．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（）
A．B．1
C．D．2
5．若三角形ABC中，sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2C，则此三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）
A． B．C． D．
7．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
8．若某棱锥的三视图（单位：
cm）如图所示，
则该棱锥的体积等于（）
A．10cm3B．20cm3
C．30cm3D．40cm3
9.若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、
M且与相切的圆共有（）
A．0个B．1个C．2个D．4个
10.，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（）
A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
11．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两
点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（）
A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
12．把曲线C：
的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（）
A．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式的常数项为．
14．设x，y满足约束条件，向量，且a∥b，
则m的最小值为．
15.如图，已知球是棱长为的正方体
的内切球，则平面截球的截面面积为.
16.设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且
f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，，若f（x）为R上的“2014型增函数”，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：
本大题共6道题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中
（1）求的通项公式；
（2）令求的前20项和。
18．（本题满分12分）
前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．
19．（本题满分12分）
如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C重合。
（1）当点M是EC中点时，求证：
BM//平面ADEF；
（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.
20．（本题满分12分）
已知椭圆C：
经过点，离心率，直线的方程为.
（1）求椭圆C的方程；
l
y
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：
是否存在常数，使得？
若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
P
M
B
O
F
x
A
21．（本题满分12分）
已知定义在上的函数总有导函数,定义.
一是自然对数的底数.
（1）若,且,试分别判断函数和的单调性:
（2）若.
①当时,求函数的最小值；
②设,是否存在,使得?
若存在,请求出一组的值:
若不存在,请说明理由。
请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本题满分10分）选修4—1几何证明选讲:
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。
（I）求证：
DE是⊙O的切线；
（II）若的值.
23.（本题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．
24．（本题满分10分）选修4—5:
不等式选讲
已知函数。
（1）若的解集为，求实数的值。
（2）当且时，解关于的不等式。
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
D
A
B
D
C
B
C
B
C
A
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．1514．15．16．
三．解答题（本大题共6小题，共计70分）
18.解：
（1）众数：
8.6；中位数：
8.75；……………………………2分
（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则；…………………6分
（3）的可能取值为0，1，2，3.
；；
；……..……………..10分
所以的分布列为：
.………..……….…12分
另解：
的可能取值为0，1，2，3.则，.
所以=．
19．解：
（1）以分别为轴建立空间直角坐标系
则
的一个法向量
，。
即………………………..4分
（2）依题意设，
设面的法向量
则，
令，则，面的法向量
，解得………………10分
为EC的中点，，到面的距离
…………………………………………………………12分
另解：
用传统方法证明相应给分。
20．解：
（1）由点在椭圆上得，①②
由①②得，故椭圆的方程为……………………..4分
（2）假设存在常数，使得.
由题意可设③
代入椭圆方程并整理得
设，则有④……………6分
在方程③中，令得，，从而
.又因为共线，则有，
即有
所以
=⑤
将④代入⑤得，又，
所以
故存在常数符合题意……………………………………………………………12分
21.
22．（I）证明：
连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC…………………2分
∴OD//AE又AE⊥DE…………………………………3分
∴OE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线………………………5分
（II）解：
过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
…………6分
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x……………8分
又由△AEF∽△DOF可得
……………………………………………………10分
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