投篮问题建模文档格式.docx

投篮问题建模文档格式.docx

《投篮问题建模文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《投篮问题建模文档格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1）在研究罚篮时，由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需，分别给定一个出手速度v和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。

2）研究二分球投篮问题时，可根据入球区域的最大面积来描述命中率，通过解积分曲线的方法求出入球区域A，根据入球偏差求出所需的角度的范围。

3）

研究三分球投篮时，由于球速大，考虑加入空气阻力的影响建立模型。

1）模型I，II中忽略空气阻力。

2）模型中不考虑打板入球的情况。

3）模型II中不考虑防守队员防守影响命中率的情况

4）投求的运动曲线和篮框中心在同一平面内。

5）出手后不考虑球的自身旋转。

四．符号说明

L：

篮球出手点到篮框的水平距离，其中在模型I中L=4.6m.模型III中L=6.75m。

H:

篮框的高度，H=3.05m.

D:

篮框的直径，D=45cm.

d:

篮球的直径，d=24.6cm.

h:

运动员的出手高。

一般在1.8~2.7m之间v：

运动员的出球速度，一般在8~9m/sg:

重力加速度，g=9.8m/s^2α：

篮球的出手角度β：

篮球的入射角度

五．模型的建立与求解

对三种投篮方式进行,建模，

1.考虑罚篮这种头球方式，运用物理中抛射运动的知识。

建立模型：

p（A）sA（D2Dd）

水平方向上：

s2D

y（vsin）tgt2

竖直方向上：

2

消去t，得到.

与

（1）式联立得：

（5）

以上讨论的均是球心正中蓝心得情况，在实际投篮中由于篮球直径小于篮框直径，故存在一定偏差使得即使球心没有命中蓝心球也能命中，以蓝心为原点，设可允许的偏差最多为，则可以计算出：

（6）

此时出手高度没变，但是由于入球位置由L变为L+，x成为变量带入

（1）式得。

若v是一个确定值，那么可以用x对求导。

将dx和d用，来替换，整理得：

7）

同理若确定，上式对v求导并做合理替换可以得到：

这样我们可以通过计算角度和速度他们的最大偏差与相对偏差来确定出手角度与出手速度哪一个偏差更大，也就是说通过训练更容易提高命中率。

2.第二种投篮方式，在投篮距离L为1.25m和6.75m之间的投篮（1.25m内为合理冲撞区，我们认定为在这里投篮命中率为100%）。

即得二分的投篮方式。

此时投篮方法多样，可采用跳投，定点投篮，抛投等。

但出手后篮球运动轨迹仍符合力学规律，我们仍可用罚篮中所用的轨迹方程即，公式

（1），但此时，出手距离L，与出手高度h,均为变量。

因此投篮命中率我们该用篮球在运动中可允许最大偏差的两条弧线与篮框所围面积的大小来表示。

不

放射为A（q）。

两条最大偏差弧线分别为O，O则不难验证，O过点（L-，H-h），O过点（L+，H-h）。

则由公式

（1）我们可分别写出O，O的弧线方程：

直线OP1，的方程分别为：

11）

12）

所以，

由公式（13）可知越大tan就越大则，就越大由公式

（2）知道，由v唯一确定，而v不能无限增大，故tan只能在一定范围内变化。

设曲线过点（L，H-h）带入公式

（2）得到：

（14）

其中v满足

并且：

可见tan是的减函数，当最小时tan最大。

由公式（3）的解可知tan的最大值为：

15）

实际中L的范围是（L+Vx，L-Vx），为方便计算这里看成是R=Vx，即假设那么我们就得到入射角的的范围是：

由此公式我们就可以根据不同的位置与出手高度计算出使篮球命中的入射角范围。

从而经过比较，得出哪一个因素才是主要因素。

3.最后建立第三个模型：

三分球的投射中，要考虑空气阻力的影响，在这里我们只考虑水平方向上的空气阻力影响，因为投篮时对求运动的阻力主要体现在水平方向上。

通常阻力与速度成正比，设比例系数为k。

则篮球在水平方向上的运动可由微分方程表示：

d2xdx

2k0dt2dt

X（0）=0dx

丨t=0=vcos

dtt=0

用数学分析的方法可以求解得：

kt

1e

x（t）vcosk

通过泰勒展开式并略去e二次方以上的项（这是由于投篮运动中k，与t较小）这样得到了更为简单的运动方程。

x（t）vcostkvcost2

2

与模型I的运动方程相结合，投三分球时求的运动方程为：

Lvcost

kvcost2

消去t,得：

这就是投三分球时篮球的运动轨迹不难看出，他与出高度和出手速度，和出手角度有关系。

4.计算结果与MATLAB附录：

取出手高度在1.8~2.1之间运用MATLAB程序结果如下：

end

计算结果：

hm

vminm/s

1.8

7.6789

1.9

7.5985

2.0

7.5186

2.1

7.4392

可以看出最小速度v随着高度的增加而减小，切最大没有超过8m/s,我们在前面去v=8~9m/s是合理的。

我们取v=8m/s是出手高度在1.8m~2.0m得到出手角度。

在MATLAB中的附录及结果为：

H=3.05；

g=9.8;

L=4.6;

v=8;

forh=1.8:

0.1:

=180/pi*actan（v^2/g*L）*（1+sqrt（1-2*g/v^2*（H-h+g*L^2/2v^2）））

计算结果填入下表：

vm/s

8

1.8

62.4099

63.1174

63.7281

最后，我们用v=8m/s时高度分别为1.8m和2.0m时所对应的的角度，利用公式

（7）（8）算出最大偏差，MATLAB中的附录为：

L=4.6；

V=8;

D=0.45/2;

D=0.246/2;

=62.4099;

V=（g*L-v^2*sin（*pi/180）*cos（*pi/180）*（D-d）/（L*（v^2-g*l*tan（）a*pi/180）））

Vv=（g*L-v^2*sin（*pi/180）*cos（*pi/180）*v*（D-d））/（g*L）同理算=63.7281.计算结果填入下表：

h/m

v/m/s

V

Vv

-0.7562

0.0528

-0.71

0.0601

从结果中看到，出手角度的最大偏差明显大于出手速度的偏差，也就是说罚篮时对出手速度的要求更为严格，而出手角度相对允许有较大误差。

所以才篮球训练时，球员应着重注意在保证出手速度大于8m/s的同时，准确把握出手角度。

二分球投篮时的取出手高度在1.8~2.7m（有跳投的情况），出手位置距蓝框

中心水平距离在1.75~6.75m。

根据公式（16）在MATLAB中的附录及计算结果为：

H=3.05;

R=0.225;

forL=1.75:

1:

4.75a=atan（（H-h）./（L+R）+sqrt（（（H-h）./（L+R））^2+1））*180/pib=atan（（H-h）./（L-R）+sqrt（（（H-h）./（L-R））^2+1））*180/piend

1.75

2.75

3.75

4.75

1.

61.1651~64.670

56.3953~58.168

53.7283~54.762

52.0520~52.721

3

5

60.1057~63.509

55.5671~57.243

53.0678~54.034

51.5078~52.129

9

7

2.

58.9986~62.274

54.7200~56.289

52.3984~53.293

50.9588~51.532

57.8441~60.960

53.8549~55.309

51.7206~52.541

50.4054~50.928

1

4

从表格中我们可以看到在高度确定的时候，随着距离L的增加入球角度的范围逐渐缩小。

而保证出球距离不变，高度的改变几乎不影响入球所需角度的区间大小。

因此我们可以得出在影响二分球投篮的距离，和高度两个因素中，我们应该着重的注意出球距离，即在比赛中应该尽量保证在离篮框较近的地方出手投篮，这与实际情况也是相符合的。

问题（3）中考虑到实际中篮球运动员的身高与臂展都差不多，因此在这里臂长我们取k=1.7m~2.0m，由过小将导致入球角太小球无法进入篮框，太大将使出手速率过大，无法达到，因此这里我们的出球角度选=30~60

.在MATLAB中的附录及结果为：

六．结果分析：

通过对三个模型的建立与求解，在罚篮问题中我们得到结果为出手角度和出手速度是影响命中率的主要因素，并且出手角度相对于出手速度所需的偏差较大，即允许的误差较大，更能够帮助选手提高命中率，在实际篮球运动中也是选手大多比较注意自己的投篮出手角度。

二分球投篮的模型中，我们得到结论投篮位置即篮球出手时与篮板的水平距离主要影响篮球的命中率，此外出手速度和角度也都会影响命中率但位置更重要，确切的说就是离篮板越近的位置出手命中率的提高会越明显，这显然与我们的认识相符合。

对于第三个模型我们通过在罚篮模型的基础上加上空气阻力的影响来从新建立了篮球运行轨迹方程。

得到结论是命中率受出头高度，与角度影响较大，应主要注意这两个方面的练习。

总之，通过这次的数学建模对投篮问题的讨论我们可以看出，在篮球选手基本技能和心理素质良好的前提下，我们可以根据我们在比赛中所处的实际情况合理的选择三个模型中的任何一个来选择合理的角度一出手高度，这样更科学的增加我们比赛投篮的命中率

七．由已建模型分析新规则改动后对篮球比赛的影响：

2012年中国篮球协会修订了篮球规则的新改变，主要是以下三方面的改变：

1.限制区（3秒区）改成4.9米乘以5.8米的矩形，并在限制区内以篮圈在地面的投影点为圆心以1.25米为半径画一个半圆（见附图），设为进攻合理冲撞区，进入该区域内（冲撞区的线属于该区域）发生的身体接触如果造成犯规，则判为防守的犯规。

这一点的改变主要是增加了合理冲撞区是的进攻方在篮下小范围内的入球变得更加简单。

是的外围球员更多的可以选择将球传入给内场的球员或选择自己带球突破增加得分的效率。

此外根据所建立的模型可以知道，当篮球出手位置越离近篮板则命中率更高。

另外严格设置三秒区。

就是为了在比赛中增加更多的扣篮，分流篮下拥挤的人群，让比赛显得更好看和刺激。

2.三分线区域扩大，由原来的6.25米半径扩大为6.75米。

这点的改变由模型三我们可以得到三分线区域的扩大使得投三分求的命中率减低，这样讲有效的减少外围球员三分球的命中率，使得球员跟多的选择带球突破或依靠更多传接配合实现内场入球同时也可以增加更多的扣篮这一篮球比赛中最刺激的入球方式的机会。

同时扩大三分线对于一些命中率高的运动员更多的展现自己投三分球水平的机会。

使其更容易于与其他运动员的水平拉开距离。

加强篮球比赛的明星效应，给比赛带来更多乐趣。

八．模型推广与评价：

本文所用的模型是建立在三种得分方式的基础上，通过对具体投篮问题中具体情况的详细分析，给出了满足不同情况下有效提高投篮命中率对出手角度和出手速度的要求。

本模型用数学语言即数字、图表以及公式符号等来表达出一实际问题，更科学具体地分析了投球过程中影响命中率的两个条件对命中率的具体影响所在。

此外，模型通过具体的公式计算得出适合投篮的最佳出手角度和速度范围，使这三者之间的相互关系有了数据的支持和保障。

同时，本模型最终结论和结果给了篮球运动员们合理训练的科学依据，也方便研究人员在此基础上展开对投篮运动的深入研究。

此次建立的数学模型还可用于制定有针对性的训练计划，包括专门针对不同身高的篮球运动员的投篮训练计划以及运动员不同距离下的投篮训练。

在现实篮球运动中，还有很多情况可以通过建立数学模型进行有效分析,数学模型也表现出越来越广泛的作用。

用数学方法研究体育运动，说明数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用，所用到的数学知识也越来越深入。

九．参考文献：

[1]《数学建模实验》北京师范大学数学科学学院组编黄海洋崔丽刘来福编著

[2]《如何提到篮球命中率》郑勇，内蒙古师范大学学报。

2004年S1期

[3]XX文库关于投篮为题的建模，网址：